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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Balsam |
Kann mir jemand bei folgender Aufgabe behilflich sein??
[mm] \integral_{0}^{pi/2}{f(x) dx} [/mm] sin x / (2+cosx)*(2+sinx)
die sollen wir mit der substitution t=tan x/2 berechnen:
so mein Ansatz ist, dass man ja weiß dassssssssss :
sin x= 2t / [mm] 1+t^2
[/mm]
cos x= [mm] (1-t^2) [/mm] / [mm] (1+t^2)
[/mm]
dx= 2dt/ [mm] (1+t^2)
[/mm]
sooo kann ich das jetzt immer jeweils für cosx und sinx einsetzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Mi 11.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Kann mir jemand bei folgender Aufgabe behilflich sein??
>
> [mm]\integral_{0}^{pi/2}{f(x) dx}[/mm] sin x / (2+cosx)*(2+sinx)
>
> die sollen wir mit der substitution t=tan x/2 berechnen:
>
> so mein Ansatz ist, dass man ja weiß dassssssssss :
>
> sin x= 2t / [mm]1+t^2[/mm]
>
> cos x= [mm](1-t^2)[/mm] / [mm](1+t^2)[/mm]
>
> dx= 2dt/ [mm](1+t^2)[/mm]
>
> sooo kann ich das jetzt immer jeweils für cosx und sinx
> einsetzen?
Ja
FRED
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Balsam |
hmm okay.. also wie folgt:
[mm] \integral_{0}^{pi/2} \bruch{\bruch{2t}{1+t²}}{(2+(\bruch{1-t²}{1+t2}))(2+\bruch{2t}{1+t2})}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{pi/2} \bruch{\bruch{2t}{1+t²}}{4+\bruch{4t}{1+t²}+\bruch{2-2t²}{1+t²}+\bruch{2t-2t³}{(1+t²)²}}
[/mm]
und wie gehts weiter?
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Hallo Balsam,
> hmm okay.. also wie folgt:
>
> [mm]\integral_{0}^{pi/2} \bruch{\bruch{2t}{1+t²}}{(2+(\bruch{1-t²}{1+t2}))(2+\bruch{2t}{1+t2})}[/mm]
Was ist mit den Grenzen? Wo ist das Differential?
Exponenten mache mit dem Dach! Sonst werden sie wie hier nicht angezeigt!
Richtig: [mm]\int\limits_{a}^{b}{\frac{\frac{2t}{1+t^2}}{\left(2+\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\cdot{}\left(2+\frac{2t}{1+t^2}\right)} \ \frac{2}{1+t^2} \ dt}[/mm]
$a,b$ berechne selbst!
Wenn du im Nenner beide Klammern gleichnamig machst, dann kürzt sich doch nachher das [mm](1+t^2)^2[/mm] und eine 2 heraus ...
>
> = [mm]\integral_{0}^{pi/2} \bruch{\bruch{2t}{1+t²}}{4+\bruch{4t}{1+t²}+\bruch{2-2t²}{1+t²}+\bruch{2t-2t³}{(1+t²)²}}[/mm]
Wenn du
>
> und wie gehts weiter?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Balsam |
hmm..
die Intervalle waren ja gegeben von 0 - pi/2 ... ich weiß nicht was du meinst ? :/
[mm] \integral_{0}^{pi/2} \bruch{2t*((1+t)^4)}{(4+4t+(2-2t^2)+(2t-2t^3))}
[/mm]
soweit richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Mi 11.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> hmm..
> die Intervalle waren ja gegeben von 0 - pi/2 ... ich weiß
> nicht was du meinst ? :/
>
> [mm]\integral_{0}^{pi/2} \bruch{2t*((1+t)^4)}{(4+4t+(2-2t^2)+(2t-2t^3))}[/mm]
>
> soweit richtig?
Nein. Wenn man substituiert, muß man die Integrationsgrenzen ebenfalls substituieren
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Balsam |
achhh.. :S stimmt macht sinn..
aber wie macht man das :/
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Hallo nochmal,
> achhh.. :S stimmt macht sinn..
