Gerade-mehrere Aufgabentypen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind die Gerade g durch die Punkte P(0/0/3) und Q(-5/3/3) und eine Gerade h mit der Gleichung [mm] \vec{x}=\vektor{0 \\ 1,5 \\ 4,5}+\lambda\vektor{-5 \\ 6 \\ -3}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass g und h einen Schnittpunkt haben und so eine Ebene aufspannen. |
Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Wir müssen diese Aufgabe bearbeiten, die aus 4 Teilaufgaben besteht. Leider macht mir die a) schon Probleme.
Wie muss ich hier vorgehen? Mir kommt dieser Aufgabentyp bekannt vor, allerdings bin ich mir wegen dem Vorgehen nicht sicher.
Muss ich die Punkte jeweils in die Geradengleichung für das x einsetzen?
Dann müsste ich doch anschließend eine Schnittgerade raus bekommen, oder?
Liebe Grüße,
Sarah 
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> Gegeben sind die Gerade g durch die Punkte P(0/0/3) und
> Q(-5/3/3) und eine Gerade h mit der Gleichung
> [mm]\vec{x}=\vektor{0 \\ 1,5 \\ 4,5}+\lambda\vektor{-5 \\ 6 \\ -3}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass g und h einen Schnittpunkt haben und so
> eine Ebene aufspannen.
> Hallo Zusammen ,
>
> Wir müssen diese Aufgabe bearbeiten, die aus 4 Teilaufgaben
> besteht. Leider macht mir die a) schon Probleme.
>
> Wie muss ich hier vorgehen? Mir kommt dieser Aufgabentyp
> bekannt vor,
Hallo,
dann besteht noch Hoffnung...
> allerdings bin ich mir wegen dem Vorgehen
> nicht sicher.
>
> Muss ich die Punkte jeweils in die Geradengleichung für das
> x einsetzen?
Nein, das wäre Unsinn, jedenfalls Unsinn in Bezug auf die gestellte Aufgabe.
Mit diesem Vorgehen könntest Du berechnen, ob die beiden Punkte P und Q auf der Geraden liegen.
Aber einen eventuellen Schnittpunkt würdest Du so nur mit extrem großen Glück finden können - und unglücklicherweise kannst Du so auch nicht entscheiden, ob es einen gibt. Die Geraden könnten ja parallel oder windschief sein.
Die Sache geht so: stell zuerst die Parametergleichung der Geraden durch P und Q auf. (Stichworte: Richtungsvektor, Stütz- bzw. Ortsvektor.)
Danach setze die beiden Geradengleichungen gleich. (Achtung: die beiden Parameter müssen verschieden benannt werden).
Löse nun das Gleichungssystem:
Wenn es keine Lösung hat, Du also im Verlauf der Rechnung z.B. 0=5 dastehen hast, sind die Geraden parallel (und nicht identisch) oder windschief. Welcher der beiden Falle vorliegt, erkennst Du am Richtungsvektor.
Wenn es unendlich viele Lösungen hat, was Du daran erkennst, daß nur noch eine Gleichung übrigbleibt und die anderen beiden zu 0=0 werden, sind die Geraden identisch.
Wenn es einen Schnittpunkt gibt, kannst Du die Gleichung (ohne einen Widerspruch wie 0=5) nach den beiden Parametern auflösen, Einsetzen des Parameters in die Geradengleichung liefert den Schnittpunkt.
> Dann müsste ich doch anschließend eine Schnittgerade raus
> bekommen, oder?
Nein. Wenn Du zwei Geraden schneidest, bekommst Du, sofern sie nicht identisch sind, keine Schnittgerade, sondern einen Schnittpunkt. Probiers mit zwei Bleistiften aus.
