Gauß Algorithmus - Lösung weg < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:49 So 20.04.2008 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | Sei a [mm] \in \mathbb [/mm] Q eine beliebige Konstante. Für welche Werte von a hat das folgende homogene lineare Gleichungssystem über [mm] \mathbb [/mm] Q nicht triviale Lösungen?
[mm] ax_1+2x_2+2x_3=0
[/mm]
[mm] x_1+x_2+x_3=0
[/mm]
[mm] 2x_1+x_2+ax_3=0 [/mm] |
Hi!
Ich wollte die Aufgabe mit dem Gauß Algorithmus lösen, dabei geht mir allerdings eine Lösung flöten. Könnt ihr mir helfen, sie zu finden? ;)
Also ich stelle das LGS als Matrix da und führe den Alg einmal aus, dann steht da:
[mm] \pmat{ a & 2 & 2 \\ 0 & 1-2/a & 1-2/a \\ 0 & 1-4/a & a-4/a }
[/mm]
Der Algorithmus im zweiten Schritt liefert:
[mm] \pmat{ a & 2 & 2 \\ 0 & 1-2/a & 1-2/a \\ 0 & 0 & a-1 }
[/mm]
So, dann hätte ich a=1 als Lösung. a=2 ist doch aber auch eine Lösung, und die finde ich hier nicht. Wo steckt mein Fehler im Algorithmus?
danke!
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Guten Morgen
also es kommt keine Lösung abhanden. Wenn du dir mal die zweite Zeile der Matrix nach dem erstem Gauß-Schritt anschaust dann siehst du dass dann dort eine Nullzeile Reinkommt wenn du 2 einsetzt, das heißt die Matrix hat nicht mehr vollen Rang also einen nichtrivialen Kern, denn den Rechnest du ja aus.
(Ich hoffe mal ihr hattet die Begriffe schon) Ergo kann man auch a=2 setzen damit die Lösung nichttrivial ist.
Einen schönen Tag noch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:07 So 20.04.2008 | | Autor: | Wimme |
hm...leider hatten wir die Begriffe noch nicht. Aber ich kann es mir dann so erklären:
Wenn ich a=2 setze, habe ich als zweite Zeile eine Nullzeile. Also weniger Gleichungen als Unbekannte, was äquivalent zu mehreren Lösungen ist.
Naja ok, dann lasse ich das mal so gelten ;)
Ich danke dir.
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