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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Do 24.01.2008 | | Autor: | Ridvo |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= [mm] \bruch{x^3+4x^2-2}{2x^2}.
[/mm]
Der Graph vonf, seine schiefe Asymptote und die Gerade mit den Gleichungen x=2 und x=t(t>2) schließen eine Fläche ein.
Wie verhält sich ihr Flächeninhalt, wenn t immer größer wird? |
Hey, danke für das Interesse an der Aufgabe.
Ich quälte mich gerade mit dieser Aufgabe um für eine Klausur zu lernen, komme aber nicht drauf.
Ich habe den Graphen in meinen graphikfähigen Taschenrechner eingegeben und erkenne, dass die senkrechte Asymptote bei 0 liegt?
Um auf die Aufgabenfrage zurückzukommen:
Der Flächeninhalt wird immer größer, wenn t immer größer wird.
SO erkennen ich es aus der Zeichnung meines Rechners.
Ist es auch richtig zu sagen, dass es abhängig von den Exponenten im Zähler [mm] (x^3) [/mm] ist?
Meine ANtworten kommen mir zu simpel vor, ich weiß noch nicht mal, ob das oben von mir erwähnte richtig ist.
Ich bitte deshalb höflichst um Hilfe.
Dannke im voraus.
LG >Ridvo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Do 24.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ridvo!
Die Frage ist aber doch, ob der betrachtete Flächeninhalt auch wirklich über alle Grenzen wächst, oder nicht doch durch einen bestimmten Wert begrenzt wird.
Dafür musst Du für das entsprechende Integral eine Grenzwertbetrachtung durchführen:
$$A \ = \ [mm] \limes_{t\rightarrow\infty}\integral_{2}^{t}{y_A(x)-f(x) \ dx} [/mm] \ = \ ...$$
Dabei ist [mm] $y_A(x)$ [/mm] die schräge Asymptote der Funktion $f(x)_$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Do 24.01.2008 | | Autor: | Ridvo |
Ahja, dann hab ich die Fragestellung falsch verstanden.
Nun soll ich das Integral der Asymptote und der FUnktion ausrechnen? Hab ich das nun richtig verstanden?
Was ist wenn ich die Fläche errechnet habe, was sagt mir das dann?
Im Klatext heißt es doch:
$ A \ = \ [mm] \limes_{t\rightarrow\infty}\integral_{2}^{t}{(2- $ \bruch{x^3+4x^2-2}{2x^2}. $ \ dx} [/mm] )\ = \ ... $
Ich bin mir aber nicht sicher, ob die 2 richtig ist, da ich nicht weiß, was mit [mm] y_A(x) [/mm] gemeint ist. Ist das die Asymptote x=2 ?
Danke für die rasche Antwort, Loddar!
LG RIdvan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Do 24.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ridvo!
Mit [mm] $y_A$ [/mm] habe ich die Asymptote bezeichnet. Diese erhältst Du entweder durch eine  Polynomdivision, oder hier einfacher durch folgende Umformung:
[mm] $$\bruch{x^3+4x^2-2}{2x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^3}{2x^2}+\bruch{4x^2}{2x^2}-\bruch{2}{2x^2} [/mm] \ = \ ...$$
Dabei ist dann die Asymptote der ganzrationale Anteil dieser Funktion.
Gruß
Loddar
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