Gegenseitige Lage einer Gerade < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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hallo,
ich habe probleme beim lösen folgender aufgabe: die gerade g ist durch die punkte p und q festgekegt, die ebene e durch die punkte a,b und c. bestimmen sie den durchstoßpunkt von g durch e.
a)p(1,0,1);q(3,1,1);a(1,2,3);b(1,2,4);c(1,3,3)
ich hab jetzt so angefangen, aber irgendwie kommt mir das komsich vor
g:X=(10/1)+r⋅(21/0)
e:X=(12/3)+s⋅(00/1)+t⋅(01/0)
gleichsetzen
(10/1)+r(21/0)=(12/3)+s⋅(00/1)+t(01/0)
r(21/0)=(0-2/-2)+s(00/1)+t(o1/0)
lineares gleichungssystem
2r=0
r=-2+t
0=-2+s
aber irgendetwas stimmt da nciht, oder??
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Do 13.05.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Idee, die Gerade und die Ebene gleichzusetzen ist korrekt.
Die Geradengleichung und die Ebenengleichung sind auch korrekt.
Aber das Lineare Gleichungssystem scheint mir so nicht zu stimmen, schreib doch die "Ausgangsgleichung" g=E nochmal hin, aber bitte mit dem Formeleditor, dann wirds deutlicher.
\vektor{1\\3\\6} ergibt [mm] \vektor{1\\3\\6}
[/mm]
Marius
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danke.
[mm] \vektor{1\\0\\1}+r\vektor{2\\1\\0}=\vektor{1\\2\\3}+s\vektor{0\\0\\1}+t\vektor{0\\1\\0}
[/mm]
[mm] =r\vektor{2\\1\\0}=\vektor{0\\-2\\-2}+s\vektor{0\\0\\1}+t\vektor{0\\1\\0}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Do 13.05.2010 | | Autor: | M.Rex |
> danke.
>
> [mm]\vektor{1\\0\\1}+r\vektor{2\\1\\0}=\vektor{1\\2\\3}+s\vektor{0\\0\\1}+t\vektor{0\\1\\0}[/mm]
>
> [mm]=r\vektor{2\\1\\0}=\vektor{0\\-2\\-2}+s\vektor{0\\0\\1}+t\vektor{0\\1\\0}[/mm]
Die Umformung so stimmt nicht macht so keinen Sinn:
>
Besser wäre
[mm] \vektor{1\\0\\1}+r\vektor{2\\1\\0}=\vektor{1\\2\\3}+s\vektor{0\\0\\1}+t\vektor{0\\1\\0}
[/mm]
[mm] \gdw \vektor{1\\0\\1}-\vektor{1\\2\\3}=s\vektor{0\\0\\1}+t\vektor{0\\1\\0}-r\vektor{2\\1\\0}
[/mm]
[mm] \gdw \vektor{0\\-2\\-2}=s\vektor{0\\0\\1}+t\vektor{0\\1\\0}-r\vektor{2\\1\\0}
[/mm]
Also:
[mm] \vmat{0s+0t-2r=0\\0s+t-r=-2\\s=-2}
[/mm]
und dieses LGS hat eine eindeutige, nicht-triviale Lösung.
Marius
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vielen dank.
was bedeutet, dass es keine nicht-trivale lösung hat?? was kann ich denn jetzt als durchstoßpunkt von g und E angeben?
danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Do 13.05.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> vielen dank.
> was bedeutet, dass es keine nicht-trivale lösung hat??
Das heisst, nicht alle Parameter sind null.
> was kann ich denn jetzt als durchstoßpunkt von g und E
> angeben?
Setze die errechneten Parameter in g oder E ein, und addiere die entstehenden Vektoren.
> danke
Bitte 
Marius
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die parameter:
s=-2
r=2
t=-2
[mm] \vektor{1\\0\\1}+\vektor{2\\2\\2}=\vektor{1\\2\\3}+\vektor{-2\\-2\\-2}+\vektor{-2\-2\\-2}
[/mm]
ist das richtig so??
danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Do 13.05.2010 | | Autor: | M.Rex |
> die parameter:
> s=-2
> r=2
> t=-2
Das passt so nicht ganz. Es ist s=0
>
> [mm]\vektor{1\\0\\1}+\vektor{2\\2\\2}=\vektor{1\\2\\3}+\vektor{-2\\-2\\-2}+\vektor{-2\-2\\-2}[/mm]
>
> ist das richtig so??
Nein, du hast doch:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{1\\0\\1}+r\vektor{2\\1\\0}
[/mm]
und [mm] E:\vec{x}=\vektor{1\\2\\3}+s\vektor{0\\0\\1}+t\vektor{0\\1\\0}
[/mm]
Jetzt setze mal entweder r=-2 in g ein, oder t=-2 sowie s=0 in E. Dann bekommst du den Ortsvektor des Schnittpunktes.
