Gauß und Irreduziblität < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Katze_91 |
| Aufgabe | Sei f [mm] =\summe_{i=0}^{n} a_{i }X^{i} \in \IZ[X] [/mm] ein Polynom mit deg(f) [mm] \ge [/mm] 1. Zeigen Sie :
a) Ist f normiert und [mm] \alpha \in \IQ [/mm] eine Nullstelle von f, so ist [mm] \alpha \in \IZ
[/mm]
b) Ist f irreduziebel in [mm] \IZ[X], [/mm] so ist f auch irreduziebel in [mm] \IQ[X]
[/mm]
c) Sei [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{p}{q} \in \IQ [/mm] eine Nullstelle von f mit p,q [mm] \in \IZ [/mm] teilerfremd, dann gilt [mm] p|a_{0} [/mm] und q [mm] \a_{n} [/mm] |
Guten Morgen, ich bins mal wieder :3
a) komm ich nicht weiter, also f kann man ja auch als [mm] f=(X-\alpha [/mm] )*q mit [mm] deg(q)\ge [/mm] 0 und der Leitkoeffizient ist von q ist wieder eins, also ist q auch wieder normiert
[mm] \IZ [/mm] ist ein Hauptidealring also faktoriell, nach dem Satz von Gaus ist dann doch (wenn ich ihn richtig verstanden habe...) auch [mm] \IZ[X] [/mm] faktoriell
nun hatten wir ein korollar, dass besagt
Sei f [mm] \in [/mm] R[X]. Ist f=gh mit g,h [mm] \in [/mm] Quot[X] normiert, so sind g,h [mm] \in [/mm] R[X]
also heißt das doch, das (x-1) und q in [mm] \IZ[X] [/mm] sind oder? und weil in faktoriellen ringen alle elemente ausser 0 und den Einheiten sich alle als produkt aus irreduziblen elementen schreiben lassen, muss auch (x-1) in [mm] \IZ[X] [/mm] irreduziebel sein... bringt mich aber leider nicht so wirklich weiter :( oder ich sehe den wald vor lauter bäumen nicht mehr...
die b habe ich mir noch nicht so genau angeschaut aber da müsste man doch das eisensteinsche irreduziblitätskriterium anwenden oder?
LG miau
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Sa 12.11.2011 | | Autor: | felixf |
Miau Katze!
> Sei f [mm]=\summe_{i=0}^{n} a_{i }X^{i} \in \IZ[X][/mm] ein Polynom
> mit deg(f) [mm]\ge[/mm] 1. Zeigen Sie :
> a) Ist f normiert und [mm]\alpha \in \IQ[/mm] eine Nullstelle von
> f, so ist [mm]\alpha \in \IZ[/mm]
> b) Ist f irreduziebel in [mm]\IZ[X],[/mm]
> so ist f auch irreduziebel in [mm]\IQ[X][/mm]
> c) Sei [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{p}{q} \in \IQ[/mm] eine Nullstelle von f
> mit p,q [mm]\in \IZ[/mm] teilerfremd, dann gilt [mm]p|a_{0}[/mm] und q
> [mm]\a_{n}[/mm]
>
> Guten Morgen, ich bins mal wieder :3
> a) komm ich nicht weiter, also f kann man ja auch als
Mach doch zu erst c), denn a) folgt direkt aus c) 
> [mm]f=(X-\alpha[/mm] )*q mit [mm]deg(q)\ge[/mm] 0 und der Leitkoeffizient ist
> von q ist wieder eins, also ist q auch wieder normiert
> [mm]\IZ[/mm] ist ein Hauptidealring also faktoriell, nach dem Satz
> von Gaus ist dann doch (wenn ich ihn richtig verstanden
> habe...) auch [mm]\IZ[X][/mm] faktoriell
> nun hatten wir ein korollar, dass besagt
> Sei f [mm]\in[/mm] R[X]. Ist f=gh mit g,h [mm]\in[/mm] Quot[X] normiert, so
> sind g,h [mm]\in[/mm] R[X]
>
> also heißt das doch, das (x-1) und q in [mm]\IZ[X][/mm] sind oder?
