Gaußscher Integralsatz < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:10 Fr 18.05.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
| Aufgabe | Sei
[mm] $E:=\{(x,y,z) \in \IR^3: \bruch{x^2}{4} + y^2 + \bruch{z^2}{9} \le1\}$
[/mm]
mit äußerem Einheits-Normalenfeld $v: [mm] \delta [/mm] E [mm] \to \IR^3$. [/mm] Sei $F: [mm] \IR^3 \to \IR^3$ [/mm] das Vektorfeld
$F(x,y,z) := (3x^2z, [mm] y^2-2x, z^3)$.
[/mm]
Berechnen Sie [mm] $\integral_{\partial E} [/mm] < F, v> dS$. |
Hi,
das riecht doch schon richtig nach Gauß. Voraussetzung für Gauß ist ja, dass F stetig diff'bar ist (Ist es, da Jacobimatrix ex. und alle Komponenten Verknüpfungen von stetigen Funktionen sind) und wenn E kompakt mit glatten Rand ist. Wie begründe ich denn das? Also kompakt heißt ja abgeschlossen und beschränkt und das ist es weil [mm] $\le [/mm] 1$?
Okay, wenn ich das geschafft habe gehts zu Gauß:
[mm] $\integral_{\partial E} [/mm] < F, v> dS = [mm] \integral_{E} [/mm] div F(x) d(x,y,z) = $
$ = [mm] \integral_{E} (\summe_{j=1}^{3}{\bruch{\delta F_j}{\delta x_j}}) [/mm] d(x,y,z) =$
$ = [mm] \integral_{E} [/mm] (6xz + 2y + [mm] 3z^2) [/mm] d(x,y,z) = [mm] \integral_{\IR^3} [/mm] (6xz + 2y + [mm] 3z^2)1_E [/mm] d(x,y,z)$
Ist das bis hierher richtig? Jetzt muss ich doch irgendwie Fubini oder Tonelli anwenden. Aber wie??
Ich danke euch, für die super Tipps.
Danke,
Ana-Lena
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:22 Sa 19.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei
>
> [mm]E:=\{(x,y,z) \in \IR^3: \bruch{x^2}{4} + y^2 + \bruch{z^2}{9} \le1\}[/mm]
>
> mit äußerem Einheits-Normalenfeld [mm]v: \delta E \to \IR^3[/mm].
> Sei [mm]F: \IR^3 \to \IR^3[/mm] das Vektorfeld
>
> [mm]F(x,y,z) := (3x^2z, y^2-2x, z^3)[/mm].
>
> Berechnen Sie [mm]\integral_{\delta E} < F, v> dS[/mm].
> Hi,
>
> das riecht doch schon richtig nach Gauß. Voraussetzung
> für Gauß ist ja, dass F stetig diff'bar ist (Ist es, da
> Jacobimatrix ex. und alle Komponenten Verknüpfungen von
> stetigen Funktionen sind) und wenn E kompakt mit glatten
> Rand ist. Wie begründe ich denn das? Also kompakt heißt
> ja abgeschlossen und beschränkt und das ist es weil [mm]\le 1[/mm]?
schreib' Dir das doch auf:
Ich meine: Die Beschränktheit von [mm] $E\,$ [/mm] ist ja nichts anderes als der Nachweis, dass eine Zahl $S > [mm] 0\,$ [/mm] so existiert, dass für alle $x [mm] \in [/mm] E$ schon [mm] $\|x\| \le S\,$ [/mm] folgt - oder äquivalent dazu:
Dass für alle $x [mm] \in [/mm] E$ auch [mm] $\|x\|^2 \le [/mm] T$ mit einem $T > [mm] 0\,$ [/mm] gilt.
Für jedes $(x,y,z) [mm] \in E\,$ [/mm] gilt [mm] $x^2/4+y^2+z^2/9 \le 1\,,$ [/mm] und gut wäre es nun, wenn Du daraus [mm] $x^2+y^2+z^2 \le [/mm] T$ mit einem $T > [mm] 0\,$ [/mm] (das [mm] $T\,$ [/mm] unabhängig von [mm] $x,y,z\,$) [/mm] finden könntest:
Nun ja: $(x,y,z) [mm] \in [/mm] E [mm] \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow 9x^2+36y^2+4z^2 \le 36\,.$ [/mm] Und es gilt offenbar [mm] $x^2+y^2+z^2 \le 9x^2+36y^2+4z^2\,.$ [/mm] Also? Welches $T > [mm] 0\,$ [/mm] ist geeignet?
Zur Abgeschlossenheit:
Wenn [mm] $((x_n,y_n,z_n))_n$ [/mm] irgendeine Folge in [mm] $E\,$ [/mm] ist, die gegen ein $(x,y,z) [mm] \in \IR^3$ [/mm] konvergiert, hast Du nachzuweisen, dass dann schon $(x,y,z) [mm] \in [/mm] E$ folgt - d.h., dass dann auch [mm] $x^2/4+y^2+z^2/9 \le [/mm] 1$ gilt.
(Wegen "der Beliebigkeit der Folge in [mm] $E\,$" [/mm] hast Du dann auch schon gezeigt, dass alle Folgen mit Gliedern in [mm] $E\,,$ [/mm] die im [mm] $\IR^3$ [/mm] einen Grenzwert haben, auf den Grenzwert die Eigenschaft übertragen, dass dieser auch in [mm] $E\,$ [/mm] liegt!)
Da hier Beschränktheit und Abgeschlossenheit Kompaktheit charakterisiert, also insbesondere impliziert, hast Du dann die Kompaktheit von [mm] $E\,$ [/mm] erkannt.
P.S.
Das Randsymbol schreibt man etwa so: [mm] $\partial [/mm] E$
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Sa 19.05.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Hallo Marcel,
danke für deine Antwort und den Tipp mit dem "Symbol für den Rand"!
> Hallo,
>
> > Sei
> >
> > [mm]E:=\{(x,y,z) \in \IR^3: \bruch{x^2}{4} + y^2 + \bruch{z^2}{9} \le1\}[/mm]
>
> >
> > mit äußerem Einheits-Normalenfeld [mm]v: \delta E \to \IR^3[/mm].
> > Sei [mm]F: \IR^3 \to \IR^3[/mm] das Vektorfeld
> >
> > [mm]F(x,y,z) := (3x^2z, y^2-2x, z^3)[/mm].
> >
> > Berechnen Sie [mm]\integral_{\delta E} < F, v> dS[/mm].
> > Hi,
> >
> > das riecht doch schon richtig nach Gauß. Voraussetzung
> > für Gauß ist ja, dass F stetig diff'bar ist (Ist es, da
> > Jacobimatrix ex. und alle Komponenten Verknüpfungen von
> > stetigen Funktionen sind) und wenn E kompakt mit glatten
> > Rand ist. Wie begründe ich denn das? Also kompakt heißt
> > ja abgeschlossen und beschränkt und das ist es weil [mm]\le 1[/mm]?