Um den weiteren Verlauf der Aufgabe ins Visier zu nehmen: diesen Schnittpunkt von g und h kannst Du dann als Stütz/Ortsvektor der Ebene nehmen, und wenn Du an diesen die beiden Richtungsvektoren inkl. Parameter "heftest" (addieren), dann hast Du eine Gleichung der Ebene, in welcher die beiden sich schneidenden Geraden liegen, gefunden.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela ,
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort!
> > Gegeben sind die Gerade g durch die Punkte P(0/0/3) und
> > Q(-5/3/3) und eine Gerade h mit der Gleichung
> > [mm]\vec{x}=\vektor{0 \\ 1,5 \\ 4,5}+\lambda\vektor{-5 \\ 6 \\ -3}[/mm]
> Die Sache geht so: stell zuerst die Parametergleichung der
> Geraden durch P und Q auf. (Stichworte: Richtungsvektor,
> Stütz- bzw. Ortsvektor.)
Ich habe jetzt für [mm] \vec{a} [/mm] P eingesetzt und für den Ortsvektor habe ich [mm] \vec{q} [/mm] - [mm] \vec{p} [/mm] gerechnet.
Dementsprechend sieht meine Gerade g wie folgt aus:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 3}+\lambda\vektor{-5 \\ 3 \\ 0}
[/mm]
Stimmt die Geradengleichung?
Liebe Grüße,
Sarah
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> Dementsprechend sieht meine Gerade g wie folgt aus:
>
>
> [mm]g:\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 3}+\lambda\vektor{-5 \\ 3 \\ 0}[/mm]
>
>
> Stimmt die Geradengleichung?
Hallo,
ja, sie ist wunderbar richtig.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela ,
Ich erhalte keinen Schnittpunkt, da ich sehr schnell einen Widerspruch erhalten habe:
Ich habe die zwei Geraden gleichgesetzt und habe beim Auflösen folgendes erhalten:
[mm] -5\lambda_{1}+5\lambda_{2}=0
[/mm]
[mm] 6\lambda_{1}-3\lambda_{2}=1,5
[/mm]
[mm] -3\lambda_{1}-3\lambda_{2}=1,5
[/mm]
Dies habe ich vreinfacht:
[mm] -\lambda_{1}+\lambda_{2}=0 [/mm] *2
[mm] 2\lambda_{1}-\lambda_{2}=0,5
[/mm]
[mm] \lambda_{1}+\lambda_{2}=0,5
[/mm]
----------------------------
[mm] -\lambda_{1}+\lambda_{2}=0
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=0,5
[/mm]
[mm] 2\lambda_{2}=0,5 [/mm] :2 => [mm] \lambda_{2}=0,25
[/mm]
Damit hat das Gleichungssystem keine eindeutige Lösung, also auch keinen Schnittpunkt.
Wo liegt denn hier mein Fehler? In der Aufgabenstellung wird ja davon ausgegangen, dass es einen gibt.
Liebe Grüße,
Sarah
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> Hallo Angela ,
>
> Ich erhalte keinen Schnittpunkt, da ich sehr schnell einen
> Widerspruch erhalten habe:
>
> Ich habe die zwei Geraden gleichgesetzt und habe beim
> Auflösen folgendes erhalten:
>
> [mm]-5\lambda_{1}+5\lambda_{2}=0[/mm]
> [mm]6\lambda_{1}-3\lambda_{2}=red{1,5}[/mm]
> [mm]-3\lambda_{1}-\red{3}\lambda_{2}=red{1,5}[/mm]
Hallo,
das was Du hier schreibst, paßt leider nicht 100%-tig zu Deinen Geradengleichungen.
