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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Sa 06.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Zeige,dass für jedes [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] x\not=-1 [/mm] die "geometrische [mm] Summenformel"\summe_{k=0}^{n}=\bruch{1-x^{n+1}}{1-x} [/mm] gilt. |
Hallo zusammen^^
Ich bin gard dabei diese Aufagbe zu lösen.Ich weiß nicht ob ich das so richtig mache aber ich hab mir gedacht,dass man das mit vollständiger Induktion machen könnte,weil mir da jetzt anderer Weg einfällt.
Für den Induktionsanfang nehm ich mal x=2 und n=2.
Das setz ich ein und sehe,dass der IA schon mal gelingt.
Dann nehme ich mal an,dass die Aussage für n stimmt.
Jetzt kommt der Induktionsschritt:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} x^{k}=\bruch{1-x^{(n+1)+1}}{1-x}
[/mm]
stimmt das bis hier hin so?
lg
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Hallo Mandy,
> Zeige,dass für jedes [mm]n\in\IN[/mm] und [mm]x\not=-1[/mm] die "geometrische
> [mm]Summenformel"\summe_{k=0}^{n}=\bruch{1-x^{n+1}}{1-x}[/mm] gilt.
> Hallo zusammen^^
>
> Ich bin gard dabei diese Aufagbe zu lösen.Ich weiß nicht ob
> ich das so richtig mache aber ich hab mir gedacht,dass man
> das mit vollständiger Induktion machen könnte,weil mir da
> jetzt anderer Weg einfällt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jo, das ist eine gute Idee 
>
> Für den Induktionsanfang nehm ich mal x=2 und n=2.
wieso machst du das und darfst du das so "spezialisieren"?
[mm] $x\neq [/mm] -1$ ist doch beliebig, du darfst also nicht x=2 "wählen"
IA außerdem bei $n=1$ ! (wieso nimmst du n=2?)
> Das setz ich ein und sehe,dass der IA schon mal gelingt.
>
> Dann nehme ich mal an,dass die Aussage für n stimmt.
>
> Jetzt kommt der Induktionsschritt:
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1} x^{k}=\bruch{1-x^{(n+1)+1}}{1-x}[/mm]
Das ist zu zeigen
> stimmt das bis hier hin so?
Nicht so richtig, du musst unter der Induktionsvor., also der Annahme, dass die Beh. für ein beliebiges aber festes n gilt, dass also
[mm] $\sum\limits_{k=0}^nx^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ [/mm] gilt, zeigen, dass sie auch für n+1 gilt
Nimm dir die linke Seite der zu zeigenden Aussage her und forme sie so um, dass du die Ind.vor, einbauen kannst:
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{n+1}x^k=\left(\sum\limits_{n=0}^{n}x^k\right) [/mm] \ + \ [mm] x^{n+1}$
[/mm]
Jetzt kannst du auf den Summenausdruck die Ind.vor anwenden und ihn schreiben als ...
Das ganze verrechne dann mal und schaue, dass du auf [mm] $...=\frac{1-x^{n+2}}{1-x}$ [/mm] kommst
LG
schachuzipus
>
> lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 Sa 06.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Es gibt auch noch einen ganz wunderbaren Weg ohne Induktion:
Setze [mm] $s_n:=\sum_{k=0}^nx^k$. [/mm] Offensichtlich gilt [mm] $s_n+x^{n+1}=s_{n+1}=1+xs_n$ [/mm] und Umstellen liefert für [mm] $x\ne1$ [/mm] die Gleichung [mm] $s_n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\qquad\Box$
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Sa 06.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
> Es gibt auch noch einen ganz wunderbaren Weg ohne
> Induktion:
> Setze [mm]s_n:=\sum_{k=0}^nx^k[/mm]. Offensichtlich gilt
> [mm]s_n+x^{n+1}=s_{n+1}=1+xs_n[/mm] und Umstellen liefert für [mm]x\ne1[/mm]
> die Gleichung [mm]s_n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\qquad\Box[/mm]
>
Wie kommst du denn von Umstellen auf die Gleichung? Das kann ich noch nicht so ganz nachvolziehen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Sa 06.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mandy,
> Hallo,
>
> > Es gibt auch noch einen ganz wunderbaren Weg ohne
> > Induktion:
> > Setze [mm]s_n:=\sum_{k=0}^nx^k[/mm]. Offensichtlich gilt
> > [mm]s_n+x^{n+1}=s_{n+1}=1+xs_n[/mm] und Umstellen liefert für [mm]x\ne1[/mm]
> > die Gleichung [mm]s_n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\qquad\Box[/mm]
> >
>
> Wie kommst du denn von Umstellen auf die Gleichung? Das
> kann ich noch nicht so ganz nachvolziehen.