>
> schreib' Dir das doch auf:
> Ich meine: Die Beschränktheit von [mm]E\,[/mm] ist ja nichts
> anderes als der Nachweis, dass eine Zahl [mm]S > 0\,[/mm] so
> existiert, dass für alle [mm]x \in E[/mm] schon [mm]\|x\| \le S\,[/mm] folgt
> - oder äquivalent dazu:
> Dass für alle [mm]x \in E[/mm] auch [mm]\|x\|^2 \le T[/mm] mit einem [mm]T > 0\,[/mm]
> gilt.
> Für jedes [mm](x,y,z) \in E\,[/mm] gilt [mm]x^2/4+y^2+z^2/9 \le 1\,,[/mm]
> und gut wäre es nun, wenn Du daraus [mm]x^2+y^2+z^2 \le T[/mm] mit
> einem [mm]T > 0\,[/mm] (das [mm]T\,[/mm] unabhängig von [mm]x,y,z\,[/mm]) finden
> könntest:
> Nun ja: [mm](x,y,z) \in E \Rightarrow ... \Rightarrow 9x^2+36y^2+4z^2 \le 36\,.[/mm]
> Und es gilt offenbar [mm]x^2+y^2+z^2 \le 9x^2+36y^2+4z^2\,.[/mm]
> Also? Welches [mm]T > 0\,[/mm] ist geeignet?
Das wäre natürlich $T = 36$ bzw. $S = 6$, oder?
> Zur Abgeschlossenheit:
> Wenn [mm]((x_n,y_n,z_n))_n[/mm] irgendeine Folge in [mm]E\,[/mm] ist, die
> gegen ein [mm](x,y,z) \in \IR^3[/mm] konvergiert, hast Du
> nachzuweisen, dass dann schon [mm](x,y,z) \in E[/mm] folgt - d.h.,
> dass dann auch [mm]x^2/4+y^2+z^2/9 \le 1[/mm] gilt.
> (Wegen "der Beliebigkeit der Folge in [mm]E\,[/mm]" hast Du dann
> auch schon gezeigt, dass alle Folgen mit Gliedern in [mm]E\,,[/mm]
> die im [mm]\IR^3[/mm] einen Grenzwert haben, auf den Grenzwert die
> Eigenschaft übertragen, dass dieser auch in [mm]E\,[/mm] liegt!)
>
Kann ich da sagen, dass ich eine Folge [mm]((x_n,y_n,z_n))_n \in E[/mm] betrachte und da [mm] x_n \to [/mm] x, [mm] y_n \to [/mm] y und [mm] z_n \to [/mm] z gilt
[mm]\limes_{(x_n,y_n,z_n)\rightarrow (x,y,z)} x_n^2/4+y_n^2+z_n^2/9= x^2/4+y^2+z^2/9 \le 1[/mm] und deswegen ist [mm] $(x,y,z)\in [/mm] E$.
> Da hier Beschränktheit und Abgeschlossenheit Kompaktheit
> charakterisiert, also insbesondere impliziert, hast Du dann
> die Kompaktheit von [mm]E\,[/mm] erkannt.
>
> P.S.
> Das Randsymbol schreibt man etwa so: [mm]\partial E[/mm]
>
Hab ich glatt geändert. Danke!
> Gruß,
> Marcel
Liebe Grüße,
Ana-Lena
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Sa 19.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ana-Lena,
> Hallo Marcel,
>
> danke für deine Antwort und den Tipp mit dem "Symbol für
> den Rand"!
>
> > Hallo,
> >
> > > Sei
> > >
> > > [mm]E:=\{(x,y,z) \in \IR^3: \bruch{x^2}{4} + y^2 + \bruch{z^2}{9} \le1\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > mit äußerem Einheits-Normalenfeld [mm]v: \delta E \to \IR^3[/mm].
> > > Sei [mm]F: \IR^3 \to \IR^3[/mm] das Vektorfeld
> > >
> > > [mm]F(x,y,z) := (3x^2z, y^2-2x, z^3)[/mm].
> > >
> > > Berechnen Sie [mm]\integral_{\delta E} < F, v> dS[/mm].
> > >
> Hi,
> > >
> > > das riecht doch schon richtig nach Gauß. Voraussetzung
> > > für Gauß ist ja, dass F stetig diff'bar ist (Ist es, da
> > > Jacobimatrix ex. und alle Komponenten Verknüpfungen von
> > > stetigen Funktionen sind) und wenn E kompakt mit glatten
> > > Rand ist. Wie begründe ich denn das? Also kompakt heißt
> > > ja abgeschlossen und beschränkt und das ist es weil [mm]\le 1[/mm]?
>
> >
> > schreib' Dir das doch auf:
> > Ich meine: Die Beschränktheit von [mm]E\,[/mm] ist ja nichts
> > anderes als der Nachweis, dass eine Zahl [mm]S > 0\,[/mm] so
> > existiert, dass für alle [mm]x \in E[/mm] schon [mm]\|x\| \le S\,[/mm] folgt
> > - oder äquivalent dazu:
> > Dass für alle [mm]x \in E[/mm] auch [mm]\|x\|^2 \le T[/mm] mit einem [mm]T > 0\,[/mm]
> > gilt.
> > Für jedes [mm](x,y,z) \in E\,[/mm] gilt [mm]x^2/4+y^2+z^2/9 \le 1\,,[/mm]
> > und gut wäre es nun, wenn Du daraus [mm]x^2+y^2+z^2 \le T[/mm] mit
> > einem [mm]T > 0\,[/mm] (das [mm]T\,[/mm] unabhängig von [mm]x,y,z\,[/mm]) finden
> > könntest:
> > Nun ja: [mm](x,y,z) \in E \Rightarrow ... \Rightarrow 9x^2+36y^2+4z^2 \le 36\,.[/mm]
> > Und es gilt offenbar [mm]x^2+y^2+z^2 \le 9x^2+36y^2+4z^2\,.[/mm]
> > Also? Welches [mm]T > 0\,[/mm] ist geeignet?
>
> Das wäre natürlich [mm]T = 36[/mm] bzw. [mm]S = 6[/mm], oder?
ja. Natürlich ginge auch jedes $T > [mm] 36\,.$
[/mm]
> > Zur Abgeschlossenheit:
> > Wenn [mm]((x_n,y_n,z_n))_n[/mm] irgendeine Folge in [mm]E\,[/mm] ist, die
> > gegen ein [mm](x,y,z) \in \IR^3[/mm] konvergiert, hast Du
> > nachzuweisen, dass dann schon [mm](x,y,z) \in E[/mm] folgt - d.h.,
> > dass dann auch [mm]x^2/4+y^2+z^2/9 \le 1[/mm] gilt.
