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| Aufgabe | [mm] g:\vec{x}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+r\cdot{}\vektor{0 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
[mm] h:\vec{x}=\vektor{2 \\ 4 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{-2 \\ 0 \\ 1} [/mm]
a) Die Ebene E verläuft parallel zu h und enthält die Gerade g. Welchen Abstand hat der Punkt P (4|6|5) von dieser Ebene.
b) Untersuchen sie, ob es eine Gerade k gibt, die durch den Punkt Q(6|2|8) geht und die Geraden g und h schneidet.
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Bei Aufgabe a) weiß ich nicht, wie ich die Ebenengleichung aufstellen soll. Damit h parallel zu E verläuft muss doch das Skalarprodukt des Normalenvektors der Ebene mit dem Richtungsvektor der Geraden Null ergeben.
Aber wie komme ich an einen Normalenvektor?
Danke!!!
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Hallo :)
Also du kannst ja von deiner Geraden g den Stützvektor beibehalten und dann brauchst du noch zwei Richtungsvektoren. Einen nimmst du von g und da h parallel ist zu E, kannst du diesen Richtungsvektor auch nehmen. So bekommst du die Parameterform der Ebene und kannst den Abstand berechnen. Tipp:Abstand lässt sich durch Hessesche Normalenform der Ebene ausführen
lg Mathe-Alfi
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Der Abstand beträgt 8 Längeneinheiten, ist das richtig?
Ich hab die Ebenengleichung aufgestellt, in die HNF umgeformt und den Punkt P eingesetzt.
Bei Aufgabe b) kann ich doch Q als Stützvektor der Geraden nehmen, aber wie mache ich dann weiter?
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Hallo,
also der Abstand stimmt! :)
Bei b) kannst du Q als Stützvektor nehmen. Da k die Geraden g ung h schneiden soll, kannst du das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren bilden und dann schauen, ob k diese beiden geraden schneidet.
lg
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Das Kreuzprodukt ergibt : [mm] \vektor{-1 \\ -2 \\ -2}
[/mm]
Aber wie soll ich denn weitermachen?
Ist dann das Kreuzprodukt der Richtungsvektor von k??
Wenn ja wie muss ich dann weitermachen? Ich mein soll ich dass dann einmal mit der gerade g und einmal mit der gerade h gleichsetzen, um zu gucken, ob sie sich schneiden??
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Also zuerst musst du prüfen, ob dein Punkt Q überhaupt in der Ebene liegt, in der g und h liegen (also Ebene aufstellen in der beide geraden liegen).
Wenn Q in der Ebene liegt, dann ist dein Kreuzprodukt(-1,-2,-2) der Richtungsvektor und Q der Stützvektor und k müsste beide schneiden.
Wenn Q aber nicht in der Ebene liegen sollte, dann kann k nur eine der Geraden schneiden(wenn du es dir nicht so ganz vorstellen kannst, mach eine Skizze die hilft mir immer! ;)).
Also muss Q in der Ebene liegen, sonst kann k nicht beide Geraden schneiden.
Lg
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Meine Ebenengleichung, die beide Geraden enthält lautet:
[mm] \vec{x}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+r\cdot{}\vektor{0 \\ -1 \\ 1}+s\cdot{}\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Ich habe den Punkt Q eingesetzt und er liegt nicht in der Ebene. Also heißt dass, das die gerade k, die Q enthält, g und h nicht schneidet?
Ich kann zwar die einzelnen schritte ausführen, aber ich verstehe noch nicht wirklich wieso...
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Hallo,
genau! K kann die Geraden nicht beide schneiden, da Q nicht in der Ebene liegt. K könnte aber eine der beiden Geraden schneiden, indem du z.B den jeweiligen Stützpunkt von g oder h in k als Richtungsvektor einsetzt.
Alles ok?Oder noch was unklar?
lg
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