Gelten die Äquivalenzen? < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Mo 13.06.2011 | | Autor: | nhard |
Nur eine kurze Frage ohne Beweis oder Ähnliches:
Stimmt es, dass
[mm] $(f\circ [/mm] f)(x)=x [mm] \gdw [/mm] f(f(x))=x [mm] \gdw f(x)=f^{-1}(x)$
[/mm]
lg
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> Nur eine kurze Frage ohne Beweis oder Ähnliches:
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> Stimmt es, dass
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> [mm](f\circ f)(x)=x \gdw f(f(x))=x \gdw f(x)=f^{-1}(x)[/mm]
>
Hallo,
nein, das stimmt nicht.
Das Reden über [mm] f^{-1} [/mm] setzt ja voraus, daß es eine Umkehrfunktion gibt, was jedoch nur unter gewissen Voraussetzungen an f der Fall ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Mo 13.06.2011 | | Autor: | nhard |
okay also es gibt Funktionen mit
$f(f(x))=x$ ohne dass es eine Umkehrfunktion von f gibt?
Aah, vielleicht hätte ich noch sagen sollen das
[mm] $f(x)\not= [/mm] x$
( der erste Teil stimmt aber, also [mm] $(f\circ f)(x)=x\gdw [/mm] f(f(x))=x$ ?)
Danke und lg
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> okay also es gibt Funktionen mit
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> [mm]f(f(x))=x[/mm] ohne dass es eine Umkehrfunktion von f gibt?
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> Aah, vielleicht hätte ich noch sagen sollen das
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> [mm]f(x)\not= x[/mm]
Diese Bedingung garantiert keineswegs die Existenz einer Umkehrfunktion.
> ( der erste Teil stimmt aber, also [mm](f\circ f)(x)=x\gdw f(f(x))=x[/mm]
> ?)
Ja, denn dies ist reine Definitionssache, denn [mm] (f\circ{f})(x) [/mm] ist
definitionsgemäß gleich f(f(x)) !
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Mo 13.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Du mußt schon genauer sagen, wo
(*) f(f(x))=x
gelten soll. Nimm an, Du hast eine Abb. f:A [mm] \to [/mm] B mit der Eigenschaft (*) für jedes x [mm] \in [/mm] A. Für x [mm] \in [/mm] A muß dann gelten: f(x) [mm] \in [/mm] A, also
f(A) [mm] \subseteq [/mm] A.
Aus (*) folgt auch, dass f auf A injektiv ist, also ex. [mm] f^{-1}:f(A) \to [/mm] A.
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