> > (Wegen "der Beliebigkeit der Folge in [mm]E\,[/mm]" hast Du dann
> > auch schon gezeigt, dass alle Folgen mit Gliedern in [mm]E\,,[/mm]
> > die im [mm]\IR^3[/mm] einen Grenzwert haben, auf den Grenzwert die
> > Eigenschaft übertragen, dass dieser auch in [mm]E\,[/mm] liegt!)
> >
> Kann ich da sagen, dass ich eine Folge [mm]((x_n,y_n,z_n))_n \in E[/mm]
> betrachte und da [mm]x_n \to[/mm] x, [mm]y_n \to[/mm] y und [mm]z_n \to[/mm] z gilt
>
> [mm]\limes_{(x_n,y_n,z_n)\rightarrow (x,y,z)} x_n^2/4+y_n^2+z_n^2/9= x^2/4+y^2+z^2/9 \le 1[/mm]
> und deswegen ist [mm](x,y,z)\in E[/mm].
Ja, das ist aber schon ein wenig knapp. Wenigstens [mm] $x_n^2/4+y_n^2+z_n^2/9 \le [/mm] 1$ für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] solltest Du erwähnen. Das ganze kann man, wenn man will, genauso beweisen, wie man beweist, dass eine Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] in [mm] $\IR\,,$ [/mm] die für ein $r [mm] \in \IR$ [/mm] dann [mm] $a_n \le [/mm] r$ für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] erfüllt, erfüllt:
Falls [mm] $(a_n)$ [/mm] konvergent gegen $a [mm] \in \IR\,,$ [/mm] so folgt schon $a [mm] \le r\,.$
[/mm]
Der Beweis dazu beginnt etwa so:
"Wäre $r > [mm] a\,,$ [/mm] so setze man [mm] $\epsilon_0:=(r-a)/2\,.$ [/mm] Wegen $r > [mm] a\,$ [/mm] ist dann [mm] $\epsilon_0 [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Zu diesem [mm] $\epsilon_0 [/mm] > 0$ existiert dann ein [mm] $N=N_{\epsilon_0} \in \IN$ [/mm] so, dass..."
So ähnlich könntest Du das auch bei Deiner Aufgabe so angehen - an mancher Stelle braucht man dann sowas wie, dass Summen, Produkte stetiger Funktionen stetig sind und natürlich auch die Grenzwertsätze für konvergente Folgen. Ich selbst würde das oben akzeptieren, wenn Du sowas schreibst:
Falls die [mm] $(x_n,y_n,z_n) \in [/mm] E$ gegen ein $(x,y,z) [mm] \in \IR^3$ [/mm] konvergieren, so setzen wir [mm] $w_n:=x_n^2/4+y_n^2+z_n^2/9\,.$ [/mm] Nach Voraussetzung gilt dann für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] auch [mm] $w_n \le 1\,,$ [/mm] und aus der Konvergenz von [mm] $x_n \to x\,,$ $y_n \to [/mm] y$ und [mm] $z_n \to [/mm] z$ folgt dann [mm] $w_n \to w:=x^2/4+y^2+z^2/9\,,$ [/mm] so dass wir auch $w [mm] \le [/mm] 1$ erhalten - damit ist aber $(x,y,z) [mm] \in [/mm] E$ gezeigt.
Das ist jetzt zwar sehr knapp, aber Du kannst das meinetwegen ja auch noch schöner aufschreiben - aber wesentlich andere Informationen wirst Du da nicht wirklich verpacken, denke ich 
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Sa 19.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Ana-Lena!
> Sei
>
> [mm]E:=\{(x,y,z) \in \IR^3: \bruch{x^2}{4} + y^2 + \bruch{z^2}{9} \le1\}[/mm]
>
> mit äußerem Einheits-Normalenfeld [mm]v: \delta E \to \IR^3[/mm].
> Sei [mm]F: \IR^3 \to \IR^3[/mm] das Vektorfeld
>
> [mm]F(x,y,z) := (3x^2z, y^2-2x, z^3)[/mm].
>
> Berechnen Sie [mm]\integral_{\partial E} < F, v> dS[/mm].
>
> Hi,
>
> das riecht doch schon richtig nach Gauß. Voraussetzung
> für Gauß ist ja, dass F stetig diff'bar ist (Ist es, da
> Jacobimatrix ex. und alle Komponenten Verknüpfungen von
> stetigen Funktionen sind) und wenn E kompakt mit glatten
> Rand ist. Wie begründe ich denn das? Also kompakt heißt
> ja abgeschlossen und beschränkt und das ist es weil [mm]\le 1[/mm]?
>
> Okay, wenn ich das geschafft habe gehts zu Gauß:
>
> [mm]\integral_{\partial E} < F, v> dS = \integral_{E} div F(x) d(x,y,z) =[/mm]
>
> [mm]= \integral_{E} (\summe_{j=1}^{3}{\bruch{\delta F_j}{\delta x_j}}) d(x,y,z) =[/mm]
>
> [mm]= \integral_{E} (6xz + 2y + 3z^2) d(x,y,z) = \integral_{\IR^3} (6xz + 2y + 3z^2)1_E d(x,y,z)[/mm]
>
> Ist das bis hierher richtig? Jetzt muss ich doch irgendwie
> Fubini oder Tonelli anwenden. Aber wie??
Am besten durch geschickte Parametrisierung des Integrationsgebiets. Wäre E eine Kugel oder Halbkugel, würdest du Kugelkoordinaten wählen. Da es sich um ein Ellipsoid handelt, also eine Kugel, die in x-Richtung um den Faktor 2 und in z-Richtung um den Faktor 3 gestreckt wurde, bieten sich folgende Koordinaten an: [mm] $0\le r\le 1,0\le\theta\le\pi,0\le\varphi\le\pi$ [/mm] mit
[mm] x=2r\sin\theta\cos\varphi, y=r\sin\theta\sin\varphi, z=3r\cos\theta [/mm] .
Damit reduziert sich die Bedingung [mm] $\bruch{x^2}{4} [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] \bruch{z^2}{9} \le1$ [/mm] auf [mm] $r^2\le [/mm] 1$ .
Du musst dann laut Transformationssatz nur noch die Funktionaldeterminante der Abbildung [mm] $(r,\theta,\varphi)\mapsto(x,y,z)$ [/mm] ausrechnen. (Sie ist gerade die übliche Funktionaldeterminante für Kugelkoordianten mal 6.)
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Sa 19.05.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Hallo Rainer :)
> Hallo Ana-Lena!
>
> > Sei
> >
> > [mm]E:=\{(x,y,z) \in \IR^3: \bruch{x^2}{4} + y^2 + \bruch{z^2}{9} \le1\}[/mm]
>
> >
> > mit äußerem Einheits-Normalenfeld [mm]v: \delta E \to \IR^3[/mm].