oben steht ja [mm] $s_n+x^{n+1}=1+x s_n$. [/mm] Löse diese Gleichung nun nach [mm] $s_n$ [/mm] auf.
(Falls Du dabei Probleme haben solltest, dann setze [mm] $y:=s_n$, [/mm] dann ist obige Gleichung nichts anderes als [mm] $y+x^{n+1}=1+x*y$, [/mm] und diese Gleichung kannst Du sicher nach $y$ auflösen...)
Damit das von Robert als offensichtlich Bezeichnete noch offensichtlicher wird, kannst Du Dir das ganze auch so behalten:
Setze
(I) [mm] $1+x+x^2+...+x^{n-1}+x^n=:s_n$
[/mm]
Daraus folgt (Multiplikation von (I) mit [mm] $\black{x}$):
[/mm]
(II) [mm] $x*s_n=x+x^2+...+x^n+x^{n+1}$
[/mm]
Wir schreiben jetzt (II) und (I) mal übereinander und rechnen (II)-(I):
(II) [mm] $\blue{x+x^2+...+x^{n-1}+x^n}+\red{x^{n+1}}=\red{x*s_n}$
[/mm]
(I) [mm] $\red{1}+\blue{x+x^2+...+x^{n-1}+x^n}=\red{s_n}$
[/mm]
Wenn man (II) [mm] $\blue{-}$ [/mm] (I) rechnet, so heben die blaugefärbten Terme sich alle raus, über bleiben nur die rotgefärbten, also:
[mm] x^{n+1}-1=x*s_n-s_n
[/mm]
Rechterhand klammerst Du nun [mm] $s_n$ [/mm] aus und löst danach auf (für $x [mm] \not=1$). [/mm] Gegebenenfalls denke daran, den Bruch, den Du dann für [mm] $s_n$ [/mm] erhälst, mit $-1$ zu erweitern, damit er auch wirklich zu der Behauptung passt.
P.S.:
Robert macht das ganze im Prinzip natürlich genauso, ganz ausfürhlich mit [mm] $s_n:=\sum_{k=0}^n x^k$ [/mm] kann man seine Gleichung auch direkt so einsehen:
[mm] $$(\star_1)\;\;s_n+x^{n+1}=\left(\sum_{k=0}^n x^k\right)+x^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1} x^k=s_{n+1},$$ [/mm] und außerdem ist
$$
[mm] (\star_2)\;\;s_{n+1}-1=\left(\sum_{k=0}^{n+1}x^k\right)-x^0=\sum_{k=1}^{n+1} x^k=\sum_{m=0}^n x^{m+1}=\sum_{m=0}^n (x*x^m)=x*\sum_{k=0}^n x^k=x*s_n
[/mm]
$$
[mm] $(\star_1)$ [/mm] und [mm] $(\star_2)$ [/mm] liefern zusammen dann
$$
[mm] s_n+x^{n+1}=s_{n+1}=1+x*s_n,
[/mm]
$$
also
$$
[mm] s_n+x^{n+1}=1+x*s_n,
[/mm]
$$
was insgesamt die Behauptung liefert.
Wenn Dir die Rechnungen mit dem Summenzeichen unklar sind, solltest Du entweder den Umgang mit dem Summenzeichen nochmal üben, oder aber die Summen ausschreiben...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Sa 06.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hi,
also den Weg mit der Induktion hab ich verstanden,aber hier hab ich noch ein paar Fragen.
>
> oben steht ja [mm]s_n+x^{n+1}=1+x s_n[/mm]. Löse diese Gleichung nun
> nach [mm]s_n[/mm] auf.
