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Forum "Topologie und Geometrie" - Geodätische -minimale Energie
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Geodätische -minimale Energie: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:38 Di 03.07.2012
Autor: speedy05

Ich soll den Beweis zu folgendem Korollars in einem Vortrag am morgigen Tag skizzieren. Ursprünglich wollte ich den Beweis ganz weglassen und hatte ihn mir bislang nicht genau angesehen und nun läuft mir die Zeit davon. Vielleicht könnt ihr mir ja helfen.

Korollar: Sei S eine reguläre Fläche mit riemannscher Metrik g. Seien p,q \in S,. Ist c:[a,b] \to S eine Verbindungskurve von p nach q mit minimaler Energie, so gilt
\frac{\nabla}{dt} \dot{c}_0(t)=0 für alle t \in [a,b].

Beweis:
Aus Stetigkeitsgründen genügt es, die Behauptung für alle t \in (a,b) zu zeigen. Angenommen, für ein t_0 \in (a,b) wäre \frac{\nabla}{dt} \dot{c}_0(t_0) \neq 0.
Wir wählen eine lokale Parametrisierung (U,F,V), so dass c(t_0) \in V. Ferner wählen wir ein \delta >0 mit
\bullet \quad [t_0 - \delta, t_o + \delta] \subset (a,b) \\ \bullet \quad c(t) \in V für alle t \in [t_0 - \delta, t_0 + \delta].
Wir definieren \[ u: [t_0 -\delta, t_0 + \delta] \to U, \quad u(t):=F^{-1}(c(t)), \] sowie
\[X: [t_0 -\delta, t_0 + \delta] \to R^{2}, \] \[X(t):=(D_{u(t)}F)^{-1} \bigg( \frac{\nabla}{dt} \dot{c}_0(t)\bigg).\]
Es gilt also \[\frac{\nabla}{dt} \dot{c}(t) = D_{u(t)} F(X(t)). \]
Wir wählen eine glatte Funktion \varphi: [t_0 -\delta, t_0 + \delta] \to \R mit
\bullet \quad \varphi \geq 0 \bullet \quad \varphi(t_0) > 0 \bullet \quad supp(\varphi) \subset [t_0 -\delta, t_0 + \delta].

Für hinreichend kleines \varepsilon > 0 gilt für alle t \in [t_0 -\delta, t_0 + \delta] und alle s \in (-\varepsilon, \varepsilon), dass u(t) + s \cdot \varphi(t) \cdot X(t) \subset U. Wir können also definieren \[c_s(t):=F\bigg(u(t)+s \cdot \varphi(t) \cdot X(t)\bigg) \subset V \subset S\]
für alle t \in [t_0 -\delta, t_0 + \delta] und alle s \in (-\varepsilon, \varepsilon). Für s \in (-\varepsilon,\varepsilon) und t \in [a-b] - [t_0 -\delta, t_0 + \delta] setzen wir \[c_s(t):=c(t).\]
Dann ist c_s(t) glatt in (s,t) \in (-\varepsilon, \varepsilon) \times [a,b]. Wir berechnen das Variationsfeld. Für t \in [a,b] - [t_0 -\delta, t_0 + \delta] gilt offensichtlich
\[V(t)= \frac{\partial}{\partial s}\bigg|_{s=0} c_s(t)=0,\]
während für t \in [t_0 -\delta, t_0 + \delta] gilt
V(t) & = \frac{\partial}{\partial s}\bigg|_{s=0} c_s(t) =\frac{\partial}{\partial s}\bigg|_{s=0} F(u(t)+s\cdot\varphi(t) \cdot X(t)) =D_{u(t)}F(\varphi(t) \cdot X(t)) =\varphi(t) \frac{\nabla}{dt}\dot{c}(t).


Wir setzen dies in die Variationsformel für die Energie ein und erhalten
\frac{d}{ds} E[c_s]\bigg|_{s=0} &= - \int_a^{b} g_{c(t)} \bigg(V(t), \frac{\nabla}{dt} \dot{c}(t) \bigg) dt \\ &= - \int_{t_{0}-\delta} ^{t_0 + \delta} g_{c(t)} \bigg( \varphi(t) \cdot \frac{\nabla}{dt} \dot{c}(t), \frac{\nabla}{dt} \dot{c}(t) \bigg)dt\\ &= - \int_{t_{0}-\delta} ^{t_0 + \delta} \varphi(t) g_{c(t)} \bigg( \frac{\nabla}{dt} \dot{c}(t), \frac{\nabla}{dt} \dot{c}(t) \bigg)dt \\ &<0
Wegen der Energieminimalität der Kurve c=c_0 muss aber \[\frac{d}{ds} E[c_s]\bigg|_{s=0} =0\] gelten, ein Widerspruch.

Das ist der Beweis, wie er im Buche steht (Bär, Korollar 4.5.6). Nun ist meiner Meinung nach am Anfang ein Tippfehler und es müsste im Korollar schon \frac{\nabla}{dt} \dot{c}(t)=0, also ohne Index 0 heißen. Stimmt ihr mir zu?

Nun soll ich alles, bis auf die letzte Rechnung, wo man zeigt, dass die Energie negativ wäre, mit einer Grafik veranschaulichen. Das find ich aber alles andere als einfach.
So wie ich das bisher verstanden habe, sorgt mein X(t) dafür, dass die Kurve verzogen wird. Aber mir ist nicht klar, wie ich das ganze per Grafik erklären soll, was da passiert.
Würde euch sogar dafür entlohnen, wenn ihr mir noch schnell helfen könntet ;)

Ich hatte mir gestern noch ein paar Zeichnungen gemacht, aber richtig erklären kann ich das ganze damit nicht. Stimmen die Zeichnungen wenigstens so? [Dateianhang nicht öffentlich]

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=170415&start=0&lps=1256839#naechster6
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Geodätische -minimale Energie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:17 Di 03.07.2012
Autor: speedy05

Ich hab hier mal ein paar Gedanken zu Papier gebracht, aber leider kann ich das ganze nicht erklären. Stimmen die Zeichnungen? Bin gerade etwas überfordert :(
[a][Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
Ich hoffe das Bild wird hier gleich zu sehen sein, ansonsten schaut im oben genannten anderen Forum. Danke
Bezug
        
Bezug
Geodätische -minimale Energie: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Do 05.07.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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