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Hallo,
im Zusammenhang mit der interessanten Frage über einen
dem regulären Tetraeder einbeschriebenen Würfel maximaler
Größe bin ich auf folgendes Nebenproblem gestoßen:
| Aufgabe | Im Inneren eines regulären Tetraeders befindet sich ein
Punkt P, welcher von den 4 Seitenflächen die Abstände
a,b,c,d hat. Wie lässt sich aus diesen Angaben das
Volumen des Tetraeders berechnen ?
konkretes Beispiel: a=1, b=2, c=3, d=4 |
Ich arbeite an der Lösung, möchte die Interessierten aber
auch an der Aufgabe teilhaben lassen.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Fr 23.09.2011 | | Autor: | rabilein1 |
Ich denke jetzt mal zweidimensional:
Der Punkt P ist im Ursprung. Die Punkte A,B,C sind a=1, b=2, c=3 vom Ursprung entfernt. Dann liegen die doch auf den Radien um P. Dadurch gibt es dann aber doch unendlich viele Möglichkeiten für ein Dreieck, oder?
Ist das bei dem Tetraeder anders? Oder ist das durch "regulären Tetraeder" geklärt? In 3-D kann ich mir das alles nicht vorstellen.
Hast du eine ähnliche Aufgabe mal in 2-D versucht?
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moin rabilein,
Laut Wiki (http://de.wikipedia.org/wiki/Tetraeder#Regelm.C3.A4.C3.9Figes_Tetraeder) sind die Seiten bei einem regulären Tetraeder alle gleich lang, also ins besondere sind die Seitenflächen alles gleichseitige Dreiecke.
Nimmst du in deinem 2D-Beispiel die Info dazu, dass das gesuchte Dreieck gleichseitig sein muss (also alle Winkel 60° groß) so gibt es zwar immer noch unendlich viele, aber sie haben alle die gleiche Fläche (und diese interessiert ja).
MfG
Schadowmaster
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:52 Sa 24.09.2011 | | Autor: | rabilein1 |
> Nimmst du in deinem 2D-Beispiel die Info dazu, dass das
> gesuchte Dreieck gleichseitig sein muss (also alle Winkel
> 60° groß) so gibt es zwar immer noch unendlich viele,
> aber sie haben alle die gleiche Fläche (und diese
> interessiert ja).
Hinsichtlich der Fläche habe ich etwas anderes raus: es gibt Dreicke mit unterschiedlichen Flächen.
Und zwar habe ich mal folgendes gezeichnet:
P( 0 / 0 ) , a=3 , b=4 , c=6
Also drei Kreise um P( 0 / 0 ), aufd denen A, B und C liegen müssen.
Dann habe ich A festgesetzt auf A( 0 / 3 )
Und ich habe zwei gleichseitige Dreiecke unterschiedlicher Größe:
Dreieck EINS:
[mm] A_{1}( [/mm] 0 / 3 ) [mm] B_{1}( [/mm] 3.1 / 2.7 ) [mm] C_{1}( [/mm] 2 / 5.5 )
Dreieck ZWEI:
[mm] A_{2}( [/mm] 0 / 3 ) [mm] B_{2}( [/mm] 0 / -0.4 ) [mm] C_{2}( [/mm] 5.9 / -0.5 )
(Die Angaben sind nur sehr grob, da nicht gerechnet, sondern nur gezeichnet)
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> Hast du eine ähnliche Aufgabe mal in 2-D versucht?
Ah ja, gute Idee:
In 2-D wäre die dazu analoge Aufgabe:
| Aufgabe | Im Inneren eines gleichseitigen Dreiecks befindet
sich ein Punkt P, welcher von den 3 Seiten die Abstände
a,b,c hat. Wie lässt sich aus diesen Angaben der
Flächeninhalt des Dreiecks berechnen ?
konkretes Beispiel: a=1, b=2, c=3 |
> Ich denke jetzt mal zweidimensional:
>
> Der Punkt P ist im Ursprung. Die Punkte A,B,C sind a=1,
> b=2, c=3 vom Ursprung entfernt.
Das wären dann nicht etwa die Eckpunkte des Dreiecks,
sondern die Lotfußpunkte der von P aus auf die drei
Seiten gefällten Lote der Längen a, b und c.
> Dann liegen die doch auf
> den Radien um P. Dadurch gibt es dann aber doch unendlich
> viele Möglichkeiten für ein Dreieck, oder?
Man müsste in Analogie zum regulären Tetraeder voraus-
setzen, dass das Dreieck gleichseitig ist.