> (Falls Du dabei Probleme haben solltest, dann setze [mm]y:=s_n[/mm],
> dann ist obige Gleichung nichts anderes als
> [mm]y+x^{n+1}=1+x*y[/mm], und diese Gleichung kannst Du sicher nach
> [mm]y[/mm] auflösen...)
Wenn ich fie Gleichung nach y auflöse komme ich auf [mm] \bruch{y+x^{n+1}-1}{x}=y,das [/mm] sieht aber so unschön aus.
> Damit das von Robert als offensichtlich Bezeichnete noch
> offensichtlicher wird, kannst Du Dir das ganze auch so
> behalten:
>
> Setze
> (I) [mm]1+x+x^2+...+x^{n-1}+x^n=:s_n[/mm]
>
> Daraus folgt (Multiplikation von (I) mit [mm]\black{x}[/mm]):
> (II) [mm]x*s_n=x+x^2+...+x^n+x^{n+1}[/mm]
Warum multiplizieren wir das überhaupt mit x?
> Wir schreiben jetzt (II) und (I) mal übereinander und
> rechnen (II)-(I):
> (II)
> [mm]\blue{x+x^2+...+x^{n-1}+x^n}+\red{x^{n+1}}=\red{x*s_n}[/mm]
> (I) [mm]\red{1}+\blue{x+x^2+...+x^{n-1}+x^n}=\red{s_n}[/mm]
>
> Wenn man (II) [mm]\blue{-}[/mm] (I) rechnet, so heben die
> blaugefärbten Terme sich alle raus, über bleiben nur die
> rotgefärbten, also:
> [mm]x^{n+1}-1=x*s_n-s_n[/mm]
>
> Rechterhand klammerst Du nun [mm]s_n[/mm] aus und löst danach auf
> (für [mm]x \not=1[/mm]). Gegebenenfalls denke daran, den Bruch, den
> Du dann für [mm]s_n[/mm] erhälst, mit [mm]-1[/mm] zu erweitern, damit er auch
> wirklich zu der Behauptung passt.
>
> P.S.:
> Robert macht das ganze im Prinzip natürlich genauso, ganz
> ausfürhlich mit [mm]s_n:=\sum_{k=0}^n x^k[/mm] kann man seine
> Gleichung auch direkt so einsehen:
> [mm](\star_1)\;\;s_n+x^{n+1}=\left(\sum_{k=0}^n x^k\right)+x^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1} x^k=s_{n+1},[/mm]
> und außerdem ist
> [mm][/mm]
>
> [mm](\star_2)\;\;s_{n+1}-1=\left(\sum_{k=0}^{n+1}x^k\right)-x^0=\sum_{k=1}^{n+1} x^k=\sum_{m=0}^n x^{m+1}=\sum_{m=0}^n (x*x^m)=x*\sum_{k=0}^n x^k=x*s_n[/mm]
> [mm][/mm]
>
>
> [mm](\star_1)[/mm] und [mm](\star_2)[/mm] liefern zusammen dann
> [mm][/mm]
> [mm]s_n+x^{n+1}=s_{n+1}=1+x*s_n,[/mm]
> [mm][/mm]
> also
> [mm][/mm]
> [mm]s_n+x^{n+1}=1+x*s_n,[/mm]
> [mm][/mm]
> was insgesamt die Behauptung liefert.
>
> Wenn Dir die Rechnungen mit dem Summenzeichen unklar sind,
> solltest Du entweder den Umgang mit dem Summenzeichen
> nochmal üben, oder aber die Summen ausschreiben...
>
> Gruß,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Sa 06.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> Wenn ich fie Gleichung nach y auflöse komme ich auf
> [mm]\bruch{y+x^{n+1}-1}{x}=y,das[/mm] sieht aber so unschön aus.
Du hast zwar richtig umgeformt, aber auf der linken seite steht doch immernoch ein $y$. Du musst die ganzen $y$ erstmal auf eine Seite bringen...
> Warum multiplizieren wir das überhaupt mit x?
