Gaußsche Zahlenebene < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
| Aufgabe | | Die Menge der Ungleichung in die Gaußsche Zahlenebene skizzeren! [mm] |z+2|+|z-2|\le6 [/mm] |
Hier weis ich nicht wie ich vorgehen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Hund |
Hallo,
bei solchen Aufgaben gehst du immer gleich vor, du setzt z=x+iy, setzt ein und guckst wie du das umformen kannst, also:
[mm] lz+2l+lz-2l\le6
[/mm]
[mm] (lz+2l)²+2l(x+2+iy)(x-2+iy)l+(lz-2l)²\le36
[/mm]
[mm] (x+2)²+y²+2llx+2+iyl²l+(x-2)²+y²\le36
[/mm]
[mm] 2x²+8+2y²+2((x+2)²+y²)\le36
[/mm]
[mm] 2x²+8+2y²+2x²+8x+8+2y²\le36
[/mm]
[mm] 4x²+8x+16+4y²\le36
[/mm]
[mm] 4(x²+2x+1)+12+4y²\le36
[/mm]
[mm] 4(x+2)²+4y²\le24
[/mm]
[mm] (x+2)²+y²\le6
[/mm]
Das ist die Gleichung eines Kreises, falls ich mich nicht verrechnet habe.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
Hallo,
was ist denn bei dir "l" ? sollen das die Betragsstriche sein? Ich verstehe gar nicht wie du umgeformt hast und was du gerechnet hast, würdest du das vielleicht noch dazu schreiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Toni!
Ja, das sollen jeweils Betragsstriche sein. Vielleicht wird es dir etwas eindeutiger, wenn Du jeweils die Formel für den Betrag einer komplexen Zahl $z \ = \ x+i*y$ berechnest mit:
$$|z| \ = \ |x+i*y| \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2}$$
[/mm]
Damit wird hier also:
$$|z+2|+|z-2| \ [mm] \le [/mm] \ 6$$
$$|(x+i*y)+2|+|(x+i*y)-2| \ [mm] \le [/mm] \ 6$$
$$|(x+2)+i*y|+|(x-2)+i*y| \ [mm] \le [/mm] \ 6$$
[mm] $$\wurzel{(x+2)^2+y^2}+\wurzel{(x-2)^2+y^2} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 6$$
Nun mal die Ungleichung quadrieren und zusammen fassen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
hallo Loddar,
bekomme dann heraus:
[mm] 2x²+2y²\le [/mm] 28
Kreisgleichung lautet ja: x²+y²=r²
mein radius ist also [mm] \wurzel{28}
[/mm]
Imaginärteil auf der y-achse , realteil auf der x-achse.
meine frag ist nun noch wie ich den kreis einzeichne, gehe ich da Koordinatenursprung aus? Und dann mit dem zirkel [mm] \wurzel{28}? [/mm]
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> bekomme dann heraus:
> [mm]2x²+2y²\le[/mm] 28
Hallo,
ich fürchte, hier war der Wunsch Vater des Gedankens...
Ist Dir klar, daß [mm] (\wurzel{a}+\wurzel{b})^2=a [/mm] + [mm] 2\wurzel{ab} [/mm] +b ist?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
Da muss ich auch die binomisch formel anwenden? Wieso denn das? weil da jetzt eine Summe aus zwei Wurzeln steht?
[mm] \wurzel{(x+2)²+y²}+\wurzel{(x-2)²+y²}\le [/mm] 6
(x+2)²+y² [mm] +2\wurzel{((x+2)²+y²)((x-2)²+y²)}+(x-2)²+y²\le36
[/mm]
das kann doch nicht der lösungsweg sein?
die klammern in der mitte auszumultiplizerien is doch ein irre komplizierter weg.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:27 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Toni!
Gegenfrage: warum sollte ausgerechnet hier die binomische Formel nicht gelten?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
hallo,
weil da wurzeln sind. und die sich so schön durch quadrieren entfernen lassen...
