Gaußklammer < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Mo 22.11.2004 | | Autor: | Gero |
Hi @ all,
hab da mal wieder ein Problem mit ner Aufgabe. Diese lautet
"Die Gaußklammer:
[x]:= max [mm] \{k \in \IZ| k \lex \}
[/mm]
bezeichnet die größte ganze Zhl kleiner gleich x [mm] \in \IR. [/mm] Geben Sie di Häufungspunkte der Folge (nx-[nx]) _{n [mm] \in \IN} [/mm] in Abhängigkeit von x [mm] \in \IR [/mm] an.
(Hinweis: Unterscheiden Sie rationales und irrationales x [mm] \in \IR.)"
[/mm]
Nun haben wir als Tipp bekommen:
a [mm] \in \IC [/mm] Häufungspunkt einer Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN}, [/mm] wenn für eine Teilfolge [mm] (a_{n_{k}})_{k \in \IN} a_{n_{k}} \mapsto [/mm] a gilt.
Also, ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung wie ich die Aufgabe angreifen soll! Vielleicht hab ich mal wieder ein Brett vorm Kopf! *gg*
Könnte mir jemand vielleicht nen Ansatz geben?
Danke schon mal im voraus!!!
Gruß
Gero
Ich habe diese Frage nur in diesem Forum gestellt!!!
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Gruß!
Mach Dir als erstes klar, was diese Folge ist!
Zu gegebener Zahl $a [mm] \in \IR$ [/mm] (meinetwegen $a > 0$) ist doch $a - [a]$ der Nachkommaanteil von $a$.
Wenn Du also [mm] $a_n [/mm] := nx - [nx]$ betrachtest, so heißt das: multipliziere $x$ mit $n$ und nimm den Teil nach dem Komma.
Was passiert, wenn $x [mm] \in \IQ$, [/mm] also $x = [mm] \frac{p}{q}$ [/mm] für $p,q [mm] \in \IN$? [/mm] Kannst Du dann zeigen, dass es nur endlich viele Häufungspunkte gibt? Welche? (Nachtrag zur Definition: man kann einen Häufungspunkt auch verstehen als einen Punkt, wo in jeder Umgebung unendlich viele Folgenglieder liegen. Zum Beispiel hat die Folge [mm] $b_n [/mm] = [mm] (-1)^n$ [/mm] sowohl 1 als auch -1 als Häufungspunkt - sie konvergiert aber nicht.)
Kannst Du weiter für $x [mm] \in \IR \backslash \IQ$ [/mm] zeigen, dass jeder Wert $a [mm] \in [/mm] [0,1]$ Häufungspunkt der Folge ist?
Viel Glück!
Lars
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:58 Di 23.11.2004 | | Autor: | Gero |
Hi,
ich hab auch das Problem, dass ich die Gaußklammer nie durchgenommen habe und deshalb kann ich mir die Folge nicht vorstellen.
Heißt das, wenn ich zum Beispiel x=2 wähle:
[mm] (n2-[n2])_{n \in \IN} [/mm] = (2-1),(4-3),... ?
Kannst du mir oder sonst irgendwer das erklären und weitere Tipps zu der oberen Aufgaben geben?
Ich wär sehr froh drüber, denn ich bin am Verzweifeln wegen den Übungsaufgaben!
Danke schonmal im voraus!
Gruß Gero
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hi!
Ich glaub, dein Beispiel ist falsch.
man könnte es z.B. mit x= 5/7 probieren.
Das bedeutet:
[mm] a_{n} [/mm] = nx-[nx]
[mm] a_{1}= [/mm] 1* 5/7-[1*5/7] = 5/7 -0 = 5/7 (n=1)
[mm] a_{2}= [/mm] 2*5/7-[2*5/7]= 10/7-1= 3/7
...
[mm] a_{7} [/mm] = 7*5/7-[5*5/7]= 5-5 = 0
ab [mm] a_{8} [/mm] wiederholen sich die Zahlen, also [mm] a_{8} [/mm] = 5/7
Soweit ein Beispiel.
Weiter kann ich dir leider auch nicht helfen.
Gruß
Annette
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Gero |
Kann vielleicht auch noch jemand anderes helfen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:37 Do 25.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo gut!
Also gut, ich mache dir den Ansatz mal vor:
Sei $x$ rational und ungleich $0$ (der Fall $x=0$ ist gesondert zu betrachten), also:
$x = [mm] \frac{l}{m}$ [/mm] mit $m [mm] \in \IN$, [/mm] $l [mm] \in \IZ \setminus \{0\}$, $\ggT(l,m)=1$.
[/mm]
Dann gibt es nach dem Lemma von Bézout ganze Zahlen $n,k$ mit
$n [mm] \cdot [/mm] l - k [mm] \cdot [/mm] m = 1$.
Formt man dies um, so kommt man auf
$n [mm] \cdot \frac{l}{m} [/mm] - k = [mm] \frac{1}{m} [/mm] <1$.
Daraus folgt:
$k = [mm] \left[ n \cdot \frac{l}{m} \right]$
[/mm]
und damit:
$n [mm] \cdot \frac{l}{m} [/mm] - [mm] \left[ n \cdot \frac{l}{m} \right] [/mm] = [mm] \frac{1}{m}$.
[/mm]
Der Wert [mm] $\frac{1}{m}$ [/mm] wird also von der Folge angenommen und ebenso [mm] $\frac{j}{m}$ [/mm] für alle $1 [mm] \le [/mm] j < m$ wegen
$nj [mm] \cdot \frac{l}{m} [/mm] - j [mm] \left[ n \cdot \frac{l}{m} \right] [/mm] = [mm] \frac{j}{m} [/mm] <1$,
also:
$j [mm] \left[ n \cdot \frac{l}{m} \right] [/mm] = [mm] \left[ nj \cdot \frac{l}{m} \right]$
[/mm]
und somit:
$nj [mm] \cdot \frac{l}{m} [/mm] - [mm] \left[ nj \cdot \frac{l}{m} \right] [/mm] = [mm] \frac{j}{m}$.
[/mm]
Zu zeigen bleibt, dass die Werte [mm] $\frac{j}{m}$ [/mm] unendlich oft angenommen werden, wie die Tutorin ja auch bereits bemerkt hat (sonst wären es nicht zwangsläufig Häufungspunkte).
Hast du dazu vielleicht selber eine Idee?
Viele Grüße
Julius
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