Gerade in komplexer Ebene < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Aufgabe:
Zeigen Sie, dass für jedes c E C/(0) und jedes a E R
(z E C| Re(cz) = a)
eine Gerade in der Ebene ist. Zeigen Sie umgekehrt, dass sich jede Gerade so schreiben lässt. C=Komplexe Zahlen, R= Reelle Zahlen |
Ich habe Schwierigkeiten, den Ausdruck "Re(cz) = a" zu verstehen. Mir ist klar, dass c und z komplexe Zahlen sind und das der realteil dieser Zahlen eine reelle Zahl sein muss(also das a?). Aber wieso c*z? Und wie kann man einer einer reellen Zahl eine gerade darstellen? Nützen mir da die Umschreibungen: z=a+b*i was? Hat mir jemand einen Tipp, wie ich diese Aufgabe angehen könnte?!
Vielen Dank schonmal :) !!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 Sa 06.12.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
setze c und z in der Form c=Re(c)+i Im(c) bzw. z=Re(z)+i Im(z) an.
Dabei ist c fest gewählt (aber ungleich 0). Dann kannst du den Realteil von cz berechnen. Die Gleichung Re(cz)=a stellt eine Bedingung dar, die Re(z) und Im(z) erfüllen müssen. Wenn du diese Gleichung z.B. nach Im(z) auflöst, siehst du, dass sie eine Gerade im [mm] \IR^2 [/mm] beschreibt.
|
|
|
| |
|
Hallo Mathe-Alfi, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Inhaltlich hast Du von zahllos schon eine erste Hilfestellung bekommen, ich warte erstmal Deine Reaktion ab, ehe ich einen anderen Tipp gebe.
Wenn Du dieses Forum auf Dauer nutzen willst, solltest Du Dich mit dem Formeleditor beschäftigen. Er ist ist sehr leistungsstark. Meistens hat nämlich niemand Lust, erst aus einer krausen Schreibweise die eigentliche Aufgabe herauszufiltern.
Deine Aufgabe hätte sich auch so lesen können:
Zeigen Sie, dass für jedes [mm] c\in\IC [/mm] \ {0} und jedes [mm] a\in\IR (z\in\IC [/mm] | [mm] \a{}Re(c*z)=a)
[/mm]
eine Gerade in der Ebene ist. Zeigen Sie umgekehrt, dass sich jede Gerade so schreiben lässt.
[mm] [\IC= [/mm] Komplexe Zahlen, [mm] \IR= [/mm] Reelle Zahlen] - das hätten die meisten wohl ohne Erläuterung gewusst, denke ich.
|
|
|
| |
|
Also erstmal vielen Dank für den tollen Tipp! Ich hoffe, ich habe ihn jetzt auch richtig umgesetzt:
Re(c*z)=(c-i*Im(c))*(z-i*Im(z))
Also folgt daraus:
a=(c-i*Im(c))*(z-i*Im(z))
nach Im(z) aufgelöst: Im(z)=a/(-c*i+i²*Im(c)) +z/i mit c [mm] \not= [/mm] 0
Das sind jetzt alle meine Geraden der Form mx+c für die imaginären Zahlen z.
Wenn das bis jetzt ok war, kann ich das jetzt einfach als richtig werten, oder muss ich noch beweisen, dass es sich dabei wirklich um Geraden handelt?!
Der umgekehrte Weg(also dass sich jede Gerade so schreiben lässt) ist dann analog, nur halt rückwärts, oder?!
Vielen Dank für eure Hilfe!
Ps: Und ich benutze jetzt den Formeleditor ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 So 07.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da ist was schiefgegangen:
ich find es einfacher mit z=x+iy und c=c1*ic2 zu arbeiten.
Aber du hast ja garnicht Re(cz) 0a hingeschrieben, sondern einfach cz=a nach y aufgelöst.
machs nochmal, bilde Re((x+iy)*c1+ic2)) erst ausmult. dann realteil hinschreiben, dann =a setzen. Dann solltest du auf die "normale Form einer Geradengleichung kommen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Vielen Dank! :)
Mein Problem dabei ist nur: Wie kann ich das als Realteil dann ausschreiben:
Re(x*c+y(c1*i-c2))=?
?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 So 07.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Klammern ausmultiplizieren.
2. wissen dass der Realteil der Teil ist, der kein i enthält.
also alle Summanden ohne i zusammenfassen das ist der Realteil.
Wenn dir das nicht klar ist, solltest du dir wirklich deutlich klar machen, was das Re(z) und Im(z) bedeutet.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Also:
Re(x*c+y*c1*i-y*c2)=x*c-y*c2
x*c-y*c2=a
y=(c/c2)*x-(a/c2)
mit -(a/c2) als y-Achsenabschnitt und (c/c2) als Steigung
So richtig?...:)?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 So 07.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst dich für c oder c1 entscheiden, ich nehm mal an, das ist nur ein Tipfehler.
Im übrigen ist es jetz richtig:
x*c1-y*c2=a ist eine gerade, und jede Gerade kann man so darstellen. Ob du das in Schulform y=mx+n bringen willst ist Geschmacksache.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 So 07.12.2008 | | Autor: | Mathe-Alfi |
Aahhh :))))
Ok, vielen vielen Dank, dass du dich solange mit mir rumgeschlagen hast ;) Jetzt hab ich es begriffen!
Schönen Sonntag!
|
|
|
| |
|
Ganz vergessen:
wie kann ich jetzt noch zeigen, dass sich wirklich jede Gerade in dieser Form (x*c1-y*c2=a) schreiben lässt. Ich kann das ja nicht so stehen lassen oder?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 So 07.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Doch! jede Gerade wird gegeben durch eine Gleichung ax+by=c
oder a1x+b1y=1. denn a1,b1 werden durch einsetzen von 2 pkt. eindeutig bestimmt und ne gerade ist durch 2 pkte bestimmt.
Aber es schad auch nichts, wie du es gewohnt bist nach y0mx+n aufzulösen und zu sagen durch m und n ist jede Gerade bestimmt, (ausser x=konst.) (für c=1)
Gruss leduart
|
|
|
|