> > Sei [mm]F: \IR^3 \to \IR^3[/mm] das Vektorfeld
> >
> > [mm]F(x,y,z) := (3x^2z, y^2-2x, z^3)[/mm].
> >
> > Berechnen Sie [mm]\integral_{\partial E} < F, v> dS[/mm].
> >
> > Hi,
> >
> > das riecht doch schon richtig nach Gauß. Voraussetzung
> > für Gauß ist ja, dass F stetig diff'bar ist (Ist es, da
> > Jacobimatrix ex. und alle Komponenten Verknüpfungen von
> > stetigen Funktionen sind) und wenn E kompakt mit glatten
> > Rand ist. Wie begründe ich denn das? Also kompakt heißt
> > ja abgeschlossen und beschränkt und das ist es weil [mm]\le 1[/mm]?
>
> >
> > Okay, wenn ich das geschafft habe gehts zu Gauß:
> >
> > [mm]\integral_{\partial E} < F, v> dS = \integral_{E} div F(x) d(x,y,z) =[/mm]
>
> >
> > [mm]= \integral_{E} (\summe_{j=1}^{3}{\bruch{\delta F_j}{\delta x_j}}) d(x,y,z) =[/mm]
>
> >
> > [mm]= \integral_{E} (6xz + 2y + 3z^2) d(x,y,z) = \integral_{\IR^3} (6xz + 2y + 3z^2)1_E d(x,y,z)[/mm]
>
> >
> > Ist das bis hierher richtig? Jetzt muss ich doch irgendwie
> > Fubini oder Tonelli anwenden. Aber wie??
>
> Am besten durch geschickte Parametrisierung des
> Integrationsgebiets. Wäre E eine Kugel oder Halbkugel,
> würdest du Kugelkoordinaten wählen. Da es sich um ein
> Ellipsoid handelt, also eine Kugel, die in x-Richtung um
> den Faktor 2 und in z-Richtung um den Faktor 3 gestreckt
> wurde, bieten sich folgende Koordinaten an: [mm]0\le r\le 1,0\le\theta\le\pi,0\le\varphi\le\pi[/mm]
> mit
Woher weiß ich denn dass eine Kugel (Menge E) um Faktor 2 in x-Richtung und um Faktor 3 in z-Richtung gestreckt ist... Ist sie nicht eher gestaucht?
> [mm]x=2r\sin\theta\cos\varphi, y=r\sin\theta\sin\varphi, z=3r\cos\theta[/mm]
> .
Da sieht eher nach einer n-dim. -Polarkoordinatentransformation aus wo der Radius gestreckt wurde. Das sehe ich zum ersten Mal. Kann man das noch anders machen?
> Damit reduziert sich die Bedingung [mm]\bruch{x^2}{4} + y^2 + \bruch{z^2}{9} \le1[/mm]
> auf [mm]r^2\le 1[/mm] .
>
> Du musst dann laut Transformationssatz nur noch die
> Funktionaldeterminante der Abbildung
> [mm](r,\theta,\varphi)\mapsto(x,y,z)[/mm] ausrechnen. (Sie ist
> gerade die übliche Funktionaldeterminante für
> Kugelkoordianten mal 6.)
>
> Viele Grüße
> Rainer
>
Viele Grüße,
Ana-Lena
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 Sa 19.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Ana-Lena!
> Hallo Rainer :)
>
> > Hallo Ana-Lena!
> >
> > > Sei
> > >
> > > [mm]E:=\{(x,y,z) \in \IR^3: \bruch{x^2}{4} + y^2 + \bruch{z^2}{9} \le1\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > mit äußerem Einheits-Normalenfeld [mm]v: \delta E \to \IR^3[/mm].
> > > Sei [mm]F: \IR^3 \to \IR^3[/mm] das Vektorfeld
> > >
> > > [mm]F(x,y,z) := (3x^2z, y^2-2x, z^3)[/mm].
> > >
> > > Berechnen Sie [mm]\integral_{\partial E} < F, v> dS[/mm].
> > >
> > > Hi,
> > >
> > > das riecht doch schon richtig nach Gauß. Voraussetzung
> > > für Gauß ist ja, dass F stetig diff'bar ist (Ist es, da
> > > Jacobimatrix ex. und alle Komponenten Verknüpfungen von
> > > stetigen Funktionen sind) und wenn E kompakt mit glatten
> > > Rand ist. Wie begründe ich denn das? Also kompakt heißt
> > > ja abgeschlossen und beschränkt und das ist es weil [mm]\le 1[/mm]?
>
> >
> > >
> > > Okay, wenn ich das geschafft habe gehts zu Gauß:
> > >
> > > [mm]\integral_{\partial E} < F, v> dS = \integral_{E} div F(x) d(x,y,z) =[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]= \integral_{E} (\summe_{j=1}^{3}{\bruch{\delta F_j}{\delta x_j}}) d(x,y,z) =[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]= \integral_{E} (6xz + 2y + 3z^2) d(x,y,z) = \integral_{\IR^3} (6xz + 2y + 3z^2)1_E d(x,y,z)[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ist das bis hierher richtig? Jetzt muss ich doch irgendwie
> > > Fubini oder Tonelli anwenden. Aber wie??
> >
> > Am besten durch geschickte Parametrisierung des
> > Integrationsgebiets. Wäre E eine Kugel oder Halbkugel,
> > würdest du Kugelkoordinaten wählen. Da es sich um ein
> > Ellipsoid handelt, also eine Kugel, die in x-Richtung um
> > den Faktor 2 und in z-Richtung um den Faktor 3 gestreckt
> > wurde, bieten sich folgende Koordinaten an: [mm]0\le r\le 1,0\le\theta\le\pi,0\le\varphi\le\pi[/mm]
> > mit
>
> Woher weiß ich denn dass eine Kugel (Menge E) um Faktor 2
> in x-Richtung und um Faktor 3 in z-Richtung gestreckt
> ist... Ist sie nicht eher gestaucht?
Nein, denn [mm]\bruch{x^2}{4} + y^2 + \bruch{z^2}{9} \le1[/mm] bedeutet doch, dass [mm] $x^2/4\le [/mm] 1$ und [mm] $z^2/9\le [/mm] 1$, also [mm] $-2\le [/mm] x [mm] \le [/mm] +2$ und $-3 [mm] \le z\le [/mm] +3$.
Anders ausgedrückt: der Schnitt bei y=0 ist eine Ellipse mit Halbachsen 2 und 3.
> > [mm]x=2r\sin\theta\cos\varphi, y=r\sin\theta\sin\varphi, z=3r\cos\theta[/mm]
> > .
>
> Da sieht eher nach einer n-dim.
> -Polarkoordinatentransformation aus wo der Radius gestreckt
> wurde.
Richtig. Du kannst es auch sehen als zwei hintereinanderausgeführte Koordinatentransformationen: zunächst wird E mit einer linearen Transformation auf die Einheitskugel abgebildet.
