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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Di 24.02.2009 | | Autor: | Fharpk84 |
Hallo,
ich habe eine allgemeine Frage zu gemischten gemeinsamen Verteilung.
Ich habe eine diskrete (X) und eine stetige (Y) Zufallsvariable auf dem gleichen W-Raum.
Gibt es Kriterien (außer Unabhängigkeit), wann eine gemeinsame Dichtefunktion existiert?
Würde mir die Aussage helfen, dass E(|X-Y|) existiert?
Danke für Eure Hilfe. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 Di 24.02.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
eine gemeinsame Dichtefunktion existiert sicher, wenn ein gemeinsames Maß existiert.
Denn dann nach Radon-Nikodym:
[mm]\mu(A) = \int_A f d\nu[/mm] mit [mm] \mu [/mm] gemeinsames Maß und f die Dichtefunktion
sind die ZV's unabhängig so existiert ein gemeinsames Maß, aber auch für nichtunabhängige existiert ein solches (Inoescu-Tulcea), da braucht man dann natürlich die Übergangswkeiten.
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Di 24.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> eine gemeinsame Dichtefunktion existiert sicher, wenn ein
> gemeinsames Maß existiert.
>
> Denn dann nach Radon-Nikodym:
>
> [mm]\mu(A) = \int_A f d\nu[/mm] mit [mm]\mu[/mm] gemeinsames Maß und f die
> Dichtefunktion
Das haengt aber stark davon ab was [mm] $\nu$ [/mm] ist, es muss doch jede [mm] $\nu$-Nullmenge [/mm] auch eine [mm] $\mu$-Nullmenge [/mm] sein wenn ich mich richtig erinnere?
Es ist halt die Frage was man hier als [mm] $\nu$ [/mm] nutzen moechte. Wenn beide Zufallsvariablen diskret sind und man eine Lebesgue-Dichte haben will geht's wohl schief.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Di 24.02.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
die Frage war doch nur ob eine Dichtefunktion existiert, dann kann ich doch einfach ein [mm]\nu[/mm] betrachten, für welches deine Anmerkung gilt. Dann existiert die Dichte auf jeden Fall.
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:54 Mi 25.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> die Frage war doch nur ob eine Dichtefunktion existiert,
> dann kann ich doch einfach ein [mm]\nu[/mm] betrachten, für welches
> deine Anmerkung gilt. Dann existiert die Dichte auf jeden
> Fall.
Man kann auch [mm] $\nu [/mm] = [mm] \mu$ [/mm] waehlen, dann hat man sogar die Dichte $f [mm] \equiv [/mm] 1$. Aber ich glaube nicht das ist was der Fragesteller wissen wollte...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:48 Mi 25.02.2009 | | Autor: | vivo |
> Man kann auch [mm]\nu = \mu[/mm] waehlen, dann hat man sogar die
> Dichte [mm]f \equiv 1[/mm].
stimmt
Aber ich glaube nicht das ist was der
> Fragesteller wissen wollte...
stimmt absolut, aber da man ja nicht genau weiß, was der Fragesteller wissen will und nur nach der existenz einer Dichte gefragt wurde ... mal sehen vielleicht wirds ja noch konkret.
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Di 24.02.2009 | | Autor: | Blech |
> Hallo,
>
> ich habe eine allgemeine Frage zu gemischten gemeinsamen
> Verteilung.
> Ich habe eine diskrete (X) und eine stetige (Y)
> Zufallsvariable auf dem gleichen W-Raum.
> Gibt es Kriterien (außer Unabhängigkeit), wann eine
> gemeinsame Dichtefunktion existiert?
Lebesgue-Dichte? Nie. Die eine ZV ist diskret, also kannst Du da nicht mit dem Lebesgue-Maß arbeiten, weil das Integral immer 0 wäre.
Irgendeine Dichte? Immer. Aber falls Du das meintest, bzgl. welchen Maßes willst Du eine Dichte?
Praktisch irgendwas ausrechnen?
Ich würde wahrscheinlich mit der bedingten Dichte [mm] $f_{Y|X=x}$ [/mm] und dem Satz von der totalen Wkeit arbeiten, aber das hängt auch von den ZVen ab.