Marius
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ich habe noch eine aufgabe b)
p(0,0,0)
q(2,5,7)
a(0,0,5)
b(1,1,5)
c(0,0,6)
g:x= [mm] \vektor{0\\0\\0}+r\vektor{2\\5\\7}
[/mm]
[mm] e:x=\vektor{0\\0\\5}+s\vektor{1\\1\\0}+t\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
gleichsetzen der vektoren
[mm] \vektor{0\\0\\0}+r\vektor{2\\5\\7}=\vektor{0\\0\\5}+s\vektor{1\\1\\0}+t\vektor{0\\0\\1}+
[/mm]
[mm] -->\vektor{0\\0\\0}-\vektor{0\\0\\5}=s\vektor{1\\1\\0}+t\vektor{0\\0\\1}-r\vektor{2\\5\\7}
[/mm]
[mm] -->\vektor{0\\0\\-5}=s\vektor{1\\1\\0}+t\vektor{0\\0\\1}-r\vektor{2\\5\\7}
[/mm]
LGS
0=s-2r
0=s-5r
-5=s-7r
ist das richtig so??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Do 13.05.2010 | | Autor: | M.Rex |
> ich habe noch eine aufgabe b)
> p(0,0,0)
> q(2,5,7)
> a(0,0,5)
> b(1,1,5)
> c(0,0,6)
>
> g:x= [mm]\vektor{0\\0\\0}+r\vektor{2\\5\\7}[/mm]
>
> [mm]e:x=\vektor{0\\0\\5}+s\vektor{1\\1\\0}+t\vektor{0\\0\\1}[/mm]
>
> gleichsetzen der vektoren
>
> [mm]\vektor{0\\0\\0}+r\vektor{2\\5\\7}=\vektor{0\\0\\5}+s\vektor{1\\1\\0}+t\vektor{0\\0\\1}+[/mm]
>
> [mm]-->\vektor{0\\0\\0}-\vektor{0\\0\\5}=s\vektor{1\\1\\0}+t\vektor{0\\0\\1}-r\vektor{2\\5\\7}[/mm]
>
> [mm]-->\vektor{0\\0\\-5}=s\vektor{1\\1\\0}+t\vektor{0\\0\\1}-r\vektor{2\\5\\7}[/mm]
>
> LGS
> 0=s-2r
> 0=s-5r
> -5=s-7r
>
> ist das richtig so??
Fast. Die letzte Zeile müsste [mm] -5=\red{t}-7r [/mm] heissen.
Ist dir denn das Prinzip klar?
Marius
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danke.
ja, das prinzip ist mir relativ klar.
wie kann ich denn jetzt damit den durchstoßpun kt berechnen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Do 13.05.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> danke.
> ja, das prinzip ist mir relativ klar.
> wie kann ich denn jetzt damit den durchstoßpun kt
> berechnen??
Dazu habe ich hier und hier schon geschrieben, dass du die errechneten Parameter in die Gerade bzw. die Ebene einsetzen sollst.
Marius
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ja, aber hier habe ich doch keine parameter, oder??
oben hatte ich auch schon gefragt, ob ich das so mit den paarametern richtig gemacht habe...
danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Do 13.05.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast doch
[mm] g:\vec{x}=\vektor{0\\0\\0}+r\vektor{2\\5\\7}
[/mm]
und [mm] E:\vec{x}=\vektor{0\\0\\5}+s\vektor{1\\1\\0}+t\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
Aus dem LGS
[mm] \vmat{0=s-2r\\0=s-5r\\-5=t-7r}
[/mm]
ergibt sich
r=0,s=0,t=-5
Also gilt für den Schnittpunkt S
[mm] \vec{s}=\vektor{0\\0\\0}+\blue{0}*\vektor{2\\5\\7}=\ldots
[/mm]
oder/und
[mm] \vec{s}=\vektor{0\\0\\5}+\green{0}\vektor{1\\1\\0}\red{-5}*\vektor{0\\0\\1}=\ldots
[/mm]
Marius
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danke, die shcnittpunkte sind 1,0,1, odwer?ß
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Hey!
Nein, das stimmt so nicht. Guck dir noch mal den letzten Hinweis von M.Rex an. Dort ist eigentlich alles ganz gut erklärt, was du mit den errechneten Parametern zu tun hast und was du nun genau ausrechnen sollst.
LG Blue-Eyes
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danke.
ich muss doch die parameter einsetzen und wie rechne ich dann weiter... muss ich die parameter dann einfach voneinander abziehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Fr 14.05.2010 | | Autor: | M.Rex |
> danke.
> ich muss doch die parameter einsetzen und wie rechne ich
> dann weiter... muss ich die parameter dann einfach
> voneinander abziehen?
Nein, nicht die Parameter voneinander abziehen.
Du musst lediglich diese Gleichung mit den bekannten Regeln fortführen.
[mm] \vec{s}=\vektor{0\\0\\5}+0*\vektor{1\\1\\0}-5*\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
[mm] =\vektor{0\\0\\5}+\vektor{0*1\\0*1\\0*0}-\vektor{5*0\\5*0\\5*1}
[/mm]
[mm] =\vektor{0\\0\\5}+\vektor{0\\0\\0}-\vektor{0\\0\\5}
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
Marius
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ah, ok danke.
dann sind die parameter doch 0,0 und -5, oder??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Fr 14.05.2010 | | Autor: | M.Rex |
> ah, ok danke.
> dann sind die parameter doch 0,0 und -5, oder??
Nein, du hast einen "Lösungsvektor" [mm] \vektor{0\\0\\\Box}
[/mm]
Die -5 in der 3. Komponente ist auch falsch.
Und dieser Vektor ist der Ortsvektor deines Schnittpunktes.
Marius
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