Du hast doch [mm] \vektor{0 \\ 1,5 \\ 4,5}+\lambda_1\vektor{-5 \\ 6 \\ -3} =\vektor{0 \\ 0 \\ 3}+\lambda_2\vektor{-5 \\ 3 \\ 0} [/mm]
<==> [mm] \lambda_1\vektor{-5 \\ 6 \\ -3}-\lambda_2\vektor{-5 \\ 3 \\ 0} =\vektor{0 \\ 0 \\ 3}- \vektor{0 \\ 1,5 \\ 4,5}
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo Angela ,
> Du hast doch [mm]\vektor{0 \\ 1,5 \\ 4,5}+\lambda_1\vektor{-5 \\ 6 \\ -3} =\vektor{0 \\ 0 \\ 3}+\lambda_2\vektor{-5 \\ 3 \\ 0}[/mm]
>
> <==> [mm]\lambda_1\vektor{-5 \\ 6 \\ -3}-\lambda_2\vektor{-5 \\ 3 \\ 0} =\vektor{0 \\ 0 \\ 3}- \vektor{0 \\ 1,5 \\ 4,5}[/mm]
Ja, das gleiche habe ich auch auf dem Blatt stehen. Ich verstehe nicht, wo da jetzt der Fehler liegt.
Kann sein, dass ich deine rotmarkierte drei nicht mitgepostet habe, ich habe (im Heft) allerdings mit ihr gerechnet...
LG
Sarah
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> Hallo Angela ,
>
> > Du hast doch [mm]\vektor{0 \\ 1,5 \\ 4,5}+\lambda_1\vektor{-5 \\ 6 \\ -3} =\vektor{0 \\ 0 \\ 3}+\lambda_2\vektor{-5 \\ 3 \\ 0}[/mm]
> >
> > <==> [mm]\lambda_1\vektor{-5 \\ 6 \\ -3}-\lambda_2\vektor{-5 \\ 3 \\ 0} =\vektor{0 \\ 0 \\ 3}- \vektor{0 \\ 1,5 \\ 4,5}[/mm]
>
> Ja, das gleiche habe ich auch auf dem Blatt stehen. Ich
> verstehe nicht, wo da jetzt der Fehler liegt.
>
> Kann sein, dass ich deine rotmarkierte drei nicht
> mitgepostet habe, ich habe (im Heft) allerdings mit ihr
> gerechnet...
Hallo,
die rotmarkierte drei ist doch falsch! Schau Dir den zweiten Richtungsvektor an: die dritte Komponente ist 0.
Auf der rechten Seite solltest Du die Vorzeichen prüfen.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | | b) Bestimmen Sie für die Ebene E eine Parameter- und Koordinatengleichung |
Hallo Zusammen ,
> Um den weiteren Verlauf der Aufgabe ins Visier zu nehmen:
> diesen Schnittpunkt von g und h kannst Du dann als
> Stütz/Ortsvektor der Ebene nehmen, und wenn Du an diesen
> die beiden Richtungsvektoren inkl. Parameter "heftest"
> (addieren), dann hast Du eine Gleichung der Ebene, in
> welcher die beiden sich schneidenden Geraden liegen,
> gefunden.
[mm] E:\vec{x}=\vektor{-2,5 \\ 1,5 \\ 3}+\lambda\vektor{-5 \\
1,5 \\ 3}+\mu\vektor{-5 \\ 3 \\ 3}
[/mm]
Ich habe von den OV einmal mit 0,5*
[mm] \vektor{-5 \\ 6 \\ -3} [/mm] und einmal mit [mm] 0,5*\vektor{-5 \\ 3 \\ o} [/mm] multipliziert. War es das, was du gemeint hast?
Und wie berechne ich einen Sprungpunkt? Ich weiß, dass ein Sprungpunkt der Schnittpunkt mit den einzelnen Achsen ist, aber wie dieser berechnet wird ist mir völlig fremd.
Liebe Grüße und Danke für deine erneute Antwort,
Sarah
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 Sa 31.05.2008 | | Autor: | aram |
> b) Bestimmen Sie für die Ebene E eine Parameter- und
> Koordinatengleichung
> Hallo Zusammen ,
>
Hallo Sarah!