Das $x - 1$ soll $x - [mm] \alpha$ [/mm] sein, oder? Aber ja, das bedeutet es.
> und weil in faktoriellen ringen alle elemente ausser 0 und
> den Einheiten sich alle als produkt aus irreduziblen
> elementen schreiben lassen, muss auch (x-1) in [mm]\IZ[X][/mm]
> irreduziebel sein... bringt mich aber leider nicht so
> wirklich weiter :( oder ich sehe den wald vor lauter
> bäumen nicht mehr...
Das brauchst du nicht. Du hast $x - [mm] \alpha \in \IZ[x]$. [/mm] Daraus folgt [mm] $\alpha \in \IZ$, [/mm] was du zeigen wolltest.
> die b habe ich mir noch nicht so genau angeschaut aber da
> müsste man doch das eisensteinsche
> irreduziblitätskriterium anwenden oder?
Zu b): da brauchst du wieder Gauss. Eisenstein bringt dir zumindest nichts.
Zu c): schreibe $f(p/q) = 0$ mal aus und multipliziere mit [mm] $q^n$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Katze_91 |
hi ^^
ja genau ich meinte (X- [mm] \alpha) [/mm] sorry, und weil es in [mm] \IZ[X] [/mm] ist und das bedeutet, dass die Koeffizienten in [mm] \IZ [/mm] sind muss auch bei [mm] a_{n}X+a_{0}= 1X-\alpha [/mm] mit [mm] \alpha=a_{0} [/mm] in [mm] \IZ [/mm] sein oder?
okay bei der c habe ich jetzt stehen, dass man
[mm] a_{n}= [/mm] ( [mm] \bruch{-a_{n-1}}{p}-...-\bruch{a_{1}*q^{n-2}}{p^{n-1}}-\bruch{a_{0}*q^{n-1}}{p^{n}})q
[/mm]
[mm] a_{0}= [/mm] ( [mm] \bruch{-a_{n}*p^{n-1}}{q^{n}}-...-\bruch{a_{1}}{q})*p
[/mm]
stehen, aber ich weiß nciht so ganz, wo ich da jetzt die teilerfremdheit reinbringen soll...
vielen dank :3
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Hallo,
> hi ^^
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> ja genau ich meinte (X- [mm]\alpha)[/mm] sorry, und weil es in
> [mm]\IZ[X][/mm] ist und das bedeutet, dass die Koeffizienten in [mm]\IZ[/mm]
> sind muss auch bei [mm]a_{n}X+a_{0}= 1X-\alpha[/mm] mit [mm]\alpha=a_{0}[/mm]
> in [mm]\IZ[/mm] sein oder?
Genau. Das Korollar aus deiner Vorlesung ist anwendbar.
Da $f$ Nullstelle [mm] $\alpha \in \IQ$ [/mm] hat, gibt es eine Zerlegung $f = [mm] (X-\alpha)*q(X)$ [/mm] mit [mm] $(X-\alpha) \in \IQ[X], [/mm] q [mm] \in \IQ[X]$. [/mm] Alles ist normiert, [mm] $f\in \IZ[X]$, [/mm] und damit [mm] $(X-\alpha)\in \IZ[X]$, [/mm] also [mm] $\alpha \in \IZ$.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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Hallo,
bitte stelle das in Zukunft also neue Frage
> okay bei der c habe ich jetzt stehen, dass man
> [mm]a_{n}=[/mm] (
> [mm]\bruch{-a_{n-1}}{p}-...-\bruch{a_{1}*q^{n-2}}{p^{n-1}}-\bruch{a_{0}*q^{n-1}}{p^{n}})q[/mm]
> [mm]a_{0}=[/mm] (
> [mm]\bruch{-a_{n}*p^{n-1}}{q^{n}}-...-\bruch{a_{1}}{q})*p[/mm]
> stehen, aber ich weiß nciht so ganz, wo ich da jetzt die
> teilerfremdheit reinbringen soll...