[mm] (x²+4x+4+y²)*(x²-4x+4+y²)=x^{4}-4x³+4x²+y²x²+4x³-16x²+16x+4xy²+4x²-16x+8+4y²+x²y²-4xy²+4y²+y^{4}
[/mm]
[mm] =x^{4}+8x²+8y²+2x²y²-16x²+y^{4}+8
[/mm]
[mm] 2x²+2y²+8+2*(x^{4}+8x²+8y²+2x²y²-16x²+y^{4}+8)\le36
[/mm]
ich kann mir nicht vorstellen, das das zu einem richtigen Ergebnis führt. Ich werde wohl irgendwo einen Fehler gemacht haben.
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> ich kann mir nicht vorstellen, das das zu einem richtigen
> Ergebnis führt.
Hallo,
eine hübsche Lösung fast ohne zu rechnen hat Dir ja abakus gesagt.
Du könntest die Sache ja mal rückwärts angehen und die Gleichung seiner Ellipse aufstellen und gucken, ob das mit Deinem Wust übereinstimmt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
O.K. dann versuche ich es mit der methode von abakus!
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:06 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hund,
> Hallo,
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> bei solchen Aufgaben gehst du immer gleich vor, du setzt
> z=x+iy, setzt ein und guckst wie du das umformen kannst,
> also:
>
> [mm]lz+2l+lz-2l\le6[/mm]
> [mm](lz+2l)²+2l(x+2+iy)(x-2+iy)l+(lz-2l)²\le36[/mm]
> [mm](x+2)²+y²+2llx+2+iyl²l+(x-2)²+y²\le36[/mm]
> [mm]2x²+8+2y²+2((x+2)²+y²)\le36[/mm]
> [mm]2x²+8+2y²+2x²+8x+8+2y²\le36[/mm]
> [mm]4x²+8x+16+4y²\le36[/mm]
> [mm]4(x²+2x+1)+12+4y²\le36[/mm]
> [mm]4(x+2)²+4y²\le24[/mm]
> [mm](x+2)²+y²\le6[/mm]
>
> Das ist die Gleichung eines Kreises, falls ich mich nicht
> verrechnet habe.
ohne es genau nachgerechnet zu haben, bin ich mir sicher, dass da ein Fehler vorliegt (abgesehen davon, dass am Ende eine Ungleichung steht und keine Gleichung).
Denn:
Für $x=3$ und $y=0$ ist $z=x+i*y=3$ eine Zahl, die $|z+2|+|z-2| [mm] \le [/mm] 6$ erfüllt, da $|3+2|+|3-2|=5+1=6 [mm] \le [/mm] 6$.
Die Ungleichung [mm] $(x+2)^2+y^2 \le [/mm] 6$ am Ende, die das Innere eines abgeschlossenen Kreises beschreibt, enthält aber die Zahl $z=3$ (mit den "Koordinaten" $x=3$ und $y=0$) nicht, denn
[mm] $(3+2)^2+0^2=5^2=25 [/mm] > 6$
Von daher sollte man auf die Suche nach einem Rechenfehler gehen (der Ansatz ist übrigens (aber das ist Dir eh klar) in Ordnung, aber ich würde $z=x+i*y$ erst später verwenden, da man ja durchaus auch $|z+2|+|z-2| [mm] \le [/mm] 6 [mm] \gdw (|z+2|+|z-2|)^2 \le [/mm] 36$ und sowas wie [mm] $|z+2|^2=(z+2)*\overline{(z+2)}=(z+2)*(\overline{z}+2)$ [/mm] benutzen kann. Da behält man manchmal besser den Überblick  .)