Dafür gibt es kein Kochrezept. Man macht es weil es funktioniert - das ist die kreative Idee des Beweises. Das Ziel ist es, [mm] $s_{n+1}$ [/mm] auf zwei verschiedene Arten durch [mm] $s_n$ [/mm] darzustellen, denn dann kann man diese Darstellungen gleichsetzen und nach [mm] $s_n$ [/mm] umstellen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Sa 06.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Du hast zwar richtig umgeformt, aber auf der linken seite
> steht doch immernoch ein [mm]y[/mm]. Du musst die ganzen [mm]y[/mm] erstmal
> auf eine Seite bringen...
wenn ich das linke y noch auf die rechte Seite bringe hab ich [mm] \bruch{x^{n+1}-1}{x}=0 [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Sa 06.09.2008 | | Autor: | pelzig |
>
> > Du hast zwar richtig umgeformt, aber auf der linken seite
> > steht doch immernoch ein [mm]y[/mm]. Du musst die ganzen [mm]y[/mm] erstmal
> > auf eine Seite bringen...
>
> wenn ich das linke y noch auf die rechte Seite bringe hab
> ich [mm]\bruch{x^{n+1}-1}{x}=0[/mm] ?
Nee, das ist nich richtig. Schau mal so gehts:
$ [mm] \bruch{y+x^{n+1}-1}{x}=y$
[/mm]
Auf der linken Seite erstmal den Bruch auseinanderziehen:
[mm] $\frac{y}{x}+\frac{x^{n+1}-1}{x}=y$
[/mm]
Jetzt den ersten Summanden der linken Seite rüberbringen:
[mm] $\frac{x^{n+1}-1}{x}=y-\frac{y}{x}$
[/mm]
Auf der rechten Seite das $y$ mit $x$ erweitern und die beiden Brüche addieren:
[mm] $\frac{x^{n+1}-1}{x}=\frac{yx-y}{x}$
[/mm]
Beide Seiten mit $x$ multiplizieren, geht nur für [mm] $x\ne0$:
[/mm]
[mm] $x^{n+1}-1=yx-y$
[/mm]
Auf der rechten Seite das $y$ ausklammern:
[mm] $x^{n+1}-1=y(x-1)$
[/mm]
Beide Seiten durch $(x-1)$ teilen, geht nur für [mm] $x\ne1$
[/mm]
[mm] $\frac{x^{n+1}-1}{x-1}=y$
[/mm]
Jetzt kann man links nochmal mit $-1$ erweitern und erhält:
[mm] $\frac{1-x^{n+1}}{1-x}=y$
[/mm]
Fertig.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:59 So 07.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mandy,
> Hi,
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> also den Weg mit der Induktion hab ich verstanden,aber hier
> hab ich noch ein paar Fragen.
>
>
> >
> > oben steht ja [mm]s_n+x^{n+1}=1+x s_n[/mm]. Löse diese Gleichung nun
> > nach [mm]s_n[/mm] auf.
> > (Falls Du dabei Probleme haben solltest, dann setze [mm]y:=s_n[/mm],
> > dann ist obige Gleichung nichts anderes als
> > [mm]y+x^{n+1}=1+x*y[/mm], und diese Gleichung kannst Du sicher nach
> > [mm]y[/mm] auflösen...)
>
> Wenn ich fie Gleichung nach y auflöse komme ich auf
> [mm]\bruch{y+x^{n+1}-1}{x}=y,das[/mm] sieht aber so unschön aus.