> > Um den weiteren Verlauf der Aufgabe ins Visier zu nehmen:
> > diesen Schnittpunkt von g und h kannst Du dann als
> > Stütz/Ortsvektor der Ebene nehmen, und wenn Du an diesen
> > die beiden Richtungsvektoren inkl. Parameter "heftest"
> > (addieren), dann hast Du eine Gleichung der Ebene, in
> > welcher die beiden sich schneidenden Geraden liegen,
> > gefunden.
>
>
> [mm]E:\vec{x}=\vektor{-2,5 \\ 1,5 \\ 3}+\lambda\vektor{-5 \\
1,5 \\ 3}+\mu\vektor{-5 \\ 3 \\ 3}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Deine Geradengleichung stimmt leider nicht.
Als OV hast du, wie Angela das schon gesagt hatte, den Schnittpunkt deiner beiden Geraden genommen. Gut so!
Was nicht stimmt, sind deine Richtungsvektoren. Dazu solltest du einfach die beiden Richtungsvektoren deiner Geraden nehmen, welche wären [mm] \lambda\vektor{-5 \\
6 \\ -3} [/mm] und [mm] \mu\vektor{-5 \\ 3 \\ 0}
[/mm]
>
> Ich habe von den OV einmal mit 0,5*
> [mm]\vektor{-5 \\ 6 \\ -3}[/mm] und einmal mit [mm]0,5*\vektor{-5 \\ 3 \\ o}[/mm]
> multipliziert. War es das, was du gemeint hast?
Hier kann ich leider nicht nachvollziehen was du gerechnet hast.![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
>
>
> Und wie berechne ich einen Sprungpunkt?
Ich kenne zwar den Begriff Sprungpunkt nicht, gehe aber davon aus, dass es das ist was du meinst.
> Ich weiß, dass ein
> Sprungpunkt der Schnittpunkt mit den einzelnen Achsen ist,
> aber wie dieser berechnet wird ist mir völlig fremd.
Da du hier sowieso die Koordinatengleichung aufstellen musst, sage ich dir meinen Lieblingsweg um die Schnittpunkte mit den KO-achsen berechnet.
Für eine Ebenengleichung in der Form E: ax+by+cz=d gilt:
Sx [mm] (\bruch{d}{a} [/mm] / 0/ 0)
Sy (0/ [mm] \bruch{d}{b}/ [/mm] 0)
Sz (0/ 0/ [mm] \bruch{d}{c})
[/mm]
>
>
> Liebe Grüße und Danke für deine erneute Antwort,
>
> Sarah
Mfg Aram
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| Aufgabe | d)Berechnen Sie die Größe des Winkels
(1) zwischen den Geraden g und h
(2) zwischen g und der [mm] x_{1}-Achse [/mm] |
Hallo aram ,
Vielen Dank für deine Erklärungen, ich denke, ich habe die richtigen Sprungpunkte raus bekommen?!
[mm] Sx_{1}: [/mm] (5 / 0 / 0)
[mm] Sx_{2}: [/mm] (0 / 3 / 0)
[mm] Sx_{3}: [/mm] (0 / 0 / 3)
Zur d):
Kann ich für (1) einfach folgendes rechnen:
[mm] \wurzel{(-2,5)^{2}+1,5^{2}+3^{2}}? [/mm] Ich habe da einfach den Schnittpunktvon g und h genommen... Oder muss ich hier anders vorgehen?
Bei (2) würde ich so vorgehen:
[mm] \overrightarrow{gx_{1}}=\vec{x_{1}}-\vec{g}
[/mm]
Stimmt das?
Liebe Grüße,
Sarah
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Sa 31.05.2008 | | Autor: | aram |
Hallo Sarah!
> Hallo Aram ,
>
> Sorry, aber ich komme mit dieser Winkelberechnung nicht
> klar...