[mm] x =2x'[/mm], [mm] y= y'[/mm], [mm]z=3z' [/mm] .
Die Funktionaldeterminate der Abbildung ist 6, daher ist
[mm] \integral_{E} (6xz + 2y + 3z^2) d(x,y,z) = \integral_{B_1} (36x'z'+2y'+27z'^2) *6 \,d(x',y',z') [/mm],
und dann kannst du auf Kugelkoordinaten transformieren.
> Das sehe ich zum ersten Mal. Kann man das noch
> anders machen?
Mit Sicherheit, aber das erscheint mir die einfachste Methode.
>
>
> > Damit reduziert sich die Bedingung [mm]\bruch{x^2}{4} + y^2 + \bruch{z^2}{9} \le1[/mm]
> > auf [mm]r^2\le 1[/mm] .
> >
> > Du musst dann laut Transformationssatz nur noch die
> > Funktionaldeterminante der Abbildung
> > [mm](r,\theta,\varphi)\mapsto(x,y,z)[/mm] ausrechnen. (Sie ist
> > gerade die übliche Funktionaldeterminante für
> > Kugelkoordianten mal 6.)
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
> >
>
> Viele Grüße,
> Ana-Lena
>
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Sa 19.05.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Hallo Rainer,
wieso kann ich ein Integral in einem Ellipsoid einfach auf ein Integral in einer Einheitskugel transformieren? (Ist das die Trafo-Formel von Jacobi?) Welche Voraussetzung müssen denn gelten?
z.B. $f [mm] \circ \phi [/mm] = [mm] f(\phi(x))$ [/mm] meßbar? bzw. $f [mm] \circ \phi [/mm] * [mm] det(J_{\phi})$ [/mm] integ'bar (mit Trafo [mm] \phi [/mm] )
> [mm]\integral_{E} (6xz + 2y + 3z^2) d(x,y,z) = \integral_{B_1} (36x'z'+2y'+27z'^2) *6 \,d(x',y',z') [/mm],
Okay, Sphärische Koordinaten bzw. n-dim. Polarkoodinaten hatten wir.
$x' = [mm] r*\sin \Theta [/mm] * [mm] \cos \phi$
[/mm]
$y' = r* [mm] \sin \Theta [/mm] * [mm] \sin \phi$
[/mm]
$z' = [mm] r*\cos \Theta [/mm] $
mit $0 [mm] \le \Theta \le \pi$, $-\pi \le \phi \le \pi$ [/mm] Jacobi-Determinate [mm] $r^2 [/mm] * sin [mm] \Phi$. [/mm] Da wir auf der Einheitskugel sind ist $r = 1$. Daraus folgt:
[mm] = \integral_{B_1} (36 * \sin^2(\Theta) * \cos(\phi) * \sin(\phi)+2 * \sin(\Theta) * \sin(\Phi)+27 * \cos^2(\Theta)) *6 \sin(\Theta) * d(\Theta,\phi) [/mm]
[mm] = \integral_{B_1} (216 * \sin^3(\Theta) * \cos(\phi) * \sin(\phi)+2 * \sin^2(\Theta) * \sin(\Phi)+27 * \cos^2(\Theta) * \sin(\Theta)) * d(\Theta,\phi) [/mm]
[mm] = \integral_{-\pi}^{\pi} \integral_{0}^{\pi} (216 * \sin^3(\Theta) * \cos(\phi) * \sin(\phi)+2 * \sin^2(\Theta) * \sin(\Phi)+27 * \cos^2(\Theta) * \sin(\Theta)) * d(\Theta) d(\phi) [/mm]
Ich integriere die Summe mal Stück für Stück (ohne Konstante c)...
[mm]
f_1(\Theta) = 216 * \sin^3(\Theta) * \cos(\phi) * \sin(\phi)
F_1(\Theta) = -\cos(\Theta) *\bruch{1}{4} * \sin^4(\Theta) * 216 * \cos(\phi) * \sin(\phi)
f_2(\Theta) = 2 * \sin^2(\Theta) * \sin(\Phi)
F_2(\Theta) = -\cos(\Theta) *\bruch{1}{3} \sin^3(\Theta) * 2 * \sin(\Phi)
f_3(\Theta) = 27 * \cos^2(\Theta) * \sin(\Theta) = 27 * (1-\sin^2(\Theta)) *\sin(\Theta) = 27 * \sin(\Theta) - 27 *\sin^3 (\Theta)
F_3(\Theta) = -27 * \cos(\Theta) + 27 *\cos(\Theta) *\bruch{1}{4} * \sin^4(\Theta)
[/mm]
Und da [mm] $\sin(0) [/mm] = [mm] \sin(\pi) [/mm] = 0$ gilt:
[mm] $F_1(0) [/mm] = [mm] F_1(\pi) [/mm] = 0$
[mm] $F_2(0) [/mm] = [mm] F_2(\pi) [/mm] = 0$
[mm] $F_3(0) [/mm] = -27$
[mm] $F_3(\pi) [/mm] = +27$
Somit folgt
[mm] = \integral_{-\pi}^{\pi} F_3(\pi) - F_3(0) * d(\phi) = \integral_{-\pi}^{\pi} 54 * d(\phi) = 0 [/mm]
> > > Du musst dann laut Transformationssatz nur noch die
> > > Funktionaldeterminante der Abbildung
> > > [mm](r,\theta,\varphi)\mapsto(x,y,z)[/mm] ausrechnen. (Sie ist
> > > gerade die übliche Funktionaldeterminante für
> > > Kugelkoordianten mal 6.)
Stimmt, sieht man oben.
Danke :) Wo liegt denn bei mir der Fehler!? Oder ist 0 richtig? Welche Voraussetzungen muss ich denn noch prüfen?
Liebe Grüße,
Ana-Lena
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:15 So 20.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Ana-Lena!
> Hallo Rainer,
>
> wieso kann ich ein Integral in einem Ellipsoid einfach auf
> ein Integral in einer Einheitskugel transformieren? (Ist
> das die Trafo-Formel von Jacobi?) Welche Voraussetzung
> müssen denn gelten?
>
> z.B. [mm]f \circ \phi = f(\phi(x))[/mm] meßbar? bzw. [mm]f \circ \phi * det(J_{\phi})[/mm]
> integ'bar (mit Trafo [mm]\phi[/mm] )
Die Abbildung [mm] $\phi$, [/mm] die das Ellipsoid auf eine Kugel abbildet ist linear, bijektiv und damit stetig diff'bar. Also existiert [mm] $det(J_{\phi})$ [/mm] und ist stetig.
f ist stetig, also messbar, ebenso ist [mm] $f\circ\phi$ [/mm] stetig undd daher messbar. Also ist [mm]f \circ \phi * det(J_{\phi})[/mm] stetig und damit auch integrierbar.