Pelzig hat Dir ja schonmal etwas vorgerechnet, aber eigentlich ist die Rechnung dazu äußerst einfach, deswegen habe ich mich gewundert, warum ich das nirgends so sehe (bei Deiner Umformung bräuchte man übrigens schon zusätzlich $x [mm] \not=0$, [/mm] da Du durch [mm] $\black{x}$ [/mm] teilst! Das ist nicht wirklich schlimm, man muss dann später nur dran denken, den Fall $x=0$ nochmal separat zu behandeln...) (vielleicht sehe ich's zu so später Stunde auch nicht mehr, und es steht tatsächlich doch irgendwo so, man sehe es mir nach):
Wenn Du die Gleichung
$$
[mm] (\star_1)\;\;y+x^{n+1}=1+x*y
[/mm]
$$
nach [mm] $\black{y}$ [/mm] auflösen willst, so bringt man zuerst einmal alle Terme mit [mm] $\black{y}$ [/mm] auf eine Seite des Gleichheitszeichens, z.B. rechnest Du bei [mm] $(\star_1)$ [/mm] einfach auf beiden Seiten [mm] $-\black{x*y}$ [/mm] und [mm] $-x^{n+1}$ [/mm] und erhälst damit:
$$
[mm] y-x*y=1-x^{n+1}
[/mm]
$$
Linkerhand klammere nun [mm] $\black{y}$ [/mm] aus, und Du erhälst:
$$
[mm] y(1-x)=1-x^{n+1}
[/mm]
$$
Im Falle $x [mm] \not=1$ [/mm] kannst Du die letztstehende Gleichung durch $1-x$ dividieren, und schon steht die Behauptung für [mm] $y=s_n$ [/mm] dort.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:23 So 07.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Daraus folgt (Multiplikation von (I) mit [mm]\black{x}[/mm]):
> > (II) [mm]x*s_n=x+x^2+...+x^n+x^{n+1}[/mm]
Du fragst, wieso diese Multiplikation naheliegen könnte:
Naja, das ist so eine Sache: Entweder sagt man "Es fällt vom Himmel..." oder aber "Probieren wir's einfach mal und schauen, was rauskommt..."; und natürlich gibt es kein Kochrezept. Andererseits:
Wenn ich mir [mm] $s_n$ [/mm] mal aufschreibe:
[mm] $s_n=\underbrace{x^0}_{=1}+x+x^2+...+x^{n}$ $\left(=\sum_{k=0}^n x^k\right)$
[/mm]
so steigen die Exponenten der aufeinanderfolgenden Summanden ja immer um $1$ an ($k$ durchläuft ja nach und nach die Werte von $0,...,n$). Wenn ich das mit $x$ multipliziere, so bleibt diese Eigenschaft erhalten.
(Bei [mm] $x*s_n=\sum_{k=1}^{n+1}x^k$ [/mm] durchläuft ja $k$ nach und nach die Werte von $1,...,(n+1)$.)
Und wenn man dann [mm] $s_n$ [/mm] und [mm] $x*s_n$ [/mm] als Summen ausschreibt, so erkennt man, dass diese beiden Summen sehr viele gemeinsame Summanden haben (nämlich [mm] $x^1, x^2, x^3, [/mm] ..., [mm] x^n$). [/mm] Daher liegt es auch nahe, diese beiden voneinander abzuziehen (also [mm] $s_n-x*s_n$ [/mm] (oder [mm] $x*s_n-s_n$) [/mm] zu berechnen).
Also das "spezielle Kochrezept" wäre es hier, eine (nützliche) Umformung zu finden, so dass man zwei Gleichungen hat, bei denen man möglichst viele gemeinsame Summanden findet. Aber in Wahrheit, denke ich, kann man diese Erklärung auch nur so geben, wenn man den Trick "kennt" (aber wenigstens einer muss ihn mal, sei es auch nur zufällig, entdeckt haben, und der hatte die eigentlich kreative Leistung erbracht ).