> aber wie macht man das :/
Hast du noch nie ein Integral per Substitution gelöst??
Das Ausgangsintegral ist in den Grenzen [mm]x=0[/mm] (untere) und [mm]x=\pi/2[/mm] (obere)
Das musst du gem. deiner Vorschrift der Substitution: [mm]t=\tan(x/2)[/mm] in Grenzen in der neuen Variablen t umrechnen.
Untere [mm]t=...[/mm]
Obere [mm]t=...[/mm]
Außerdem ist die Zusammenfassung deines Integranden merkwürdig.
Wie gesagt, bei mir kürzen sich alle [mm](1+t^2)[/mm]-Faktoren gegeneinander weg und noch eine 2 ...
Mache nur in den Klammern gleichnamig, nicht ausmultiplizieren.
Dann siehst du, dass sich da so manches wegkürzt
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Balsam |
wenn x= 0 dann ist tan [mm] \bruch{x}{2}= [/mm] 0
und wenn [mm] x=\bruch{pi}{2} [/mm] dann ist tan [mm] \bruch{x}{2}= [/mm] 1
das müsste ich dann einsetzen
Aber ich konnte es immernoch nicht in die gekürzte Form bringen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Balsam |
Nach langen hin und her rechnen, glaube ich, dass ich es nun hinbekommen habe
meine Funktion lautet nun:
[mm] \integral_{a}^{b}\bruch{4t}{((t^{2}+1)^{2})(\bruch{2t}{(t^{2}+1)}+2) (\bruch{1-t^{2}}{t^{2}+1}+2)}
[/mm]
so richtig?
Wie setze ich nun a und b ein?
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Hallo nochmal,
ich verstehe nicht, warum du nicht versuchst, was ich dir seit Stunden rate.
Wieso machst du nicht gleichnamig?
> Nach langen hin und her rechnen, glaube ich, dass ich es
> nun hinbekommen habe
> meine Funktion lautet nun:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}\bruch{4t}{((t^{2}+1)^{2})(\bruch{2t}{(t^{2}+1)}+2) (\bruch{1-t^{2}}{t^{2}+1}+2)}[/mm]
Grauselig und wieder ohne Differential!
>
> so richtig?
Nein, der richtige Integrand lautet (siehe oben)
[mm]\frac{\frac{2t}{1+t^2}}{\left(2+\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\cdot{}\left(2+\frac{2t}{1+t^2}\right)}\cdot{}\red{\frac{2}{1+t^2}}[/mm]
[mm]=\frac{\frac{2t}{1+t^2}\cdot{}\red{\frac{2}{1+t^2}}}{\left(\frac{2(1+t^2)+1-t^2}{1+t^2}\right)\cdot{}\left(\frac{2(1+t^2)+2t}{1+t^2}\right)}[/mm]
[mm]=\frac{4t}{(1+t^2)^2}\cdot{}\frac{(1+t^2)^2}{(t^2+3)\cdot{}2(t^2+t+1)}[/mm]
Nun siehst du hoffentlich, dass du wie beschrieben kürzen kannst ...
>
> Wie setze ich nun a und b ein?
Nun, die neuen Grenzen hast du richtig berechnet zu [mm]t=0[/mm] und [mm]t=1[/mm]
Also [mm]a=0[/mm], [mm]b=1[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Balsam |
ahh nun sehe ich es
[mm] \integral_{0}^{1}\bruch{2t}{(t^{2}+3)(t^{2}+t+1)}
[/mm]
Wenn ich a und b einsetze und dies von einander subtrahiere bekommen ich [mm] f_{1}- f_{0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
so erst mal richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Balsam!
> Wenn ich a und b einsetze und dies von einander subtrahiere
> bekommen ich [mm]f_{1}- f_{0}[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
Äääähm ... hast Du nicht vorher das Integrieren vergessen?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Balsam |
Muss ich eigentlich zuerst zurücksubstituieren und dann integrieren und das Integral in dem Intervall berechnen ?
