Gerade und Kreis im Raum < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 So 17.10.2004 | | Autor: | Chrossie |
Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe, mit der ich nicht so richtig klar komme...
zunächst ist eine Gleichung
[mm] \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + t* [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ a \end{pmatrix} [/mm] mit t [mm] \in \IR [/mm] und a [mm] \in \IR
[/mm]
die aufgabe: In der [mm] x_1-x_2-ebene [/mm] befindet sich ein Kreis [mm] K_1 [/mm] in Ursprungslage mit dem Radius [mm] \wurzel{2}. D_a [/mm] sei der Durchstoßpunkt der Geraden [mm] g_a [/mm] mit der [mm] x_1-x_2-ebene. [/mm] Ermitteln Sie alle Werte des Parameters a, für die [mm] D_a [/mm] auf [mm] K_1 [/mm] liegt und geben Sie die Koordinaten dieser Punkte [mm] D_a [/mm] an!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So...also müsste ja die Kreisgleichung für [mm] K_1 [/mm] lauten: [mm] x^2+y^2 [/mm] = 2
und mit [mm] x_1-x_2-ebene [/mm] ist bestimmt die x-y-ebene gemeint??
Aber da hört es dann schon auf :-(
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Hallo Crossie!
Ein Kreis im Raum hat 2 Gleichungen: eine Kugelgleichung, und eine Ebenengleichung für die Ebene in der sich der Kreis befindet. In unserem Fall:
[mm]x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2, \qquad x_{3}=0[/mm]
Auf diesem Kreis soll sich der Schnittpunkt der Gerade mit der [mm]x_{1}x_{2}[/mm] Ebene (mit der Gleichung [mm]x_{3}=0[/mm]) befinden.
[mm]2+ta=0\qquad t=-\bruch{2}{a}[/mm].
Wenn wir diesen Wert für t in die Geradengleichung einsetzen, erhalten wir die Koordinaten des Punktes [mm]D_{a}[/mm].
[mm]
\left(
\begin{matrix}
0 \\ 0 \\ 2
\end{matrix}
\right)
-\bruch{2}{a} \cdot
\left(
\begin{matrix}
1 \\ 1 \\ a
\end{matrix}
\right)
=
\left(
\begin{matrix}
-\bruch{2}{a} \\ -\bruch{2}{a} \\ 0
\end{matrix}
\right)
[/mm]
[mm]D_{a}\left(-\bruch{2}{a}\left| -\bruch{2}{a}\right| 0 \right)[/mm]
Wenn wir dies in die Kreisgleichung einsetzen, erhalten wir eine Gleichung für den Parameter a:
[mm]\bruch{4}{a^{2}}+\bruch{4}{a^{2}}=2[/mm]
Die Lösungen sind:
[mm]a\in \{-2;2 \}[/mm]
Alles klar? Wenn nicht, frage ruhig weiter!
Schöne Grüße, 
Ladis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 So 17.10.2004 | | Autor: | Chrossie |
Danke erstmal für die schnelle Hilfe! Hab auch alles verstanden! :)
Hab noch eine kleine Frage...
Wären die Koordinaten der Punkte [mm] D_a [/mm] Folgende?
[mm] D_2 [/mm] (-1/-1/0)
D_-2 (1/1/0)
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> Hab noch eine kleine Frage...
>
> Wären die Koordinaten der Punkte [mm]D_a[/mm] Folgende?
>
> [mm]D_2[/mm] (-1/-1/0)
> D_-2 (1/1/0)
>
Ja, genau.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 So 17.10.2004 | | Autor: | Chrossie |
Die Aufgabe 2 lautet:
Bestimmen Sie die Gleichung des Kreises [mm] K_2 [/mm] mit Mttelpunkt M( 4/ [mm] \wurzel{2}), [/mm] der in der [mm] x_1-x_2-Ebene [/mm] liegt und [mm] K_1 [/mm] rechtwinklig schneidet!
Das rechtwinklig macht mich stutzig, da ich nicht weiß, wie sich zwei Kreise rechtwinklig schneiden können.
Die Gleichung vom [mm] K_1 [/mm] ist [mm] x_1^2 [/mm] + [mm] x_2^2 [/mm] =2
und vom [mm] K_2: (x_1-4)^2 [/mm] + [mm] (x_2-2)^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
aber weiter??? Hab null Plan!
Hoffe mir kann jemand helfen *liebguck*
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Ich habe dieses Thhemea lange nicht mehr gehabt und kann die jetzt auch keine Lösung ganz anbieten hoffe aber das ich dir weiterhelfen kann.
1. Zwei kreise können sich im rechten Winkel schneiden allerdings nur im 3 Dimensionalen Raum (siehe Bild):
[Dateianhang nicht öffentlich]
2. Was mich allerdings stört, ist das in beiden Kreis funtionen [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] vorhanden ist. Mir fehle in mindestens einer ein [mm] x_{3}. [/mm] Wenn de eine Kreis in der [mm] x_{1}- x_{2}- [/mm] Ebene liegt muss der andere ja noch eine [mm] x_{3} [/mm] Koordinate haben um senkrecht auf dem anderen zu stehen.
Ich hoffe ich konnte dir etwas helfen.