>
> > [mm]\integral_{E} (6xz + 2y + 3z^2) d(x,y,z) = \integral_{B_1} (36x'z'+2y'+27z'^2) *6 \,d(x',y',z') [/mm],
>
> Okay, Sphärische Koordinaten bzw. n-dim. Polarkoodinaten
> hatten wir.
>
> [mm]x' = r*\sin \Theta * \cos \phi[/mm]
> [mm]y' = r* \sin \Theta * \sin \phi[/mm]
>
> [mm]z' = r*\cos \Theta[/mm]
>
> mit [mm]0 \le \Theta \le \pi[/mm], [mm]-\pi \le \phi \le \pi[/mm]
> Jacobi-Determinate [mm]r^2 * sin \Phi[/mm]. Da wir auf der
> Einheitskugel sind ist [mm]r = 1[/mm].
Nein, du integrierst über das Volumen der Einheitskugel, nicht über ihre Oberfläche. Es ist immer noch ein dreidimensionales Integral. Du musst also r von 0 bis 1 integrieren.
> Daraus folgt:
>
> [mm]= \integral_{B_1} (36 * \sin^2(\Theta) * \cos(\phi) * \sin(\phi)+2 * \sin(\Theta) * \sin(\Phi)+27 * \cos^2(\Theta)) *6 \sin(\Theta) * d(\Theta,\phi)[/mm]
[mm] \integral_{B_1} (36 * \sin^2(\Theta) * \cos(\phi) * \sin(\phi)+2 * \sin(\Theta) * \sin(\phi)+27 * \cos^2(\Theta)) *6 \sin(\Theta) * d(r,\Theta,\phi)[/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:40 So 20.05.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
> Hallo Ana-Lena!
>
> > Hallo Rainer,
> >
> > wieso kann ich ein Integral in einem Ellipsoid einfach auf
> > ein Integral in einer Einheitskugel transformieren? (Ist
> > das die Trafo-Formel von Jacobi?) Welche Voraussetzung
> > müssen denn gelten?
> >
> > z.B. [mm]f \circ \phi = f(\phi(x))[/mm] meßbar? bzw. [mm]f \circ \phi * det(J_{\phi})[/mm]
> > integ'bar (mit Trafo [mm]\phi[/mm] )
>
> Die Abbildung [mm]\phi[/mm], die das Ellipsoid auf eine Kugel
> abbildet ist linear, bijektiv und damit stetig diff'bar.
> Also existiert [mm]det(J_{\phi})[/mm] und ist stetig.
>
> f ist stetig, also messbar, ebenso ist [mm]f\circ\phi[/mm] stetig
> undd daher messbar. Also ist [mm]f \circ \phi * det(J_{\phi})[/mm]
> stetig und damit auch integrierbar.
>
Stimmt, danke :)
> >
> > > [mm]\integral_{E} (6xz + 2y + 3z^2) d(x,y,z) = \integral_{B_1} (36x'z'+2y'+27z'^2) *6 \,d(x',y',z') [/mm],
>
> >
> > Okay, Sphärische Koordinaten bzw. n-dim. Polarkoodinaten
> > hatten wir.
> >
> > [mm]x' = r*\sin \Theta * \cos \phi[/mm]
> > [mm]y' = r* \sin \Theta * \sin \phi[/mm]
>
> >
> > [mm]z' = r*\cos \Theta[/mm]
> >
> > mit [mm]0 \le \Theta \le \pi[/mm], [mm]-\pi \le \phi \le \pi[/mm]
> > Jacobi-Determinate [mm]r^2 * sin \Phi[/mm]. Da wir auf der
> > Einheitskugel sind ist [mm]r = 1[/mm].
>
> Nein, du integrierst über das Volumen der Einheitskugel,
> nicht über ihre Oberfläche. Es ist immer noch ein
> dreidimensionales Integral. Du musst also r von 0 bis 1
> integrieren.
>
Okay, macht Sinn, danke. Kann es sein, dass es nicht viel ändert?
[mm] $f_1(r) [/mm] = 216 * [mm] r^4 [/mm] * [mm] \sin^3 \Theta [/mm] * [mm] \sin \phi [/mm] * [mm] \cos \phi$
[/mm]
[mm] $F_1(r) [/mm] = [mm] \bruch{216}{5} [/mm] * [mm] r^5 [/mm] * [mm] \sin^3 \Theta [/mm] * [mm] \sin \phi [/mm] * [mm] \cos \phi$
[/mm]
[mm] $f_2(r) [/mm] = 12 * [mm] r^3 [/mm] * [mm] \sin^2 \Theta [/mm] * [mm] \sin \phi [/mm] $
[mm] $F_2(r) [/mm] = 3 * [mm] r^4 [/mm] * [mm] \sin^2 \Theta [/mm] * [mm] \sin \phi [/mm] $
[mm] $f_3(r) [/mm] = 162 * [mm] r^4 [/mm] * [mm] \cos^2 \Theta [/mm] * [mm] \sin \Theta [/mm] $
[mm] $F_3(r) [/mm] = [mm] \bruch{162}{5} [/mm] * [mm] r^5 [/mm] * [mm] \cos^2 \Theta [/mm] * [mm] \sin \Theta [/mm] $
Denn jetzt ist
[mm]= \integral_{- \pi}^{\pi}\integral_{0}^{\pi} [F_1(r)+F_2(r)+F_3(r)]_{r=0}^{1}* d(\Theta)*d(\phi)[/mm]
und da [mm] $F_1(0) [/mm] = [mm] F_2(0) [/mm] = [mm] F_3(0) [/mm] = 0$ kommen wir immer noch zu dem gleichen Ende, dass $0$ rauskommt. :(
> > Daraus folgt:
> >
> > [mm]= \integral_{B_1} (36 * \sin^2(\Theta) * \cos(\phi) * \sin(\phi)+2 * \sin(\Theta) * \sin(\Phi)+27 * \cos^2(\Theta)) *6 \sin(\Theta) * d(\Theta,\phi)[/mm]
>
> [mm]\integral_{B_1} (36 * \sin^2(\Theta) * \cos(\phi) * \sin(\phi)+2 * \sin(\Theta) * \sin(\phi)+27 * \cos^2(\Theta)) *6 \sin(\Theta) * d(r,\Theta,\phi)[/mm]
>
> Viele Grüße
> Rainer
Liebe Grüße
Ana-Lena
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 So 20.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Ana-Lena!
> > Hallo Ana-Lena!
> >
> > > Hallo Rainer,
> > >
> > > wieso kann ich ein Integral in einem Ellipsoid einfach auf
> > > ein Integral in einer Einheitskugel transformieren? (Ist
> > > das die Trafo-Formel von Jacobi?) Welche Voraussetzung
> > > müssen denn gelten?