Du bist sozusagen schon einen Schritt zu weit gegangen
[mm] $f(\frac{p}{q}) [/mm] = 0$
[mm] $\Rightarrow $a_n p^{n} [/mm] + [mm] a_{n-1}p^{n-1}q [/mm] + ... + [mm] a_0 q^{n} [/mm] = 0$
[mm] $\Rightarrow $p\cdot (-a_n p^{n-1} [/mm] - [mm] a_{n-1}p^{n-1}q [/mm] - ... - [mm] a_1 q^{n-1}) [/mm] = [mm] a_0 q^{n}$ [/mm] (*)
Nun rufe dir mal die Teilbarkeitsdefinition ins Gedächtnis: $a|b [mm] \gdw \exists [/mm] c: b = a*c$.
Außerdem gibt es noch den "Satz": Ist $ggT(a,b) = 1$, so folgt aus $a|b*c$ bereits $a|c$.
Was kannst du nun also aus obiger Zeile schließen?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Katze_91 |
sorry, war dabei den Artikel zu verändern und habe deine Antwort nicht gesehen :)
also den "Satz" kann ich irgendwie nicht beweisen
also ggt(a,b)=1 und es soll gelten, dass wenn a|b*c [mm] \Rightarrow [/mm] a|c
also wenn a|bc dann gibt es ein d so dass gilt, a*d=b*c aber wie schließe ich jetzt daraus, dass nur a|c gilt? habe es auch irgendwie versucht mit der definition vom ggt zu argumentieren aber da komme ich nur so weit, dass c=c ist... naja wenigstens keine falsche Aussage :D
aber wenn der Satz dann bewiesen ist folgt ja daraus, dass
[mm] p|a_{0}*q^{n-1} [/mm] und daraus dann nach Induktion, dass [mm] p|a_{0} [/mm] oder? und das mit [mm] q|a_{n} [/mm] folgt dann analog?
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Hallo,
> sorry, war dabei den Artikel zu verändern und habe deine
> Antwort nicht gesehen :)
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> also den "Satz" kann ich irgendwie nicht beweisen
> also ggt(a,b)=1 und es soll gelten, dass wenn a|b*c
> [mm]\Rightarrow[/mm] a|c
> also wenn a|bc dann gibt es ein d so dass gilt, a*d=b*c
> aber wie schließe ich jetzt daraus, dass nur a|c gilt?
> habe es auch irgendwie versucht mit der definition vom ggt
> zu argumentieren aber da komme ich nur so weit, dass c=c
> ist... naja wenigstens keine falsche Aussage :D
Wenn $ggt(a,b) = 1$, so gibt es doch Zahlen x,y mit $ax+by=1$.
Also ist $c = c*1 = c*(ax+by) = ...$
> aber wenn der Satz dann bewiesen ist folgt ja daraus, dass
> [mm]p|a_{0}*q^{n-1}[/mm] und daraus dann nach Induktion, dass
> [mm]p|a_{0}[/mm] oder? und das mit [mm]q|a_{n}[/mm] folgt dann analog?
Ja.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:48 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Katze_91 |
okay vielen dank ^^
ich werd mal die b versuchen
miau :3
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Sa 12.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > sorry, war dabei den Artikel zu verändern und habe deine
> > Antwort nicht gesehen :)
> >
> > also den "Satz" kann ich irgendwie nicht beweisen
> > also ggt(a,b)=1 und es soll gelten, dass wenn a|b*c
> > [mm]\Rightarrow[/mm] a|c
> > also wenn a|bc dann gibt es ein d so dass gilt, a*d=b*c
> > aber wie schließe ich jetzt daraus, dass nur a|c gilt?
> > habe es auch irgendwie versucht mit der definition vom ggt
> > zu argumentieren aber da komme ich nur so weit, dass c=c
> > ist... naja wenigstens keine falsche Aussage :D
>
> Wenn [mm]ggt(a,b) = 1[/mm], so gibt es doch Zahlen x,y mit [mm]ax+by=1[/mm].
> Also ist [mm]c = c*1 = c*(ax+by) = ...[/mm]
wenn man's mit der Primfaktorzerlegung macht, hat man gleich einen Beweis fuer beliebige faktorielle Ringe (und nicht nur fuer Hauptidealbereiche) 
LG Felix
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