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Forum "Funktionalanalysis" - Generator/ Definitionsbereich
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Generator/ Definitionsbereich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 Sa 12.05.2018
Autor: questionpeter

Aufgabe
Für eine messbare Funktion [mm] q:\IR\rightarrow\IC [/mm] mit nach oben beschränktem Realteil definieren wir die Multipliaktionshalbgruppe [mm] M_q [/mm] auf [mm] L^p(\IR) [/mm] durch [mm] M_q(t)f(x):=e^{tq(x)}\cdot [/mm] f(x) für [mm] x\in\IR, f\in L^p(\IR) [/mm] und [mm] t\geq [/mm] 0.

Bestimme den Generator mit Definitionsbereich.

Hallo zusammen,

ich habe folgend den Generator bestimmt:
es gilt für den Generator: [mm] Ax=\underset{t\rightarrow \infty}{lim}\bruch{T(t)x-x}{h} [/mm]
Also:

[mm] (Af)x=\underset{h\rightarrow \infty}{lim}\bruch{e^{tq(x)}f(x)-f(x)}{t} [/mm]
[mm] \overset{L'hopital}{=}\underset{t\rightarrow \infty}{lim}\bruch{q(x)e^{tq(x)}f(x)}{1}=q(x)f(x) [/mm]

also Af=qf  

Aber was wäre hier der Definitionsbereich?

        
Bezug
Generator/ Definitionsbereich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:54 So 13.05.2018
Autor: fred97


> Für eine messbare Funktion [mm]q:\IR\rightarrow\IC[/mm] mit nach
> oben beschränktem Realteil definieren wir die
> Multipliaktionshalbgruppe [mm]M_q[/mm] auf [mm]L^p(\IR)[/mm] durch
> [mm]M_q(t)f(x):=e^{tq(x)}\cdot[/mm] f(x) für [mm]x\in\IR, f\in L^p(\IR)[/mm]
> und [mm]t\geq[/mm] 0.
>  
> Bestimme den Generator mit Definitionsbereich.
>  Hallo zusammen,
>  
> ich habe folgend den Generator bestimmt:
>  es gilt für den Generator: [mm]Ax=\underset{t\rightarrow \infty}{lim}\bruch{T(t)x-x}{h}[/mm]
>  
> Also:
>  
> [mm](Af)x=\underset{h\rightarrow \infty}{lim}\bruch{e^{tq(x)}f(x)-f(x)}{t}[/mm]
>  
> [mm]\overset{L'hopital}{=}\underset{t\rightarrow \infty}{lim}\bruch{q(x)e^{tq(x)}f(x)}{1}=q(x)f(x)[/mm]
>  
> also Af=qf  
>
> Aber was wäre hier der Definitionsbereich?


Da oben gehts ja drüber und drunter, Schreibfehler, Verständnisfehler, ....

Der Banachraum, der zugrunde liegt ist doch [mm] L^p( \IR) [/mm] mit der üblichen Norm [mm] ||.||_p [/mm]


Der Erzeuger A der Halbgruppe ist def. auf D(A), und zwar gilt für f [mm] \in L^p( \IR): [/mm]

f [mm] \in [/mm] D(A) [mm] \gdw \lim_{t \to 0+}\frac{M_q(t)f-f}{t} [/mm]  exitiert in  [mm] L^p( \IR). [/mm] Das ist gleichbedeutend mit: es ex. ein g [mm] \in L^p( \IR) [/mm] mit

[mm] ||\frac{M_q(t)f-f}{t}-g||_p \to [/mm] 0 für t [mm] \to [/mm] 0+.

In diesem Fall ist dann Af=g.

Kommst Du damit klar ?



Bezug
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