Wenn man in diesem Fall von einem Punkt P im Inneren
die Lote auf die drei Seiten fällt, so bilden diese
paarweise jeweils den Zwischenwinkel 120° (wie die
Strahlen des ![[]](/images/popup.gif) Mercedes-Sterns).
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Sa 24.09.2011 | | Autor: | rabilein1 |
> Das wären dann nicht etwa die Eckpunkte des Dreiecks,
> sondern die Lotfußpunkte der von P aus auf die drei
> Seiten gefällten Lote der Längen a, b und c.
Wieso nicht die Eckpunkte des Dreickes? Ich bin davon ausgegangen, dass die Eckpunkte des Dreiecks (bzw. Tetraeders) a, b und c Einheiten von dem Fixpunkt P entfernt sind.
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> > Das wären dann nicht etwa die Eckpunkte des Dreiecks,
> > sondern die Lotfußpunkte der von P aus auf die drei
> > Seiten gefällten Lote der Längen a, b und c.
>
> Wieso nicht die Eckpunkte des Dreickes? Ich bin davon
> ausgegangen, dass die Eckpunkte des Dreiecks (bzw.
> Tetraeders) a, b und c Einheiten von dem Fixpunkt P
> entfernt sind.
Nein, es geht ausdrücklich um die Abstände des inneren
Punktes von den Seitenflächen des Tetraeders bzw. von
den Seiten(geraden) des Dreiecks. Aus diesen Abständen
kann man tatsächlich das Volumen des Tetraeders bzw.
den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen (immer unter
der Voraussetzung, dass diese regelmäßig sind).
Sind nur die Abstände zu den Ecken gegeben, lassen
sich diese Aufgaben nicht lösen.
LG Al
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Sa 24.09.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
für die 2-D Aufgabe sollte es wie folgt möglich sein den Flächeninhalt zu berechnen.
Der Flächeninhalt ist [mm] F=g^2*\bruch{\wurzel{3}}{4}
[/mm]
also muss man nur noch g berechnen.
Für g gilt
[mm] g=2*c*tan(30°)+\bruch{a+b}{cos(30°)}=\bruch{2\wurzel{3}}{3}c+\bruch{2}{\wurzel{3}}(a+b)
[/mm]
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> Hi,
>
> für die 2-D Aufgabe sollte es wie folgt möglich sein den
> Flächeninhalt zu berechnen.
>
> Der Flächeninhalt ist [mm]F=g^2*\bruch{\wurzel{3}}{4}[/mm]
>
> also muss man nur noch g berechnen.
>
> Für g gilt
>
> [mm]g=2*c*tan(30^{\circ})+\bruch{a+b}{cos(30^{\circ})}=\bruch{2\wurzel{3}}{3}c+\bruch{2}{\wurzel{3}}(a+b)[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Richtig !
(... und nun könnte man das Ergebnis noch ganz
erheblich zu einer schönen Formel vereinfachen !)
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Sa 24.09.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
also zu [mm] \bruch{2}{3}\wurzel{3}*(a+b+c)
[/mm]
Meinst Du das?
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> Hi,
>
> also zu [mm]\bruch{2}{3}\wurzel{3}*(a+b+c)[/mm]
>
> Meinst Du das?
Nicht so ganz. Nach meiner Rechnung ergibt sich
$\ A\ =\ [mm] \frac{1}{\wurzel{3}}*(a+b+c)^2$
[/mm]
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Sa 24.09.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
da ich ja die Grundseite g ausgerechnet habe und wenn man das in die Formel für den Flächeninhalt einsetzt ergibt sich genau Dein Ausdruck. Also kein Widerspruch.
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> Hi,
>
> da ich ja die Grundseite g ausgerechnet habe und wenn man
> das in die Formel für den Flächeninhalt einsetzt ergibt
> sich genau Dein Ausdruck. Also kein Widerspruch.
>
Naja, als Ergebnis wollten wir doch eben den Flächeninhalt
und nicht die Grundlinie. Du hast nur einen Term angegeben
und nicht klargestellt, dass es sich dabei erst um die
Grundlinie handelte ...
LG
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Hallo alle !
ich möchte jetzt doch wenigstens noch die Ergebnisse
angeben.
Für das gleichseitige Dreieck gilt:
$\ A\ =\ [mm] \frac{1}{\sqrt{3}}*(a+b+c)^2$
[/mm]
Vorsicht: a,b,c stehen hier nicht für Seitenlängen !
Für das regelmäßige Tetraeder gilt:
$\ V\ =\ [mm] \frac{\sqrt{3}}{8}*(a+b+c+d)^3$
[/mm]
LG Al-Chw.
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![[]](http://www.cise.com/Productos/Imagenes/Mercedes-Benz-Logo.jpg){kind=logo}
Mercedes-Sterns