>
>
> Ich habe bei der (1) jetzt folgendes gerechnet:
>
> [mm]sin(\alpha)=\bruch{|\vektor{-5 \\ 3 \\ 0}*\vektor{-5 \\ 6 \\ -3}|}{\vektor{-5 \\ 3 \\ 0}*\vektor{-5 \\ 6 \\ -3}}[/mm]
Ach neee, dann kanst du ja gleich alles weg kürzen.
Also, überm Bruchstrich ist das Skalarprodukt gefragt: |((-5)*(-5) + 3*6 + 0*(-3))| = ...
Unten, hatte ich ja geschrieben, sind die Beträge gefragt, also: [mm] \wurzel{(-5)^2+3^2+0^2} [/mm] * [mm] \wurzel{(-5)^2+6^2+(-3)^2}
[/mm]
>
> So, und was mache ich dann?
Das Ergebniss nach [mm] \alpha [/mm] auflösen!
>
>
> > > [mm]Sx_{1}:[/mm] (5 / 0 / 0)
> > > [mm]Sx_{2}:[/mm] (0 / 3 / 0)
> > > [mm]Sx_{3}:[/mm] (0 / 0 / 3)
> > Die hab ich auch! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Danke für die Kontrolle
>
>
> > > Bei (2) würde ich so vorgehen:
> > Hier gilt das gleiche wie oben, bloß deine zweite
> Gerade
> > ist jetzt die x-achse.
> > Eine Geradengleichung für die x-achse kannst du sicherlich
> > aufstellen. 
>
> Ähmmm...
>
> Ich würde jetzt [mm]g:\vec{x}=\vektor{? \\ ? \\ ?}+\lambda\vektor{5 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Gut, aber ich würde [mm] \lambda\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] nehmen. Mit kleineren Zahlen rechnet es sich einfacher.
>
> Wie bekomme ich dann den OV raus?
Als OV ist jeder Punkt geiegnet, der auf der x-achse liegt. Es bietet sich an (0/0/0) zu nehmen.
>
>
> LG und vielen Dank,
>
> Sarah
Mfg Aram
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Hallo Aram ,
Ich hoffe, dass das hier jetzt die letzte Frage für heute ist.
(1)
[mm] sin(\alpha)=\bruch{|15+18+0|}{\wurzel{(-5)^{2}+3^{2}+0^{2}}*\wurzel{(-5)^{2}+6^{2}+(-3)^{2}}} [/mm]
[mm] =\bruch{|48|}{\wurzel{34}*\wurzel{70}} [/mm] = [mm] \bruch{|48|}{\wurzel{32380}} [/mm]
= 0,98 => 78,52°
(2)
[mm] sin(\alpha)=\bruch{|\vektor{-5\\3 \\0}*\vektor{5\\0 \\0}|}{\vektor{-5\\3 \\0}*\vektor{5\\0 \\0}}
[/mm]
= [mm] \bruch{|25|}{\wurzel{(-25)^{2}}} [/mm] =-1
=> -90°
Stimmen die Ergebnisse?
Wie kann bei 2 ein negativer Winkel raus kommen?
LG
Sarah
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 So 01.06.2008 | | Autor: | aram |
hallo Sarah!
Ich glaube es ist schon spät, den du hast Fehler drine, die nur der Zeit in die Schue schieben möchte.
> Hallo Aram ,
>
> Ich hoffe, dass das hier jetzt die letzte Frage für heute
> ist.
>
> (1)
>
> [mm]sin(\alpha)=\bruch{| 15 +18+0|}{\wurzel{(-5)^{2}+3^{2}+0^{2}}*\wurzel{(-5)^{2}+6^{2}+(-3)^{2}}}[/mm]
Oben muss hin 25+18+0 ( (-5)*(-5)=25 ), aber du hast glabe ich mit 25 wietergerechet.
