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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Di 07.01.2014 | | Autor: | Paper090 |
| Aufgabe | [mm] 20x_{1}-10x_{2}+30x_{3}=110
[/mm]
[mm] -22x_{2}-22x_{3}=-198
[/mm]
[mm] -13x_{2}-13x_{3}=-117
[/mm]
[mm] x_{1}=1 x_{2}=4,5 x_{3}=4,5
[/mm]
Aber(weiter eliminiert):
[mm] 20x_{1}-10x_{2}+30x_{3}=110
[/mm]
[mm] -22x_{2}-22x_{3}=-198
[/mm]
[mm] 0x_{1}- 0x_{2}- 0x_{3}=0 [/mm] |
Ist das erste Ergebniss falsch,da es in der letzten Zeile unendlich viele Lösungen geben würde?Man kann das erste Ergebniss überall einsetzen, aber ein Online-Rechner sagt mir, dass es keine Lösungen gibt?
Danke und Gruß
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> [mm]20x_{1}-10x_{2}+30x_{3}=110[/mm]
> [mm]-22x_{2}-22x_{3}=-198[/mm]
> [mm]-13x_{2}-13x_{3}=-117[/mm]
>
> [mm]x_{1}=1 \quad x_{2}=4,5 \quad x_{3}=4,5[/mm]
Hallo,
Du hast - wie auch immer - eine (richtige) Lösung des LGS gefunden.
Dein lineares Gleichungssystem hat aber unendlich viele Lösungen.
>
> Aber(weiter eliminiert):
>
> [mm]20x_{1}-10x_{2}+30x_{3}=110[/mm]
> [mm]-22x_{2}-22x_{3}=-198[/mm]
> [mm]0x_{1}- 0x_{2}- 0x_{3}=0[/mm]
Das können wir noch ein wenig handlicher machen:
[mm] 2x_1-x_2+3x_3=11
[/mm]
[mm] x_2+ x_3=9,
[/mm]
[mm] 0x_{1}- 0x_{2}- 0x_{3}=0
[/mm]
oder in Matrixgestalt
[mm] \pmat{2&-1&3&|&11\\0&1&1&|&9??0&0&0&|&0}.
[/mm]
Rang(A|b)=Rang(A),
also ist das LGS lösbar.
RangA=2 ist kleiner als die Anzahl der Variablen, also hat das System unendlich viele Lösungen.
Man kann [mm] x_3 [/mm] frei wählen,
[mm] x_3=t
[/mm]
bekommt aus Zeile 2
[mm] x_2=9-t
[/mm]
und aus Zeile 1 dann
[mm] x_1=5.5+0.5x_2-1.5x_3=5.5+4.5-0.5t-1.5t=10-2t.
[/mm]
Das sagt uns:
für jedes [mm] t\in \IR [/mm] ist [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{10-2t\\9-t\\t}=\vektor{10\\9\\0}+t*\vektor{-2\\-1\\1} [/mm]
eine Lösung des vorliegenden LGS.
(Für t=4.5 bekommt man die von Dir genannte Lösung)
LG Angela
> Ist das erste Ergebniss
> falsch,da es in der letzten Zeile unendlich viele Lösungen
> geben würde?Man kann das erste Ergebniss überall
> einsetzen, aber ein Online-Rechner sagt mir, dass es keine
> Lösungen gibt?
>
> Danke und Gruß
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