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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 So 22.01.2012 | | Autor: | doom0852 |
| Aufgabe | | Gegebn sei das Vektorfeld [mm] \overrightarrow{A} [/mm] = [mm] c*\overrightarrow{r} [/mm] . BEtraachten sie einen Zylinder, definiert durch Bedingungen 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] H und 0 [mm] \le \wurzel{x^2 + y^2} \le [/mm] R. Verifizieren Sie Gültigkeit des Gaußschen Satzes durch explizite Berechnung des Volumen und Oberflächenintegrals. |
Hi,
Mir ist nicht klar, ob ich den Nablaoperator bei div(A) auch in Zylinderkoordianten angeben muss, normalerweiße hab ich das immer so gemacht, dass ich das Vektorfeld mit dem kartesischen Nabla abgeleitet hab und dann die Zylinder (oder Kugelkoordinaten je nach Aufgabe) für x y oder z je nachdem was übrigbleibt eingesetzt habe. Wenn ich das hier mache kommt bei div(A)= 3c heraus für [mm] \overrightarrow{r} [/mm] = [mm] (x,y,z)^T [/mm] . Ist das so korrekt.
Desweiteren muss ich dann noch das Volumenelement [mm] d^3 [/mm] r berechnen, was durch [mm] Rd\phi*dz*dr*\overrightarrow{e_p} [/mm] gegebn sei müsste. [mm] d\overrightarrow{f} [/mm] lässt sich ja über die tangentialvektoren Berechen. Wie muss ich hier paramtriesieren? [mm] \phi [/mm] , p, z ?
Danke für die Hilfe/Korrekturen
Was mir noch eingefallen ist: Ich bin mir nichtmal sicher ob ich das Vektorfeld nich auch noch erst in Zylinderkoordianten transformieren muss, bevor ich die Divergenz bilde bzw. das Skalarprodukt mit dem Flächenelement df bei dem Integral auf der anderen Seite des Gaußschen Satzes, und dann wie gesagt der nablaoperator ebenfalls in Zylinderkoordianten? ;)
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Hallo doom0852,
> Gegebn sei das Vektorfeld [mm]\overrightarrow{A}[/mm] =
> [mm]c*\overrightarrow{r}[/mm] . BEtraachten sie einen Zylinder,
> definiert durch Bedingungen 0 [mm]\le[/mm] z [mm]\le[/mm] H und 0 [mm]\le \wurzel{x^2 + y^2} \le[/mm]
> R. Verifizieren Sie Gültigkeit des Gaußschen Satzes durch
> explizite Berechnung des Volumen und
> Oberflächenintegrals.
>
> Hi,
>
> Mir ist nicht klar, ob ich den Nablaoperator bei div(A)
> auch in Zylinderkoordianten angeben muss, normalerweiße
> hab ich das immer so gemacht, dass ich das Vektorfeld mit
> dem kartesischen Nabla abgeleitet hab und dann die Zylinder
> (oder Kugelkoordinaten je nach Aufgabe) für x y oder z je
> nachdem was übrigbleibt eingesetzt habe. Wenn ich das hier
> mache kommt bei div(A)= 3c heraus für [mm]\overrightarrow{r}[/mm] =
> [mm](x,y,z)^T[/mm] . Ist das so korrekt.
> Desweiteren muss ich dann noch das Volumenelement [mm]d^3[/mm] r
> berechnen, was durch [mm]Rd\phi*dz*dr*\overrightarrow{e_p}[/mm]
Das ist nicht richtig, denn es ist hier
ueber den ganzen Zylinder zu parametrisieren.
> gegebn sei müsste. [mm]d\overrightarrow{f}[/mm] lässt sich ja
> über die tangentialvektoren Berechen. Wie muss ich hier
> paramtriesieren? [mm]\phi[/mm] , p, z ?
Parametrisiere die Oberfläche des Zylinders.
> Danke für die Hilfe/Korrekturen
> Was mir noch eingefallen ist: Ich bin mir nichtmal sicher
> ob ich das Vektorfeld nich auch noch erst in
> Zylinderkoordianten transformieren muss, bevor ich die
> Divergenz bilde bzw. das Skalarprodukt mit dem
> Flächenelement df bei dem Integral auf der anderen Seite
> des Gaußschen Satzes, und dann wie gesagt der
> nablaoperator ebenfalls in Zylinderkoordianten? ;)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 So 22.01.2012 | | Autor: | doom0852 |
Achso, das war ja nur der Mantel den ich da beschrieben hatte.
D.h. ich muss noch die 2 Kreisdeckel beschreiben:
[mm] dr*r*d\phi \overrightarrow{e_z} [/mm] ?
Aber wie schreibe ich jetzt df? ich kann ja nich einfach dazuaddieren oder?
klein r sollte i.d.F. glaub ich groß R sein.
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Hallo doom0852,
> Achso, das war ja nur der Mantel den ich da beschrieben
> hatte.
> D.h. ich muss noch die 2 Kreisdeckel beschreiben:
> [mm]dr*r*d\phi \overrightarrow{e_z}[/mm] ?
Das ist richtig.
> Aber wie schreibe ich jetzt df? ich kann ja nich einfach
> dazuaddieren oder?
Doch kannst Du.
Der zugehörige Normalenvektor muss nach aussen zeigen.