>
> [mm]=\bruch{|48|}{\wurzel{34}*\wurzel{70}}[/mm] =
25+18=43, nicht 48
> [mm]\bruch{|48|}{\wurzel{32380}}[/mm]
richtig: [mm] \bruch{|43|}{\wurzel{2380}} [/mm]
unten ist die eine 3 zu viel, ich sag doch es ist spät *gähn*
>
> = 0,98 => 78,52° konnte auch nicht anders sein
Ach ja, noch ein kleiner Tipp: nicht zu sehr runden.
Du solltest auf = 0,88... => 61,81° kommen.
>
>
> (2)
>
>
> [mm]sin(\alpha)=\bruch{|\vektor{-5\\3 \\0}*\vektor{5\\0 \\0}|}{\vektor{-5\\3 \\0}*\vektor{5\\0 \\0}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{|25|}{\wurzel{(-25)^{2}}}[/mm] =-1
Oben richtig, unten kommt was anderes raus, schau noch mal nach.
Und [mm] \bruch{|25|}{\wurzel{(-25)^{2}}} \not= [/mm] -1 denn [mm] \wurzel{(-25)^{2}} [/mm] = 25
>
> => -90°
>
> Stimmen die Ergebnisse?
>
> Wie kann bei 2 ein negativer Winkel raus kommen?
>
>
> LG
>
> Sarah
Mfg Aram
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 So 01.06.2008 | | Autor: | aram |
> Hallo Aram ,
>
> Stimmt, ist schon verdammt spät...
>
> Die letzte Frage:
Falls du noch Fragen hast, ich schlafe noch nicht. Du solltest aber beim Rechnen mehr aufpassen. Flüchtigkeitsfehlr sind auch Fehler und das habe oft genug erfahren müssen
>
> > > = [mm]\bruch{|25|}{\wurzel{(-25)^{2}}}[/mm] =-1
> > Oben richtig, unten kommt was anderes raus, schau noch
> mal
> > nach.
>
> Heißt das, dass wenn ich den Betragsetze, keine negative
> Zahl im Betrag stehen kann? Eigentlich müsste da ja |-25|
> stehen, da -5*5=-25 ergibt.
Für einen Betrag gilt: |25|=25 |-25|=25
Mit dem Betrag berechnet man ja eigentlich eine Länge und eine negative Länge gibt es nicht (Gott sei Dank, stell dir mal vor jemand wäre -1,65m groß: ein Alptraum ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") )
>
>
> Liebe Grüße und vielen, vielen Dank für deine Hilfe,
>
> Sarah
Mfg Aram
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:24 So 01.06.2008 | | Autor: | espritgirl |
Hallo Aram ,
> Falls du noch Fragen hast, ich schlafe noch nicht. Du
> solltest aber beim Rechnen mehr aufpassen.
> Flüchtigkeitsfehlr sind auch Fehler und das habe oft genug
> erfahren müssen
Nee, definitiv nicht heute Abend. Heute habe ich 8. Stunden Hausaufgaben gemacht. Gehe jetzt echt pennen...
Aber merci beaucoup für das Angebot *gg*
> Für einen Betrag gilt: |25|=25 |-25|=25
Ja, jetzt, wo man das so schwarz auf weiß ließt, ist das vollkommen klar.
> (Gott sei Dank, stell dir
> mal vor jemand wäre -1,65m groß: ein Alptraum )
Dann wären andere kleiner als ich - das möchte ich sehen Ich mit meinen 1,65 oder so...
Liebe Grüße und noch mal vielen Dank,
Sarah
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Hallo aram ,
> E: ax+by+cz=d gilt:
> Sx [mm](\bruch{d}{a}[/mm] / 0/ 0)
> Sy (0/ [mm]\bruch{d}{b}/[/mm] 0)
> Sz (0/ 0/ [mm]\bruch{d}{c})[/mm]
Wie begründet man diese Formeln? Also wieso muss ich beispielsweise d durch a dividieren - als erste Koordinate, um [mm] Sx_{1} [/mm] zu erhalten?
Da gibt es doch garantiert Begründungen zu den Formeln, oder?
Liebe Grüße,
Sarah
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