P.S.:
Übrigens geht's natürlich auch noch ähnlich anders (wenngleich unnötig kompliziert):
Du kannst natürlich auch
[mm] $$1+x+x^2+...+x^{n-1}+x^n=s_n$$
[/mm]
z.B. mit [mm] $x^2$ [/mm] durchmultiplizieren und damit dann erkennen, dass
[mm] $$x^2*s_n-s_n=x^{n+2}+x^{n+1}-1-x=x^{n+1}(x+1)-(x+1)$$
[/mm]
und damit wegen der dritten binomischen Formel
[mm] $$(x+1)(x-1)s_n=x^{n+1}(x+1)-(x+1)$$
[/mm]
gilt. Für $x=-1$ müßtest Du Dir dann nochmal kurz überlegen, dass dann auch die Behauptung gilt, für $x [mm] \not=-1$ [/mm] und $x [mm] \not=1$ [/mm] lieferte die letztstehende Gleichung die Behauptung (Division durch $(x+1)(x-1) [mm] \not=0$). [/mm] Also man könnte hier auch mit [mm] $x^2$ [/mm] multiplizieren und damit den Beweis führen; aber offensichtlich führt das schon zu (unnötigen) Fallunterscheidungen. Also die Multiplikation mit [mm] $x^1$ [/mm] (also $1$ als "kleinster natürlicher Exponent bei $x$") ist daher auch eine "Umformung, die nichts unnötig kompliziert macht", wenn ich das mal so sagen darf...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Sa 06.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> P.S.:
> Robert macht das ganze im Prinzip natürlich genauso, ganz
> ausfürhlich mit [mm]s_n:=\sum_{k=0}^n x^k[/mm] kann man seine
> Gleichung auch direkt so einsehen:
> [mm](\star_1)\;\;s_n+x^{n+1}=\left(\sum_{k=0}^n x^k\right)+x^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1} x^k=s_{n+1},[/mm]
> und außerdem ist
> [mm][/mm]
>
> [mm](\star_2)\;\;s_{n+1}-1=\left(\sum_{k=0}^{n+1}x^k\right)-x^0=\sum_{k=1}^{n+1} x^k=\sum_{m=0}^n x^{m+1}=\sum_{m=0}^n (x*x^m)=x*\sum_{k=0}^n x^k=x*s_n[/mm]
> [mm][/mm]
hmmm,also eigentlich versteh ich das mmit dem Summenzeichen schon,aber was beudeutet denn dieses m?
> [mm](\star_1)[/mm] und [mm](\star_2)[/mm] liefern zusammen dann
> [mm][/mm]
> [mm]s_n+x^{n+1}=s_{n+1}=1+x*s_n,[/mm]
> [mm][/mm]
> also
> [mm][/mm]
> [mm]s_n+x^{n+1}=1+x*s_n,[/mm]
> [mm][/mm]
> was insgesamt die Behauptung liefert.
>
> Wenn Dir die Rechnungen mit dem Summenzeichen unklar sind,
> solltest Du entweder den Umgang mit dem Summenzeichen
> nochmal üben, oder aber die Summen ausschreiben...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Sa 06.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> hmmm,also eigentlich versteh ich das mmit dem Summenzeichen
> schon,aber was beudeutet denn dieses m?
Das ist die "Laufvariable", die durchläuft die Werte $0,1,2,...,n$ und ist nur innerhalb des Summenzeichens definiert. Ob ich die Laufvariable [mm] $a,x,m,\alpha,\xi,\aleph$ [/mm] oder [mm] $\operatorname{pelzig}$ [/mm] nenne ist völlig gleichgültig:
[mm] $\sum_{a=0}^n a=\sum_{x=0}^n x=...=\sum_{\operatorname{pelzig}=0}^n\operatorname{pelzig}=0+1+2+...+(n-1)+n$
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 Sa 06.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> P.S.:
> Robert macht das ganze im Prinzip natürlich genauso, ganz
> ausfürhlich mit [mm]s_n:=\sum_{k=0}^n x^k[/mm] kann man seine
> Gleichung auch direkt so einsehen:
> [mm](\star_1)\;\;s_n+x^{n+1}=\left(\sum_{k=0}^n x^k\right)+x^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1} x^k=s_{n+1},[/mm]
> und außerdem ist
> [mm][/mm]
>
> [mm](\star_2)\;\;s_{n+1}-1=\left(\sum_{k=0}^{n+1}x^k\right)-x^0=\sum_{k=1}^{n+1} x^k=\sum_{m=0}^n x^{m+1}=\sum_{m=0}^n (x*x^m)=x*\sum_{k=0}^n x^k=x*s_n[/mm]
> [mm][/mm]
Hier hab ich auch nochmal ne Frage,wie kommt man jetzt drauf noch [mm] -x^{0} [/mm] zunehmen,also warum macht man das hier denn???
Es ist klar,dass man nachher damit auf das richtige Ergebnis kommt,aber es muss doch nen Grund geben,wie man auf die Idee kommt hier [mm] -x^{0} [/mm] zu rechnen ???
