Gaussscher Algorithmus < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Mi 12.12.2012 | | Autor: | PeterXX |
In einem Lehrbuch, Jahrgang 1972, finde ich unter Übungsaufgaben zum Gaussschen Algorithmus folgende für mich unlösbare Aufgabe, weil ich nicht die Koeffizienten ermitteln kann, um danach den Gauss.Alg. durchzuführen.
[mm]\bruch{xy}{4y-3x}[/mm] = 20
[mm]\bruch{xz}{2x-3z}[/mm] = 15
[mm]\bruch{yz}{4y-5z}[/mm] = 12
Die Lösung ist auf jeden Fall x=5, y=4, z=3, aber wie komme ich mit dem Gauss.Alg. dazu.
Ich danke für eine Hilfe schon im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Mi 12.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> In einem Lehrbuch, Jahrgang 1972, finde ich unter
> Übungsaufgaben zum Gaussschen Algorithmus folgende für
> mich unlösbare Aufgabe, weil ich nicht die Koeffizienten
> ermitteln kann, um danach den Gauss.Alg. durchzuführen.
>
> [mm]\bruch{xy}{4y-3x}[/mm] = 20
>
> [mm]\bruch{xz}{2x-3z}[/mm] = 15
>
> [mm]\bruch{yz}{4y-5z}[/mm] = 12
>
> Die Lösung ist auf jeden Fall x=5, y=4, z=3, aber wie
> komme ich mit dem Gauss.Alg. dazu.
Gar nicht. Der Gauss.Alg. ist zuständig für lineare Gleichungssysteme. Dein Gleichungssystem ist nicht linear.
FRED
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> Ich danke für eine Hilfe schon im voraus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Sa 15.12.2012 | | Autor: | PeterXX |
Ich bin mit der Antwort nicht ganz zufrieden.
Das folgende Beispiel enthält auch keine linearen Gleichungen, ist jedoch im Gaußverfahren lösbar, wenn man substituiert.
[mm]\wurzel{x} +\wurzel{y} =1
\wurzel{x} -\wurzel{y} =5 [/mm]
Mit folgender Substitution ist das Gaussverfahren anwendbar.
[mm] \wurzel{x} = u[/mm] und [mm] \wurzel{y} =v [/mm] ergibt
u-v = 1
u+v = 5.
Die Lösung ergibt sich mit u = 3 und v = 2, und mit Rücksubstitution x = 9 und y = 4.
Nun, zu meiner Anfangsfrage und zu meinem Vertrauen in das von mir genannte Lehrbuch: Es muss irgendeine Substitution, die mir unbekannt ist, möglich sein, um zu im Gauss-Verfahren lösbaren linearen Gleichungen zu gelangen.
Wer kann helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Peter,
Dein Unbehagen kann ich zwar verstehen, aber das ändert wohl kaum etwas an Freds Aussage. Dein zweites Beispiel ist einfacher zu handhaben, da Dir die Substitution geradezu ins Auge springt und Du eine Linearkombination der Unbekannten dann hast. Der zweite Aspekt ist bei Deiner ersten Aufgabe nicht der Fall, hier sind die Unbekannten multiplikativ verknüpft, was bekanntermaßen zu einem nichtlinearen Gleichungssystem führt.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo Peter,
wie Du schon zweimal bestätigt bekommen hast, sind solche nicht-linearen Gleichungssysteme nicht mit dem Gauß-Algorithmus lösbar, wenn man nicht durch geschickte Substitution ein lineares Gleichungssystem erzeugen kann. Das scheint hier aber in keinem Fall möglich zu sein.
Zu einer solchen Aufgabe bräuchte man noch einen Tipp. Der könnte hier lauten:
1) Es gibt nur eine Lösung dieses Gleichungssystems.
2) Nehmen Sie vorläufig an, x,y,z seien ganze Zahlen.
3) Um Teilbarkeitsprobleme zu vermeiden, nehmen Sie erst einmal an, dass der Betrag jedes Nenners 1 ist.
4) Können alle drei Variablen negative Werte annehmen? Oder wieviele maximal?
Damit hättest Du dann schon einmal acht verschiedene Gleichungssysteme zu lösen - alle lösbar! Dann müsste man aber noch in die ursprünglichen Gleichungen einsetzen, wonach doch nur eine Lösung übrigbleibt (die Du schon kennst).
Oder viel einfacher mit nur diesem Tipp:
Nehmen Sie an, dass jeder Nenner 1 sein muss, damit die Aufgabe zu lösen ist.
Das klappt hier; das Gleichungssystem nur aus den Nennern liefert die gewünschte Lösung. Allerdings ist das kein grundsätzlich möglicher Weg, ein solches System zu lösen, sondern nur dieser speziellen Aufgabe geschuldet.
Insofern ist die Aufgabe geradezu hanebüchen, wenn sie ohne weitere Hinweise als Übungsaufgabe zum Gauß-Algorithmus gestellt wird.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 So 23.12.2012 | | Autor: | PeterXX |
Ich habe nochmal scharf nachgedacht, da ich mit den Antworten nicht zufrieden war. Ich habe jetzt den Lösungsweg gefunden:
Die erste Gleichung wird über Kreuz multipliziert und durch xy geteilt , die zweite wird ebenfalls über Kreuz multipliziert und durch xz geteilt etc. Dadurch stehen im Zähler nicht mehr Produkte von Unbekannten. Die Brüche z. B. 1/x werden substituiert mit u, 1/y mit v und 1/z mit w. Damit ist die Anwendung des Gauß-Verfahren möglich, da lineares Gleichungssystem. Nach Ermittlung von u, v und w wird rücksubstituiert und man erhält x, y und z. Ich hoffe, ich bin nicht der einzige, der sich über die gefundene Lösung freut.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 So 23.12.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo PeterXX,
erstens danke, dass Du Dich nach gefundener Lösung damit noch einmal meldest.
Zweitens herzlichen Glückwunsch zu dieser Lösung! Wenn man sie kennt, ist sie (im Nachhinein) ja geradezu offensichtlich - nur dass eben niemand darauf gekommen war. Also springt sie wohl doch nicht so sehr ins Auge. Ich kann Dir versichern, dass ziemlich viele Forumsmitglieder darüber nachgedacht haben und keine bessere Antwort geben konnten als die, die Du bekommen hast.
Drittens ist dies ein hervorragendes Beispiel dafür, dass man nicht zu früh aufgeben soll. Auch das, was unlösbar erscheint, ist mit dem richtigen Ansatz oft auf Standardmethoden zurückzuführen - wenn man nur auf die Idee kommt, wie.
Ein großes Lob jedenfalls auch dafür, dass Du an der Aufgabe "drangeblieben" bist. Ich hatte sie für mich längst abgehakt, und wie man sieht, zu Unrecht.
Herzliche Grüße
reverend
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