Bsp.: [mm] $P(|X-Y|
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Di 24.02.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
fragst Du wegen eines konkreten Falles ?
Dann wäre es sehr hilfreich wenn Du ihn uns mitteilen würdest.
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:13 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Fharpk84 |
so dann versuch ich mal nen bißchen konkreter zu werden (obwohl ich jetzt keine konkrete aufgabe hier habe zu der ich das wissen wollte)
Ich habe eine diskrete Zv X die eine Partialsumme von Zv mit 2 möglichen Werten ist. Und eine Gauß-verteilte Zv Y. g ist nun die (diskrete) Dichte von X und h ist die Dichte der Gaußverteilung.
Wann kann ich nun daraus schließen, dass es eine gemeinsame Dichte gibt (zunächst für ein allgemeines Maß, später für das Lebesgue-Maß)?
Wenn ich euch richtig verstanden habe, geht dies für ein allgemeines Maß immer oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Blech |
Hi,
Du kannst ja auf jeden Fall mal das WMaß für die gemeinsame Verteilung finden. Da ist die Dichte dann eben einfach die 1. Nur wird Dir das nicht weiterhelfen.
Für das Lebesguemaß kann es keine Dichte geben. Du hast einen zweidimensionalen Raum. Auf der einen Achse trägst Du X ab, auf der anderen Y. Dann hat das ganze auf der X-Achse nur an endlich/abzählbar vielen Stellen Masse. Gäbe es eine Lebesgue-Dichte, wäre die Wkeit, daß (X,Y) in einem Gebiet liegt, das Volumen unter der Dichte. Aber die Dichte hätte kein Volumen, weil sie fast überall (d.h. überall außer ein paar Linien, auf denen X Masse hat) 0 wäre.
Du brauchst ein Maß nach dem Muster [mm] $\lambda \times \mu$, [/mm] wobei [mm] $\mu$ [/mm] ein einfaches Zählmaß und [mm] $\lambda$ [/mm] das Lebesguemaß ist. Dafür gibt es dann eine Dichte (ich denke auf jeden Fall), entweder wie in meinem Bsp oben, oder andersrum mit einer bedingten Zähldichte, aber das dürfte i.a. zu grausamen Rechnungen führen.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Fharpk84 |
Hey jo super das habe ich verstanden. Grausame Rechnungen muss ich auch nicht anstellen. Dazu nur noch zwei Fragen:
Wenn ich jetzt dieses Maß habe, existiert dann ja eine Dichte:
1. Warum denn genau? Satz?
2.Wenn ich diese Dichte jetzt nach dem Maß von Y integriere, kommt dann als Marginale die Dichte von X heraus und umgekehrt?
Danke nochmal für alle Hilfen hier...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Blech |
> Hey jo super das habe ich verstanden. Grausame Rechnungen
> muss ich auch nicht anstellen. Dazu nur noch zwei Fragen:
>
> Wenn ich jetzt dieses Maß habe, existiert dann ja eine
> Dichte:
> 1. Warum denn genau? Satz?
Wie schon mehrmals in diesem thread erwähnt, wirst Du immer eine Dichte für eine beliebige Anzahl von Maßen finden.
Schau Dir Radon-Nikodym nochmal an. Die Voraussetzungen für die Existenz einer Dichte sind denkbar schwach.
Du willst eine Dichte für ein Maß, mit dem Du dann tatsächlich was berechnen kannst. Für stetige ZV ist das [mm] $\lambda((-\infty,x])=x$, [/mm] für diskrete [mm] $\mu((-\infty,x])=\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$ [/mm] (untere Gaußklammer). Damit kommt man dann auf das normale Integral bzw. auf die Summe über den Ergebnisraum von X.
> 2.Wenn ich diese Dichte jetzt nach dem Maß von Y
> integriere, kommt dann als Marginale die Dichte von X
> heraus und umgekehrt?
Erzähl Du's mir.
ciao
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Fharpk84 |
ach ja radon-nikodym, hab ich vorhin drübergelesen. damit hat sich das geklärt...danke nochmal ;)
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