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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:58 Di 19.01.2010 | | Autor: | jaruleking |
| Aufgabe | a) Seinen [mm] X_1, X_2 [/mm] zwei unabhängige Geo(1/2)-verteilte Zufallsvariablen. Sei [mm] Y=X_1 [/mm] + [mm] X_2. [/mm] Man beweise, dass die bedingte Verteilung von [mm] X_1, [/mm] gegeben Y=k, die Gleichverteilung auf menge [mm] \{1,...,k-1\} [/mm] ist. Man bestimme den besten Vorhersager für [mm] X_1 [/mm] gegeben Y.
b) Das statistische Modell für die möglichen Verteilungen einer Zufallsvariablen X mit Werten in [mm] \{0,1,2,3,...\} [/mm] seien die Verteilungen [mm] P_\theta [/mm] = [mm] Poi(\theta), \theta \in [0,\infty). [/mm] Man beobachtet eine Realisation x von X. Bestimme den Maximum Likelihood-Schätzer für [mm] \theta. [/mm] |
HI,
kan mir vielleicht jemand bei diesen beiden Aufgaben helfen?? Bei den weiß ich gerade wirklich nicht anzufangen.
Danke für Hilfe.
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:49 Mi 20.01.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin Steve,
wo sind denn deine Vorueberlegungen?
vg Luis
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Hi,
ja ok, dann versuchen wir erstmal die a)
> a) Seinen $ [mm] X_1, X_2 [/mm] $ zwei unabhängige Geo(1/2)-verteilte Zufallsvariablen. Sei $ [mm] Y=X_1 [/mm] $ + $ [mm] X_2. [/mm] $ Man beweise, dass die bedingte Verteilung von $ [mm] X_1, [/mm] $ gegeben Y=k, die Gleichverteilung auf menge $ [mm] \{1,...,k-1\} [/mm] $ ist. Man bestimme den besten Vorhersager für $ [mm] X_1 [/mm] $ gegeben Y.
Also wir haben schon bewiesen, dass für zwei ZV, die Geo-verteilt sind, gilt:
[mm] P(X_1+X_2=k)=(k-1)p^2(1-p)^{k-2}, [/mm] so setzt man jetzt p=1/2 ein, kommt man auf:
[mm] P(Y=k)=(k-1)(\bruch{1}{4})^2(\bruch{1}{2})^{k-2}. [/mm] So jetzt ist ja nach der bedinten W. gefragt, also ich habe es so verstanden:
[mm] P(X_1=k|Y=k)=\bruch{P(X_1=k,Y=k)}{P(Y=k)}=\bruch{P(X_1=k)P(Y=k)}{P(Y=k)}=P(X_1=k)
[/mm]
Hmmm, so jetzt weiß ich nicht, was das ganze mit [mm] P(Y=k)=(k-1)(\bruch{1}{4})^2(\bruch{1}{2})^{k-2} [/mm] zutun hat, und wie man zeigt, dass es die Gleichverteilung auf [mm] \{1,...,k-1\} [/mm] ist?
Vielleicht wer tipps?
Gruß
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Hi,
vielleicht hat ja doch nochmal jemand lust, bei dieser Aufgabe zu helfen.
Also ich bin jetzt durch bisschen rechnen auf folgendes Ergebnis gekommen:
[mm] P(X_1=n|Y=k)=\bruch{P(X_1=n,Y=k)}{P(Y=k)}=\bruch{1}{k-1}
[/mm]
Ich habe die 1/2 erstmal einfach gar nicht eingesetzt, und zum Schluss, wie man sieht, ist das Ergebnis eh von p gar nicht mehr abhängig.
Was ich mich jetzt aber noch frage, warum kann man jetzt aus [mm] \bruch{1}{k-1} [/mm] sehen, dass die bedingte Verteilung von $ [mm] X_1, [/mm] $ gegeben Y=k, die Gleichverteilung auf menge $ [mm] \{1,...,k-1\} [/mm] $ ist?? Das versteh ich nicht so.
Und wie kann man jetzt den besten Vorhersager für $ [mm] X_1 [/mm] $ gegeben Y bestimmen???
Danke für Hilfe.
Grüße
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Hallo Steve,
> Hi,
>
> vielleicht hat ja doch nochmal jemand lust, bei dieser
> Aufgabe zu helfen.
>
> Also ich bin jetzt durch bisschen rechnen auf folgendes
> Ergebnis gekommen:
>
> [mm]P(X_1=n|Y=k)=\bruch{P(X_1=n,Y=k)}{P(Y=k)}=\bruch{1}{k-1}[/mm]
>
> Ich habe die 1/2 erstmal einfach gar nicht eingesetzt, und
> zum Schluss, wie man sieht, ist das Ergebnis eh von p gar
> nicht mehr abhängig.
Genau ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> Was ich mich jetzt aber noch frage, warum kann man jetzt
> aus [mm]\bruch{1}{k-1}[/mm] sehen, dass die bedingte Verteilung von
> [mm]X_1,[/mm] gegeben Y=k, die Gleichverteilung auf menge
> [mm]\{1,...,k-1\}[/mm] ist?? Das versteh ich nicht so.
Nun, du hast bereits berechnet, dass [mm] $P(X_1=n|Y=k) [/mm] = [mm] \frac{1}{k-1}$ [/mm] ist. Das heißt im Übrigen auch, dass deine Wahrscheinlichkeit, dass [mm] X_{1} [/mm] eben einen bestimmten Wert n annimmt, von n unabhängig ist, und eh' immer [mm] \frac{1}{k-1} [/mm] rauskommt.
Und das ist doch gerade die Charakterisierung der Gleichverteilung: Jedes Ergebnis (n) hat dieselbe Wahrscheinlichkeit.
Im Grunde bist du jetzt schon fertig, weil du weißt, dass das, was bei deiner Rechnung herauskommt, wieder eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist.
Strenggenommen solltest du aber noch begründen, warum n nur die Werte von 1 bis k-1 annehmen kann.
Das ergibt sich aber natürlich sofort aus der Schreibweise
[mm] P(X_1=n|Y=k) [/mm] = [mm] P(X_{1} [/mm] = [mm] n|X_{1} [/mm] + [mm] X_{2} [/mm] = k),
und da [mm] X_{1},X_{2} \ge [/mm] 1 und insbesondere eben positiv sein müssen, kann n nur von 1 bis k-1 gehen.
Damit hast du alles nötige für die Gleichverteilung gezeigt.
> Und wie kann man jetzt den besten Vorhersager für [mm]X_1[/mm]
> gegeben Y bestimmen???
Bei uns in der Vorlesung wurde bewiesen, dass der bedingte Erwartungswert
[mm] E(X_{1}|Y)
[/mm]
(Der ja selbst wieder eine Zufallsvariable ist), den besten Prädiktor (Vorhersaher) für dein Problem darstellt.
Diesen solltest du also jetzt ausrechnen.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Sa 30.01.2010 | | Autor: | jaruleking |
Hi,
ok. danke dir.
grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Fr 29.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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