> > >
> > > z.B. [mm]f \circ \phi = f(\phi(x))[/mm] meßbar? bzw. [mm]f \circ \phi * det(J_{\phi})[/mm]
> > > integ'bar (mit Trafo [mm]\phi[/mm] )
> >
> > Die Abbildung [mm]\phi[/mm], die das Ellipsoid auf eine Kugel
> > abbildet ist linear, bijektiv und damit stetig diff'bar.
> > Also existiert [mm]det(J_{\phi})[/mm] und ist stetig.
> >
> > f ist stetig, also messbar, ebenso ist [mm]f\circ\phi[/mm] stetig
> > undd daher messbar. Also ist [mm]f \circ \phi * det(J_{\phi})[/mm]
> > stetig und damit auch integrierbar.
> >
>
> Stimmt, danke :)
>
> > >
> > > > [mm]\integral_{E} (6xz + 2y + 3z^2) d(x,y,z) = \integral_{B_1} (36x'z'+2y'+27z'^2) *6 \,d(x',y',z') [/mm],
>
> >
> > >
> > > Okay, Sphärische Koordinaten bzw. n-dim. Polarkoodinaten
> > > hatten wir.
> > >
> > > [mm]x' = r*\sin \Theta * \cos \phi[/mm]
> > > [mm]y' = r* \sin \Theta * \sin \phi[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]z' = r*\cos \Theta[/mm]
> > >
> > > mit [mm]0 \le \Theta \le \pi[/mm], [mm]-\pi \le \phi \le \pi[/mm]
> > > Jacobi-Determinate [mm]r^2 * sin \Phi[/mm]. Da wir auf der
> > > Einheitskugel sind ist [mm]r = 1[/mm].
> >
> > Nein, du integrierst über das Volumen der Einheitskugel,
> > nicht über ihre Oberfläche. Es ist immer noch ein
> > dreidimensionales Integral. Du musst also r von 0 bis 1
> > integrieren.
> >
>
> Okay, macht Sinn, danke. Kann es sein, dass es nicht viel
> ändert?
>
> [mm]f_1(r) = 216 * r^4 * \sin^3 \Theta * \sin \phi * \cos \phi[/mm]
>
> [mm]F_1(r) = \bruch{216}{5} * r^5 * \sin^3 \Theta * \sin \phi * \cos \phi[/mm]
>
> [mm]f_2(r) = 12 * r^3 * \sin^2 \Theta * \sin \phi[/mm]
>
> [mm]F_2(r) = 3 * r^4 * \sin^2 \Theta * \sin \phi[/mm]
>
> [mm]f_3(r) = 162 * r^4 * \cos^2 \Theta * \sin \Theta[/mm]
>
> [mm]F_3(r) = \bruch{162}{5} * r^5 * \cos^2 \Theta * \sin \Theta[/mm]
>
> Denn jetzt ist
>
> [mm]= \integral_{- \pi}^{\pi}\integral_{0}^{\pi} [F_1(r)+F_2(r)+F_3(r)]_{r=0}^{1}* d(\Theta)*d(\phi)[/mm]
>
> und da [mm]F_1(0) = F_2(0) = F_3(0) = 0[/mm] kommen wir immer noch
> zu dem gleichen Ende, dass [mm]0[/mm] rauskommt. :(
Ich habe die Terme [mm] $F_1(r)$ [/mm] und [mm] $F_2(r)$ [/mm] nicht komplett nachgerechnet; aber das Integral über [mm] $\phi$ [/mm] ist auf jeden Fall 0, weil die Stammfunktion bzgl. [mm] $\phi$ [/mm] periodisch mit Periode [mm] $2\pi$ [/mm] ist.
Bei [mm] $F_3$ [/mm] hast du dich verechnet:
[mm]\integral_{- \pi}^{\pi}\integral_{0}^{\pi}[F_3(r)]_{r=0}^{1}* d(\Theta)*d(\phi) = 2\pi \bruch{162}{5} \integral_{0}^{\pi}\cos^2 \Theta * \sin \Theta d\Theta [/mm] .
Mit der Substitution [mm] $u=\cos\Theta$ [/mm] ist das
[mm] = 2\pi \bruch{162}{5} \integral_{-1}^{+1} u^2 du = \pi \bruch{162}{5} * \left[\bruch{u^3}{3}\right]_{-1}^{+1} = \pi \bruch{162}{5} * \bruch{2}{3} [/mm] .
Kürzen der Brüche überlasse ich dir
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 So 20.05.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Hallo Rainer und Co,
> > Denn jetzt ist
> >
> > [mm]= \integral_{- \pi}^{\pi}\integral_{0}^{\pi} [F_1(r)+F_2(r)+F_3(r)]_{r=0}^{1}* d(\Theta)*d(\phi)[/mm]
>
> >
> > und da [mm]F_1(0) = F_2(0) = F_3(0) = 0[/mm] kommen wir immer noch
> > zu dem gleichen Ende, dass [mm]0[/mm] rauskommt. :(
>
> Ich habe die Terme [mm]F_1(r)[/mm] und [mm]F_2(r)[/mm] nicht komplett
> nachgerechnet; aber das Integral über [mm]\phi[/mm] ist auf jeden
> Fall 0, weil die Stammfunktion bzgl. [mm]\phi[/mm] periodisch mit
> Periode [mm]2\pi[/mm] ist.
>
> Bei [mm]F_3[/mm] hast du dich verechnet:
>
> [mm]\integral_{- \pi}^{\pi}\integral_{0}^{\pi}[F_3(r)]_{r=0}^{1}* d(\Theta)*d(\phi) = 2\pi \bruch{162}{5} \integral_{0}^{\pi}\cos^2 \Theta * \sin \Theta d\Theta[/mm]
> .
>
> Mit der Substitution [mm]u=\cos\Theta[/mm] ist das
>
> [mm]= 2\pi \bruch{162}{5} \integral_{-1}^{+1} u^2 du = \pi \bruch{162}{5} * \left[\bruch{u^3}{3}\right]_{-1}^{+1} = \pi \bruch{162}{5} * \bruch{2}{3}[/mm]
> .
Okay ich habe auch nach der Integration über $r$:
[mm] $f_3(\Theta) [/mm] = [mm] \bruch{162}{5} [/mm] * [mm] cos^2(\Theta) [/mm] * [mm] \sin(\Theta) [/mm] = [mm] \bruch{162}{5} [/mm] * [mm] (1-sin^2(\Theta)) [/mm] * [mm] \sin(\Theta) [/mm] = [mm] \bruch{162}{5}*\sin(\Theta)-\bruch{162}{5}*\sin^3(\Theta)$
[/mm]
Damit [mm] $F_3(\Theta) [/mm] = [mm] -\bruch{162}{5}*\cos(\Theta)+\bruch{162}{5*4}*\cos(Theta)*\sin^4(\Theta)$
[/mm]
[mm] $\integral_{-\pi}^{\pi}\integral_{0}^{\pi} f_3(\Theta)* d(\Theta)*d(\phi)$
[/mm]
[mm] $=\integral_{-\pi}^{\pi} 2*\bruch{162}{5} *d(\phi) [/mm] = [mm] 2*\pi*\bruch{162}{5}$
[/mm]
Wo liegt jetzt der Fehler??
