Gaußsche Quadraturformel < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Biggles |
| Aufgabe | Das Integral I = [mm] \int^5_{-3} [/mm] sin x dx soll numerisch ermittelt werden.
a) Berechnen Sie das Integral I mittels Gaußscher Quadraturformel mit 2 und einmal mit 3 Knoten, indem Sie das Integrationsintervall in 4 äquidistante Teilintervalle zerlegen
b)Verwenden Sie die Gaußformel mit 2 Knoten und teilen Sie das Intervall in 8 äquidistante Teilintervalle. |
Hallo
Fragen siehe in der Lösung
a) Zerlege [-3,5] in 4 Teilintervalle
[-3,-1], [-1,1] , [1,3] , [3,5]
Auf Grund der Punktsymmetrie bleibt nur zu betrachten
I = [mm] \int^5_3 [/mm] sin(x) dx
[mm] \int^5_3 [/mm] sin(x) dx = [mm] \int^1_1 [/mm] sin(t+4) dt
Für zwei Knoten gilt daher I = -1.2683
Für drei Knoten I = -1.2737
Wie kommt man bitte auf diese Lösung?
In der Vorlesung hatten wir lediglich ein Beispiel, indem ich die Formel aber nicht verstehe, da hatten wir dann
I = [mm] \frac{5}{9}*f(-\sqrt{3/5})+8/9 f(0)+\frac{5}{9}*f(\sqrt{3/5})
[/mm]
Ich habe das hier auch versucht, mit f(x) = sin(x) und einmal mit f(t) = sin(t+4) und dann halt einmal 3 und 5 eingesetzt und einmal 1 und -1
Ich hatte das auch mal integriert, also in cos(x) oder cos(t+4) eingesetzt, aber aufs richtige Ergebnis komme ich nicht.
Mir fehlt hier einfach die richtige Formel.
Mit Hilfe von Wikipedia komme ich NICHT weiter.
b) Es gilt
I = [mm] \int^4_3 [/mm] sin(x) dx + [mm] \int^5_4 [/mm] sin(x) dx = -1.273350
Auch hier fehlt mir wieder die Fertigformel.
Für euch aber sicher ein leichtes, sodass ihr mir die vielleicht vorsagen könnt?
Vielen Dank,
biggles
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Sa 19.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.Gausssche Quadraturformel ist für mich nicht eindeutig. Kannst du sagen, was genau ihr darunter versteht?
2. ich denke, du musst nicht das intervall von -3 bis 5 einteilen, sondern das von 3 bis 5 bzw -1 bis +1.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 So 20.07.2008 | | Autor: | max3000 |
Ich raff das auch nicht. Der Sinn der Gauß-Quadratur ist es doch eigentlich die Stützstellen selber so zu ermitteln, dass gewisse Ansatzfunktionen (z.B. Polynome) bis zu einem gewissen Grad exakt integriert werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 So 20.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was genau habt ihr denn in der Vorlesung die Gauss quadraturformel genannt?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 So 20.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich glaub ich hab kapiert, was du tun sollst.
Du sollst dein Gesamt-Intervall in 4 teilen und für jedes die Gauss Quadratur mit einmal 2 Stützstellen (bzw. "knoten") einmal 3 knoten machen. Dann die 4 Ergebnisse addieren.
in b dann dasselbe aber für 4 Teilstücke.
(ob du dabei schon das Stück von -3 bis +3 aus Symmetriegründen weglassen sollst weiss ich nicht.
Die Gewichte für die Verfahren findest du in wiki unter Gaussquadratur, legendre.
Gruss leduart
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