Gebr. rat. Fkt. HILFEEE < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo!
Ich habe ein riesiges Problem bei einer Mathematikaufgabe, die wir in Vorberetung auf eine Kursarbeit bekommen haben. Die Aufgabenstellung lautet:
f t (x)= (x²-4)/(x-t)
Führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion durch (Asymptote, Restterm, Definitionslücke, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Graph für t=3(nicht so wichtig)
Bestimmen Sie außerdem die Ortskurve der Extrema. |
Ok, also die Asymptote, Restterm, Definitionslücken und die Ableitungen bekomme ich ja soweit raus.
ANgeblich soll es sich aber hier bei t teils um Sonderfälle handeln (bei t=2 ; -2)
Kann mir das bitte jemand erklären, wie man hier darauf kommt, dass es Sonderfälle gibt?!
Mein zweites Problem liegt u.A. bei den Extremwerten...
nach Umstellen der ersten Ableitung bekommt man aus
f'(x)= (x²- 2tx +4) / ((x-t)²) nach 0 umgestellt... 0=x²-2tx+4
laut Lösungsformel kommt dabei heraus, dass x 1/2 = t +/- Wurzel (t²-4)
Kann mir hier bitte jemand dann anschaunlich erklären, wie man auf den dazugehörigen y-Wert kommt? Ok, durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung, aber ich bekomm das hier auf Grund der Wurzeln nicht hin?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank schonmal für die Antworten.
Phil
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> Die Aufgabenstellung lautet:
> f t (x)= (x²-4)/(x-t)
> Führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion durch
> (Asymptote, Restterm, Definitionslücke, Nullstellen,
> Extrema, Wendepunkte, Graph für t=3(nicht so wichtig)
> Bestimmen Sie außerdem die Ortskurve der Extrema[...]
> ANgeblich soll es sich aber hier bei t teils um
> Sonderfälle handeln (bei t=2 ; -2)
> Kann mir das bitte jemand erklären, wie man hier darauf
> kommt, dass es Sonderfälle gibt?!
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Erinnerst Du Dich daran, daß [mm] a^2-b^2=(a+b)(a-b) [/mm] ist? Dritte binomische Formel.
Man kann die Funktion [mm] f_t [/mm] also schreiben als
[mm] f_t(x)= (x²-4)/(x-t)=\bruch{(x+2)(x-2)}{x-t}.
[/mm]
Diese Funktion hat, egal wie man t wählt, eine Definitionslücke an der Stelle x=t, denn man darf t nicht einsetzen, weil sonst der Nenner =0 würde.
Für t=2 haben wir nun eine Besonderheit:
es ist [mm] f_2(x)=\bruch{(x+2)(x-2)}{x-2}, [/mm] und wir können kürzen, so daß wir erhalten [mm] f_2(x)=x+2.
[/mm]
Das ist fast eine Gerade, bloß daß unsere Funktion [mm] f_2 [/mm] wie oben erwähnt für x=2 nicht definiert ist. sie hat an dieser Stelle eine Definitionslücke. Dies Lücke macht sich als "Löchlein" im ansonsten durchlaufenden Graphen "bemerkbar" - man hat hier keine Polstelle! (Am besten plottest Du mal ein paar der Funktionen [mm] f_t, [/mm] z.b. t=1,2,3, da siehst Du den Unterschied.)
Ebenso kannst Du Dir nun überlegen, was aus der Funktion wird, wenn Du t=-2 betrachtest.
> Mein zweites Problem liegt u.A. bei den Extremwerten...
> nach Umstellen der ersten Ableitung bekommt man aus
> f'(x)= (x²- 2tx +4) / ((x-t)²) nach 0 umgestellt...
> 0=x²-2tx+4
> laut Lösungsformel kommt dabei heraus, dass x 1/2 = t +/-
> Wurzel (t²-4)
Ja.
>
> Kann mir hier bitte jemand dann anschaunlich erklären, wie
> man auf den dazugehörigen y-Wert kommt? Ok, durch Einsetzen
> in die Ausgangsgleichung, aber ich bekomm das hier auf
> Grund der Wurzeln nicht hin?
Ich fürchte, daß sich Wurzel hier kaum vermeiden lassen - es sei denn, Du hast es mit Deinen Spezialfällen zu tun.
Gucken wir mal nach, was herauskommt:
[mm] f_t(t+\wurzel{t^2-4})=\bruch{(t+\wurzel{t^2-4})^2-4}{(t+\wurzel{t^2-4})-t} =\bruch{t^2+2t\wurzel{t^2-4} + t^2 -4 - 4}{\wurzel{t^2-4}}=\bruch{2t^2+2t\wurzel{t^2-4} -8}{\wurzel{t^2-4}}= 2*\bruch{t^2-4 + t\wurzel{t^2-4} }{\wurzel{t^2-4}}= 2*[\bruch{t^2-4 }{\wurzel{t^2-4}}+ \bruch{ t\wurzel{t^2-4} }{\wurzel{t^2-4}}]= 2*[\wurzel{t^2-4}+t].
[/mm]
Das sieht doch ganz übersichtlich aus, ich hoffe, daß ich nichts verkehrt gemacht habe.
Für [mm] x_2=t-\wurzel{t^2-4} [/mm] geht das dann so ähnlich.
Gruß v. Angela
P.S.: Unterhalb des Eingabefensters findest Du Eingabehilfen für den Formeleditor. Wurzeln, [mm] \pm [/mm] und vieles mehr ist möglich.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Do 27.03.2008 | | Autor: | blablabla |
Hallo Angela.
Vielen herzlichen Dank für Ihre sehr umfangreiche und optimale Erläuterung =).
Ich wünsche Ihnen noch ein schönen Donnerstag.
Mit freundlichem Gruß
Phil
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