> [mm](\star_1)[/mm] und [mm](\star_2)[/mm] liefern zusammen dann
> [mm][/mm]
> [mm]s_n+x^{n+1}=s_{n+1}=1+x*s_n,[/mm]
> [mm][/mm]
> also
> [mm][/mm]
> [mm]s_n+x^{n+1}=1+x*s_n,[/mm]
> [mm][/mm]
> was insgesamt die Behauptung liefert.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 So 07.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> Wie kommt man jetzt drauf noch [mm]-x^{0}[/mm] zunehmen,also warum macht man das hier denn???
> Es ist klar,dass man nachher damit auf das richtige Ergebnis kommt,aber es muss doch nen Grund geben,wie man
> auf die Idee kommt hier [mm]-x^{0}[/mm] zu rechnen ???
Ja weil [mm] $x^0=1$ [/mm] ist:
[mm]\blue{s_{n+1}-\red{1}=\blue{\left(\sum_{k=0}^{n+1}x^k\right)}}-\red{x^0}[/mm]
Und Damit fällt dann der Summand der blauen Summe für $k=0$ weg, denn er wird ja danach gleich wieder abgezogen, sodass am ende nur [mm] $\sum_{k=1}^{n+1}x^k$ [/mm] bleibt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Sa 06.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mandy,
> Zeige,dass für jedes [mm]n\in\IN[/mm] und [mm]x\not=-1[/mm] die "geometrische
> [mm]Summenformel"\summe_{k=0}^{n}=\bruch{1-x^{n+1}}{1-x}[/mm] gilt.
> Hallo zusammen^^
>
> Ich bin gard dabei diese Aufagbe zu lösen.Ich weiß nicht ob
> ich das so richtig mache aber ich hab mir gedacht,dass man
> das mit vollständiger Induktion machen könnte,weil mir da
> jetzt anderer Weg einfällt.
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> Für den Induktionsanfang nehm ich mal x=2 und n=2.
> Das setz ich ein und sehe,dass der IA schon mal gelingt.
>
> Dann nehme ich mal an,dass die Aussage für n stimmt.
>
> Jetzt kommt der Induktionsschritt:
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1} x^{k}=\bruch{1-x^{(n+1)+1}}{1-x}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> stimmt das bis hier hin so?
>
> lg
damit dieser Beweis auch noch zu Ende gedacht wird: Sei $x \in \IR \setminus\{1\}$ (hier kannst Du auch $x \in \IC \setminus\{1\}$ nehmen) beliebig, aber fest. Induktionsstart ist klar.
(IV) Für $n \in \IN$ gelte nun $\blue{\sum_{k=0}^n x^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}}$
Zu zeigen:
Dann gilt
$\red{\sum_{k=0}^{n+1}x^{k}=\frac{1-x^{n+2}}{1-x}}$.
Der Beweis dazu wurde angedeutet:
Klar ist, dass
$$\sum_{k=0}^{n+1}x^{k}=\left(\sum_{k=0}^n x^k\right)+x^{n+1},$$ und dort kannst Du nun nach (Induktions-)Voraussetzung die blaue Gleichheit für die Summe rechterhand einsetzen und mußt zeigen, dass man damit insgesamt die rote Gleichheit erhält.
Nach dem Einsetzen steht dann dort:
$=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}+x^{n+1}$, und wenn Du Dir die rote Gleichung, die Du ja beweisen sollst, anguckst, so solltest Du erkennen, dass Du nur noch nachrechnen musst, dass gilt:
$$\frac{1-x^{n+1}}{1-x}+x^{n+1}=\frac{1-x^{n+2}}{1-x}}$$
Das kannst Du mit Äquivalenzumformungen bewerkstelligen.
Natürlich kann man auch so vorgehen, dass man versucht:
$\frac{1-x^{n+1}}{1-x}+x^{n+1}$ direkt zu $\frac{1-x^{n+2}}{1-x}}$ umzuformen, was oft bei Induktionsbeweisen auch bevorzugt wird (und ich insbesondere bei diesem Beweis hier sogar bevorzugen würde); ich wollte nur darauf hinaus, dass man manchmal durch "genaues Hingucken" sich nochmal klarmacht, was man eigentlich zu zeigen hat. Insbesondere wird Dir das später bei Induktionsbeweisen, wo Abschätzungen ins Spiel kommen, nützen können...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Sa 06.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
also ich muss sagen du kannst wirklich gut erklären,vielen dank,ich habs verstanden ^^
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