> klein r sollte i.d.F. glaub ich groß R sein.
Die Fläche benötigt 2 Parameter,daher eher "r".
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 So 22.01.2012 | | Autor: | doom0852 |
Ok, soweit so gut. Jezt habe ich als df(ges)= [mm] 2drrd\phi\overrightarrow{e_z} [/mm] + [mm] Rd\phidz\overrightarrow{e_p} [/mm]
Wenn ich jetzt Das Skalaprodukt mit dem Vektorfeld bilden will um das "Flächenrand/hülleintegral" zu berechnen muss ich zwangsweise das Vektorfeld in Zylinderkoordianten transformieren oder? Oder umgekehrt df in kartesische und dann [mm] \overrightarrow{r} [/mm] = [mm] (x,y,z)^T [/mm] so stehn lassen.
Btw.: Die Grenzen des Volumenintegrals sind y(x)= [mm] \pm \wurzel{R^2 - x^2} [/mm] und x von R bis -R und Z von 0 bis H gegeben oder? Ach neinn mir ist grad eingefalen dass ich über die Zylinderkoordianten integrieren muss, also über [mm] \phi [/mm] und dp und dz. Aber wozu brauch ich dann die Angaben?
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Hallo doom0852,
> Ok, soweit so gut. Jezt habe ich als df(ges)=
> [mm]2drrd\phi\overrightarrow{e_z}[/mm] +
> [mm]Rd\phidz\overrightarrow{e_p}[/mm]
> Wenn ich jetzt Das Skalaprodukt mit dem Vektorfeld bilden
> will um das "Flächenrand/hülleintegral" zu berechnen muss
> ich zwangsweise das Vektorfeld in Zylinderkoordianten
> transformieren oder? Oder umgekehrt df in kartesische und
> dann [mm]\overrightarrow{r}[/mm] = [mm](x,y,z)^T[/mm] so stehn lassen.
>
Hier benötigst Du das Skalarprodukt von Vektorfeld
und dem jeweiligen Normalenvektor der Fläche.
Das musst Du natürlich in Zylinderkoordinaten angeben.
> Btw.: Die Grenzen des Volumenintegrals sind y(x)= [mm]\pm \wurzel{R^2 - x^2}[/mm]
> und x von R bis -R und Z von 0 bis H gegeben oder? Ach
> neinn mir ist grad eingefalen dass ich über die
> Zylinderkoordianten integrieren muss, also über [mm]\phi[/mm] und
> dp und dz. Aber wozu brauch ich dann die Angaben?
Damit Du die Grenzen in Zylinderkoordinaten angeben kannst.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 So 22.01.2012 | | Autor: | doom0852 |
Achherje wie mir diese Koordinatenwechsel auf die Ei** gehen...und das am Sonntagabend.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 So 22.01.2012 | | Autor: | doom0852 |
Ok, ich habe jetzt das Skalarprodukt berechnet:
[mm] cpcos^2(\phi)Rd \phi*dz [/mm] + [mm] cpsin^2(\phi)Rd\phi*dz [/mm] + [mm] 2czdrr*d\phi
[/mm]
Wie rechne ich die Grenzen um? R bleibt doch R oder?
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Hallo doom0852,
> Ok, ich habe jetzt das Skalarprodukt berechnet:
>
> [mm]cpcos^2(\phi)Rd \phi*dz[/mm] + [mm]cpsin^2(\phi)Rd\phi*dz[/mm] +
> [mm]2czdrr*d\phi[/mm]
>
Poste dazu Deine Rechenschritte.
> Wie rechne ich die Grenzen um? R bleibt doch R oder?
Berechne doch die entstehenden Integrale einzeln.
Gruss
MathePower
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[mm] \overrightarrow{A}= (cpcos(\phi),cpsin(\phi),cz)^T
[/mm]
da [mm] \overrightarrow{e_p} [/mm] = [mm] (cos(\phi), sin(\phi), 0)^T [/mm] ist folgt aus der gleichung für df das Ergebnis des Skalarproduktes oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 So 22.01.2012 | | Autor: | doom0852 |
Und was ist jetzt eigentlich mit dem Nabla? dER muss offensichtlich auch in Zylinderkoordinaten berechnet werden, oder?.
Und das is mir für heut zu blöd, vllt reicht es auch wenn ich eine Formel dazu aus dem Internet nehme und die Divergenz garnicht erst Herleiten muss.
Der ganze Sonntag für Vektoranalysis draufggangen wunderbar :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Mo 23.01.2012 | | Autor: | doom0852 |
Mein Tutor heute meinte, dass ich die 2 Kreisdeckel garnicht brauche bei dem df. Da das Vektorfeld wenn ich es in Zylinderkoordianten hinschreibe, sieht man ja dass der Vetkor r nur auf PUnkte auf den Mantel zeigt. Stimmt das so?
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Hallo doom0852,
> Mein Tutor heute meinte, dass ich die 2 Kreisdeckel
> garnicht brauche bei dem df. Da das Vektorfeld wenn ich es
> in Zylinderkoordianten hinschreibe, sieht man ja dass der
> Vetkor r nur auf PUnkte auf den Mantel zeigt. Stimmt das
> so?
Ja, für den Mantel brauchst Du die 2 Kreisdeckel nicht.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 24.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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