Oder muss ich erst integrieren dann zurücksubstituieren?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Balsam |
wie soll ich dass denn jetzt zurücksubstituieren :(
[mm] \integral_{0}^{1}\bruch{2t}{(t^{2}+3)(t^{2}+t+1)}
[/mm]
sinx hatte ich ja = 2t / [mm] (1+t^2) [/mm] definiert..
aber wie setzt man das jetzt um ..-.-
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Hallo Balsam,
> wie soll ich dass denn jetzt zurücksubstituieren :(
>
> [mm]\integral_{0}^{1}\bruch{2t}{(t^{2}+3)(t^{2}+t+1)}[/mm]
>
> sinx hatte ich ja = 2t / [mm](1+t^2)[/mm] definiert..
>
> aber wie setzt man das jetzt um ..-.-
Siehe diese Antwort
Gruss
MathePower
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Hallo,
> Muss ich eigentlich zuerst zurücksubstituieren und dann
> integrieren und das Integral in dem Intervall berechnen ?
>
> Oder muss ich erst integrieren dann zurücksubstituieren?
Na, warum machen wir denn das ganze Theater mit der Substitution?
Berechne das Integral in der Variable t, das oben steht und setze in die Stammfunktion dann die Grenzen in t ein, also t=1 für die obere und t=0 für die untere ...
Alternativ (aber kaum empfehlenswert) kannst du eine Stfkt. in t berechnen und diese in die Variable x zurücktransformieren, dann musst du aber die "alten" Grenzen (die in der Variable x) einsetzen
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Balsam |
wie integriere ich denn gebrochenrationale funktionen doch gleich :/
[mm] \integral_{0}^{1}\bruch{2t}{(t^{2}+3)(t^{2}+t+1)}
[/mm]
polynomdivision bietet sich bei deisem bruch nicht wirklich an oder.. ??
wolfram alpha liefert mir zwar etwas.. aber ich weiß nicht mehr wie das geht..
kann man mir da nochmal helfen?
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Hallo Balsam,
> wie integriere ich denn gebrochenrationale funktionen doch
> gleich :/
>
> [mm]\integral_{0}^{1}\bruch{2t}{(t^{2}+3)(t^{2}+t+1)}[/mm]
>
> polynomdivision bietet sich bei deisem bruch nicht wirklich
> an oder.. ??
> wolfram alpha liefert mir zwar etwas.. aber ich weiß
> nicht mehr wie das geht..
> kann man mir da nochmal helfen?
Zerlege zunächst den Integranden:
[mm]\bruch{2t}{(t^{2}+3)(t^{2}+t+1)}=\bruch{A*t+B}{t^{2}+3}+\bruch{C*t+D}{t^{2}+t+1}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Balsam |
[mm] \bruch{A\cdot{}t+B}{t^{2}+3}+\bruch{C\cdot{}t+D}{t^{2}+t+1}
[/mm]
müsste ich jetzt nicht mit [mm] t^2+3 [/mm] multiplizieren?
A*t + B + [mm] (t^2 [/mm] +3) * (( C*t + D) / ( [mm] t^2 [/mm] + t +1)
ich muss doch jetzt A, B, C,D bestimmen oder nicht ?
wie mach ich das ?:/
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Balsam |
kann mir jemand bei den letzten schritten noch helfen? ich komm nicht drauf bitte.. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:32 Do 12.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ganze aufden Hauptnenner bringen und dann Koeffizientenvergleich.
Gruss leduart
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Hallo nochmal,
> wenn x= 0 dann ist tan [mm]\bruch{x}{2}=[/mm] 0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und wenn [mm]x=\bruch{pi}{2}[/mm] dann ist tan [mm]\bruch{x}{2}=[/mm] 1
> das müsste ich dann einsetzen
>
> Aber ich konnte es immernoch nicht in die gekürzte Form
> bringen...
Unten steht's
Gruß
schachuzipus
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