>
> Kürzen der Brüche überlasse ich dir
>
> Viele Grüße
> Rainer
>
Vielen Dank,
Ana-Lena
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 So 20.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Ana-Lena!
>
> [mm]f_3(\Theta) = \bruch{162}{5} * cos^2(\Theta) * \sin(\Theta) = \bruch{162}{5} * (1-sin^2(\Theta)) * \sin(\Theta) = \bruch{162}{5}*\sin(\Theta)-\bruch{162}{5}*\sin^3(\Theta)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Damit [mm]F_3(\Theta) = -\bruch{162}{5}*\cos(\Theta)+\bruch{162}{5*4}*\cos(Theta)*\sin^4(\Theta)[/mm]
Nein, die Stammfunktion von [mm] $\sin^3\Theta$ [/mm] ist falsch, die ist nämlich [mm] $\bruch{1}{3}\cos^3\Theta-\cos\Theta$. [/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:23 Mo 21.05.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Oh wieso? Ich dachte [mm] $(\sin(\Theta))^3$ [/mm] könne man mit der umgekehrten Kettenregel ausrechnen...
Dann sind doch bestimmt noch andere Integrale falsch!?
Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 Mo 21.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Oh wieso? Ich dachte [mm](\sin(\Theta))^3[/mm] könne man mit der
> umgekehrten Kettenregel ausrechnen...
ich würde so vorgehen:
[mm] $$\int \sin^3 xdx=\int \sin^2(x)*\sin(x)dx=\int (1-\cos^2(x))\sin(x)dx=\int \sin(x)dx +\int \sin^2(x)*(-\;\cos(x))dx\,.$$
[/mm]
Eine Stammfunktion von $x [mm] \mapsto \sin^3(x)$ [/mm] bekommst Du so:
Eine Stammfunktion von $x [mm] \mapsto \sin(x)$ [/mm] ist trivial, und eine Stammfunktion für $x [mm] \maspto \cos^2(x)*(-\sin(x))$ [/mm] bekommst Du mit Substitution (oder meinetwegen laut Deiner Bezeichnung "umgekehrte Kettenregel").
P.S:
Stammfunktionen sind i.a. nicht eindeutig (sondern i.a. nur eindeutig bis auf eine konstante Funktion) - daher immer das eine!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:46 Mo 21.05.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Danke, Marcel :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:39 Mo 21.05.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Hallo Rainer,
> Ich habe die Terme [mm]F_1(r)[/mm] und [mm]F_2(r)[/mm] nicht komplett
> nachgerechnet; aber das Integral über [mm]\phi[/mm] ist auf jeden
> Fall 0, weil die Stammfunktion bzgl. [mm]\phi[/mm] periodisch mit
> Periode [mm]2\pi[/mm] ist.
>
> Bei [mm]F_3[/mm] hast du dich verechnet:
>
> [mm]\integral_{- \pi}^{\pi}\integral_{0}^{\pi}[F_3(r)]_{r=0}^{1}* d(\Theta)*d(\phi) = 2\pi \bruch{162}{5} \integral_{0}^{\pi}\cos^2 \Theta * \sin \Theta d\Theta[/mm]
> .
>
> Mit der Substitution [mm]u=\cos\Theta[/mm] ist das
>
> [mm]= 2\pi \bruch{162}{5} \integral_{-1}^{+1} u^2 du = \pi \bruch{162}{5} * \left[\bruch{u^3}{3}\right]_{-1}^{+1} = \pi \bruch{162}{5} * \bruch{2}{3}[/mm]
kann es sein, dass dir eine 2 vor dem [mm] $\pi$ [/mm] verloren gegangen ist?
> .
>
> Kürzen der Brüche überlasse ich dir
>
> Viele Grüße
> Rainer
>
Viele Grüße,
Ana-Lena
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Mo 21.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Ana-Lena!
> > [mm]= 2\pi \bruch{162}{5} \integral_{-1}^{+1} u^2 du = \pi \bruch{162}{5} * \left[\bruch{u^3}{3}\right]_{-1}^{+1} = \pi \bruch{162}{5} * \bruch{2}{3}[/mm]
>
> kann es sein, dass dir eine 2 vor dem [mm]\pi[/mm] verloren gegangen
> ist?
Kann schon sein
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:42 Mo 21.05.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Hallo,
mich würde mal interessieren, was ich da eigentlich mache. Ich habe ein Vektorfeld F, der jedem Punkt im Raum einen Vektor zuweist. Das kann ich mir vorstellen wie eine Meeresströmung? Oder was gibt es noch für schöne Bilder?
Über viele Sensoren (in einem Ellipsoid) messe ich dann den Gesamtfluss?
Ich wäre euch echt dankbar, wenn ich mir das ganze ein wenig besser vorstellen kann.
Liebe Grüße
Ana-Lena
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Mo 21.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> mich würde mal interessieren, was ich da eigentlich mache.
> Ich habe ein Vektorfeld F, der jedem Punkt im Raum einen
> Vektor zuweist. Das kann ich mir vorstellen wie eine
> Meeresströmung? Oder was gibt es noch für schöne
> Bilder?
Ja, eine Meeresströmung ist gar nicht so schlecht. Allerdings gibt es einen wesentlichen Unterschied zu der Aufgabe: Wasser ist inkompressibel und daher muss immer genausoviel Wasser aus einem Volumen herausströmen wie in das Volumen hineinströmt. Für Wasser ist die Divergenz 0.
Eine positive Divergenz sagt aus, dass sich Masse aus einem Volumen herausbewegt: es ist eine Quelle vorhanden. Eine negative Divergenz entspricht einer Senke. Messbar ist das natürlich nur für endliche Volumina; die Divergenz ist der Grenzwert, wenn man das Volumen gegen 0 gehen lässt.
> Über viele Sensoren (in einem Ellipsoid) messe ich dann
> den Gesamtfluss?
Ja, das ist eine gute Beschreibung des Oberflächenintegrals.
> Ich wäre euch echt dankbar, wenn ich mir das ganze ein
> wenig besser vorstellen kann.
Wenn du das von der Oberfläche eingeschlossene Volumen in viele kleine Volumenelemente aufteilst, dann gibt die Divergenz des Vektorfeldes für jedes dieser Volumenelemente an, wieviel hinein- oder herausfließt. Summierst du alle diese Beiträge auf, dann ergibt sich, wieviel in das gesamte Volumen hinein- oder aus ihm herausfließt. Der Satz von Gauss sagt, dass dies gleich dem Gesamtfluss durch die Oberfläche ist - eigentlich ganz plausibel, oder?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
