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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Do 29.10.2009 | | Autor: | zitrone |
Hallo,
irgendwie hab ich Probleme mit meinem jetzigen Mathethema--> gebrochen rat. Funktionen. Hab ein paar Funktionen bekommen und muss anhand dieser Funktionen den Definitionbereich, Symmetrie, Pole, Nullstellen, Asymptote bestimmen.
Ich hab es versucht, nur bin ich mir nicht sicher, ob es auch richtig ist. Könnte sich das bitte jemand angucken?
Zudem hab ich noch eine Frage zu den Polen. Pole sind ja die schrägen Asymptoten. Wie bekommt man die raus? Etwas durch die Polynomdivision?: [mm] (2x^{3}-x):(x^{2}-1)= [/mm] 2x+ [mm] \bruch{x}{x^{2}-1}
[/mm]
ist dann das rote die schräge Asymptote?Und wenn, wieso?
"Normale" Asymptote, bekomme ich die durch den Limus, oder gibt es da keinen Unterschied?
Nun zu den Funktionen:
[mm] \bruch{x^{2}-1}{x^{2}+4}
[/mm]
Definitionsmenge = [mm] \IR
[/mm]
Symmetrie: acchsensym.
Nst: (1|0)(-1|0), weil...
[mm] x^{2}-1=0 [/mm] | +1
[mm] x^{2} [/mm] =1 | [mm] \wurzel{}
[/mm]
x = + - 1
Wenn ich bei solchen Aufgaben die Nullstelle berechnen will, muss ich dann immer denn Zähler nehmen, um es auszurechnen? Oder wie könnte man es noch machen?
Die "normale" Asymptote kann ich doch vom limus Wert bestimmen, oder? also dann 1 ?
lg zitrone
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Do 29.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo zitrone!
> Zudem hab ich noch eine Frage zu den Polen. Pole sind ja
> die schrägen Asymptoten. Wie bekommt man die raus?
Nein: Pole liegen vor bei den Nullstellen des Nenners (= Definitionslücke), wenn sie nicht gleichzeitig Nullstellen des Zählers sind.
> Etwas durch die Polynomdivision?: [mm](2x^{3}-x):(x^{2}-1)=[/mm] 2x+ [mm]\bruch{x}{x^{2}-1}[/mm]
> ist dann das rote die schräge Asymptote?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja.!
> Und wenn, wieso?
Weil der Restterm (= gebrochenrational) für sehr große und sehr kleine (also [mm] $x\rightarrow\pm\infty$ [/mm] ) sich immer mehr der null annähert.
> "Normale" Asymptote, bekomme ich die durch den Limus, oder
> gibt es da keinen Unterschied?
Das wäre hier kein Unterschied, da ja die Grenzwerte [mm] $x\rightarrow\pm\infty$ [/mm] untersucht würden.
> Nun zu den Funktionen:
>
> [mm]\bruch{x^{2}-1}{x^{2}+4}[/mm]
>
> Definitionsmenge = [mm]\IR[/mm]
> Symmetrie: acchsensym.
Begründung?
> Nst: (1|0)(-1|0), weil...
> [mm]x^{2}-1=0[/mm] | +1
> [mm]x^{2}[/mm] =1 | [mm]\wurzel{}[/mm]
> x = + - 1
> Wenn ich bei solchen Aufgaben die Nullstelle berechnen
> will, muss ich dann immer denn Zähler nehmen, um es
> auszurechnen? Oder wie könnte man es noch machen?
So ist es richtig.
Ein Bruchterm ist genau dann gleich Null, wenn der Zähler null wird.
> Die "normale" Asymptote kann ich doch vom limus Wert
> bestimmen, oder? also dann 1 ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Do 29.10.2009 | | Autor: | zitrone |
Guten Abend,
Vielen dank!^^
Hab aber noch eine kleine Frage:
Wie sieht es damit aus? Besteht da auch eine Polstelle, auch wenn hinter der 1 kein x steht?
[mm] x^{2} [/mm] - 1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
F(x) [mm] x^{2} [/mm] - 4
[mm] (x^{2} [/mm] - 1) [mm] :(x^{2}-4)=1+ \bruch{3}{x^{2}-4}
[/mm]
lg zitrone
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Hallo!
Ja sicher!
Die Funktion hat bei [mm] $\pm [/mm] 1$ ihre Nullstellen, weil der Zähler sie da hat. Und bei [mm] $\pm [/mm] 2$ hat der Nenner seine Nullstellen, hier gibt es Pole!
Übrigens solltest du die Polynomdivision so erstmal sein lassen, denn dann bekommst du keinen reinen Bruch mehr, und kannst die Nullstellen nicht mehr so einfach bestimmen.
Etwas anders sieht es hier aus:
[mm] f(x)=\frac{(x-3)(x-2)}{(x-3)}
[/mm]
Hier haben Zähler und Nenner 3 als NUllstelle, und man kann den Term (x-3) wegkürzen. Es bleibt f(x)=(x-2), und das hat keine Polstelle mehr. Die Nullstellen von Zähler und Nenner haben sich gegenseitig aufgehoben. ABER: x=3 darf man dennoch nicht in die ursprüngliche Funktion einsetzen, das würde immernoch ne Division durch 0 ergeben. Daher nennt man das (hebbare) Definitionslücke. Kein Pol, aber eine nicht definierte Stelle.
Was ist mit
[mm] f(x)=\frac{(x-3)(x-2)}{(x-3)^2} [/mm] ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Do 29.10.2009 | | Autor: | zitrone |
Guten Abend,
hab dann noch eine letzte Frage:
also wäre das keine Polstelle?:
[mm] \bruch{6-x^{2}}{x}
[/mm]
lg zitrone
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Do 29.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Guten Abend,
>
> hab dann noch eine letzte Frage:
>
> also wäre das keine Polstelle?:
>
> [mm]\bruch{6-x^{2}}{x}[/mm]
>
>
> lg zitrone
Natürlich ist das eine! Der Zähler [mm] 6-x^2 [/mm] hat an der Stelle x= 0 den Wert 6, der Nenner hat aber den Wert Null. Du kannst ja spaßeshalber mal die Funktionswerte an den Stellen 0,000001 und -0,000001 ausrechnen.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Do 29.10.2009 | | Autor: | zitrone |
Hallo,
vielen Dank für die Hilfe^^, aber ich versteh es leider nicht... Wie kann der Nenner Null sein? Man kann doch durch Null nichts teilen?
Was heißt x=0 hat den Wert 6??
Bitte erkläre mir das.
lg zitrone
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Do 29.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo zitrone!
> Wie kann der Nenner Null sein?
Na, wie wäre es denn gerade mit [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ ?
> Man kann doch durch Null nichts teilen?
Das ist richtig. Aber gerade die nullstellen des Nenners geben die Definitionslücken (und evtl. Polstellen) an.
> Was heißt x=0 hat den Wert 6??
Setze den Wert $x \ = \ 0$ in den Zähler ein. Was erhältst Du?
Gruß
Loddar
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