P.S.:
Abgesehen davon, dass ich vorschlagen würde, dass Du [mm] $\gdw$-Zeichen [/mm] benutzen solltest:
Oben schreibst Du
[mm](|z+2|)²+2|(x+2+iy)(x-2+iy)|+(|z-2|)²\le36[/mm]
[mm] \gdw (x+2)²+y²+2||x+2+iy|²|+(x-2)²+y²\le36[/mm]
Das stimmt aber nicht. Es gilt zwar sicherlich
$2|(x+2+iy)(x-2+iy)|=2|x+2+iy||x-2+iy|$
aber i.a. $|x+2+iy| [mm] \not=|x-2+iy|$
[/mm]
Ich nehme an, Du hast da ein wenig zu ungenau hingeguckt und gedacht, dass da $|r+is|$ und $|r-is|$ ($r,s [mm] \in \IR$) [/mm] stünde. Tut's aber nicht. D.h. oben muss man [mm] $|x+2+iy||x-2+iy|=\sqrt{((x+2)^2+y^2)((x-2)^2+y^2)}$ [/mm] benutzen.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Fr 21.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Die Menge der Ungleichung in die Gaußsche Zahlenebene
> skizzeren! [mm]|z+2|+|z-2|\le6[/mm]
> Hier weis ich nicht wie ich vorgehen soll.
Hallo,
betrachen wir zunächst einmal an Stelle der Ungleichung die Gleichung
[mm]|z+2|+|z-2|=6[/mm]
Was sagen die einzelnen Terme?
|z-2| ist doch der Abstand der komplexen Zahl z zur (reellen) Zahl 2 in der Gaußschen Zahlenebene.
|z+2| ist dann der Abstand von z zur Zahl -2.
[mm]|z+2|+|z-2|=6[/mm] beschreibt also alle Punkte der GZE, für die die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten (den "Orten" der Zahlen 2 und -2) den konstanten Wert 6 annimmt. Das ist genau die Beschreibung einer Ellipse mit den Brennpunkten 2+0i und -2+0i. Die Länge der großen Halbachse ist 3, die der kleinen ist [mm] \wurzel{5}.
[/mm]
Da wir nicht die Gleichung [mm]|z+2|+|z-2|=6[/mm], sondern die Ungleichung [mm]|z+2|+|z-2|\le6[/mm] haben, gehören alle Punkte der GZE zur Lösung, die im Inneren oder auf dem Rand der beschriebenen Ellipse liegen.
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
hallo,
wie kommst du auf die längen der beiden halbachsen? Ist hier auch der mittelpunkt der ellpise der Koordinatenursprung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Fr 21.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ein bissel was musst du über Ellipsen wissen!
a)was hat ie große Achse mit der Summe der Abstände zu tun! wenn dus nicht weisst: zeichnen und Abstand zu nem Scheitel von den 2 Brennpunkten ausrechnen.
b) was haben Brennweite und Achsen miteinander zu tun? wieder Abstände- diesmal zum anderen Scheitel ansehen.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Fr 21.03.2008 | | Autor: | abakus |
> hallo,
>
> wie kommst du auf die längen der beiden halbachsen? Ist
> hier auch der mittelpunkt der ellpise der
> Koordinatenursprung?
Ja! Die beiden Brennpunkte liegen schließlich bei 2 und -2.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Fr 21.03.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
mit Re(z) = x und Im(z) = y hast Du folgende Ungleichung
[mm] \wurzel{(x+2)^2+y^2}+\wurzel{(x-2)^2+y^2} \le [/mm] 6
durch ersetzen von [mm] \le [/mm] durch = folgt
[mm] \wurzel{(x+2)^2+y^2} [/mm] = 6 - [mm] \wurzel{(x-2)^2+y^2}
[/mm]
also
[mm] (x+2)^2+y^2 [/mm] = [mm] (x-2)^2+y^2-12\wurzel{(x-2)^2+y^2}+36
[/mm]
also
[mm] x^2+4x+4+y^2=x^2-4x+4+y^2-12\wurzel{(x-2)^2+y^2}+36
[/mm]
also
[mm] 12\wurzel{(x-2)^2+y^2}=36-8x
[/mm]
also
[mm] \bruch{x^2}{9}+\bruch{y^2}{5}=1
[/mm]
das entspricht der Ellipse von abakus.
mfg ullim
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