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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Mi 02.04.2008 | | Autor: | PixCell |
| Aufgabe | Wie leitet sich die Länge des Tangentenabschnittes her?
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo zusammen,
im Rahmen eines Seminars über die geometrische Anwendung von DGL's soll ich Eigenschaften von Kurven, die eine Ableitung erfordern, vorstellen.
Dabei geht es auch um die Länge des Tangentenabschnittes zwischen dem Punkt (x,y) (an dem sich Kurve und Tangente schneiden) und der x- bzw. der y-Achse.
Ich habe zur Veranschaulichung immer mit dem Beispiel f(x) = [mm] x^{2} [/mm] gearbeitet und auch zu dieser Eigenschaft ein JPG erstellt, dass ich Euch in den Anhang gelegt habe.
Mein Problem ist nun dass ich mir die beiden zugehörigen Formeln geometrisch überhaupt nicht herleiten kann:
[mm] y\wurzel{1 +( \bruch{dy}{dx})^{2}} [/mm]
für den Abschnitt zwischen Punkt (x,y) und x-Achse
und
[mm] x\wurzel{1 +( \bruch{dx}{dy})^{2}}
[/mm]
für den Abschnitt zwischen Punkt (x,y) und y-Achse
Ich weiß halt, dass 1 +( [mm] \bruch{dy}{dx})^{2} [/mm] wohl die Ableitung des Tangens ist, aber was mir das hier hilft kann ich nicht sagen.
Ich danke bereits vorab für Eure Hilfe.
Ach ja: Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Mi 02.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Wie leitet sich die Länge des Tangentenabschnittes her?
> Hallo zusammen,
>
> im Rahmen eines Seminars über die geometrische Anwendung
> von DGL's soll ich Eigenschaften von Kurven, die eine
> Ableitung erfordern, vorstellen.
>
> Dabei geht es auch um die Länge des Tangentenabschnittes
> zwischen dem Punkt (x,y) (an dem sich Kurve und Tangente
> schneiden) und der x- bzw. der y-Achse.
>
> Ich habe zur Veranschaulichung immer mit dem Beispiel f(x)
> = [mm]x^{2}[/mm] gearbeitet und auch zu dieser Eigenschaft ein JPG
> erstellt, dass ich Euch in den Anhang gelegt habe.
>
> Mein Problem ist nun dass ich mir die beiden zugehörigen
> Formeln geometrisch überhaupt nicht herleiten kann:
>
> [mm]y\wurzel{1 +( \bruch{dy}{dx})^{2}}[/mm]
> für den Abschnitt zwischen Punkt (x,y) und x-Achse
Hallo,
wir nennen diesen Abschnitt einmal "Länge l".
Es gilt also l=[mm]y*\wurzel{1 +( \bruch{dy}{dx})^{2}}[/mm] .
Durch quadrieren kommt man auf
[mm] l^2=y^2+(y*\bruch{dy}{dx})^{2}.
[/mm]
Das riecht verdammt nach Pythagoras....
Viele Grüße
Abakus
>
> und
>
> [mm]x\wurzel{1 +( \bruch{dx}{dy})^{2}}[/mm]
> für den Abschnitt
> zwischen Punkt (x,y) und y-Achse
>
> Ich weiß halt, dass 1 +( [mm]\bruch{dy}{dx})^{2}[/mm] wohl die
> Ableitung des Tangens ist, aber was mir das hier hilft kann
> ich nicht sagen.
>
> Ich danke bereits vorab für Eure Hilfe.
>
> Ach ja: Ich habe die Frage in keinem anderen Forum
> gestellt.
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>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Mi 02.04.2008 | | Autor: | PixCell |
Hallo abakus,
das hört sich doch sehr gut an!
Da ich das Thema noch nicht so ganz verinnerlicht habe, muss ich mir das anhand meiner Beispielzeichnung mal in Ruhe veranschaulichen, aber ich glaube es dämmert.
Vielen Dank an Dich!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Mi 02.04.2008 | | Autor: | PixCell |
... ich glaube jetzt hab ich's:
In der Formel
[mm] l^2=y^2+(y\cdot{}\bruch{dy}{dx})^{2}
[/mm]
wäre ja [mm] y\cdot{}\bruch{dy}{dx} [/mm] ( = die Länge der Subtangente) die eine Kathete und die "Höhe" von y die zweite Kathete.
Mein gesuchter Tangentenabschnitt wäre somit die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks.
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