Mfg
renguard
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: bmp) [nicht öffentlich]
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Mir ist gerade noch was eingefallen: Siehe dir die Zeichnung an:
die Tangenten an zwei Punkten der Kreise stehen in einem rechten Winkel zu einander.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Tut mir leid wenn ich dir wirklich im Moment nicht weiter als das helfen kann, aber ich habe selbst momentan einiges zu lösen.
Mfg
renguard
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: bmp) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 So 17.10.2004 | | Autor: | Chrossie |
Ich werd mal sehen, was ich draus machen kann...
dankefein!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Di 26.10.2004 | | Autor: | Chrossie |
Die Gerade t mit der Gleichung [mm] x_2=mx_1+2 [/mm] mit m [mm] \in \IR [/mm] liegt ebenfalls in der [mm] x_1-x_2-Ebene.
[/mm]
Ermitteln Sie alle Werte des Parameters m, für die t Tangente an den Kreis [mm] K_1 [/mm] ist! ( [mm] K_1: [/mm] M(0/0) r= [mm] \wurzel{2} [/mm] )
....ich hab mal wieder keine ahnung, könnte das nur zeichnerisch lösen :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Di 26.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Chrossie
ich empfehle folgendes Vorgehen:
studiere in deinen Unterlagen die Sache mit der Hesseschen Normalform einer Geradengleichung.
Danach versuchst das an dieser Aufgabe anzuwenden.
Deine Ueberlegungen, Versuche und Resultate postest du dann hier, damit wir das überprüfen können.
Auch empfiehlt es sich dringendst, unsere Forenregeln einmal zu Gemüte zu führen.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Do 28.10.2004 | | Autor: | Chrossie |
Also ich habe bis jetzt nur die hessische Normalform bei Ebenen. Hab mir zwar im Tafelwerk die Formel für die HN bei geraden angeguckt, kann damit aber nicht wirklich was anfangen. Gibt es nicht vielleicht noch einen anderen Lösungsanatz?
C
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:31 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Chrossie
> Also ich habe bis jetzt nur die hessische Normalform bei
> Ebenen. Hab mir zwar im Tafelwerk die Formel für die HN bei
> geraden angeguckt, kann damit aber nicht wirklich was
> anfangen. Gibt es nicht vielleicht noch einen anderen
> Lösungsanatz?
Ja klar, es gibt noch tausend andere Möglichkeiten, aber die Anwendung der Hesseschen Normalform scheint mir am einfachsten zu sein.
Da du ja die Hessesche Normalform für Ebenen kennst, bereitet dir das für die Geraden ja bestimmt keine Schwierigkeiten, da ja die genau gleiche Theorie dahinter steckt.
Die Geradengleichung lautet ja:
[mm] $mx_{1}-x_{2}-2=0$
[/mm]
Das musst du nur noch normieren (genau gleich wie bei den Ebenen):
[mm] $\bruch{m}{\wurzel{m^{2}+1}}x_{1}-\bruch{1}{\wurzel{m^{2}+1}}x_{2}-\bruch{2}{\wurzel{m^{2}+1}}=0$
[/mm]
Diese Gleichung wird von allen Punkten der Geraden erfüllt.
Und jetzt der Trick: wenn du die Null rechts wegnimmst, und nur noch den linken Teil betrachtest:
[mm] $\bruch{m}{\wurzel{m^{2}+1}}x_{1}-\bruch{1}{\wurzel{m^{2}+1}}x_{2}-\bruch{2}{\wurzel{m^{2}+1}}$
[/mm]
dann kannst du die Koordinaten irgend eines Punktes einsetzen und erhältst als Resultat gerade den Abstand des eingesetzten Punktes von der Geraden, je nach der Seite des Punktes kann das aber positiv oder negativ werden!.
Wenn die Gerade Tangente eines Kreises ist, muss man also nur den Mittelpunkt des Kreises einsetzen, und man erhält den Kreisradius.
Bei uns sind aber der Mittelpunkt und der Radius gegeben. Setzen wir den Mittelpunkt (0,0) ein, so erhalten wir ganz einfach:
[mm] $-\bruch{2}{\wurzel{m^{2}+1}}$
[/mm]
Das nehmen wir aber positiv:
[mm] $\bruch{2}{\wurzel{m^{2}+1}}$
[/mm]
So, und das muss der Kreisradius sein, also [mm] $\wurzel{2}$
[/mm]
Somit ist nur die folgende Gleichung zu lösen:
[mm] $\bruch{2}{\wurzel{m^{2}+1}}=\wurzel{2}$
[/mm]
Ich hoffe, das schaffst du noch, nach m aufzulösen.
Mit lieben Grüssen
Paul
P.S. repetiere bitte die Sache mit der Hesseschen Normalform, am Besten in Vektorschreibweise, damit es auf einen Schlag für Geraden und für Ebenen erledigt wird.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Do 28.10.2004 | | Autor: | Chrossie |
Innerhalb der Kreisfläche K: [ [mm] \vec{x}- \vektor{4 \\ \wurzel{2}}] \le [/mm] 16 liegt der Punkt P (2/ [mm] -\wurzel{2}). [/mm] Welche Sehne durch P wird in P halbiert? Geben Sie die Gleichung der Sehne an!
Diese Aufgaben sind echt der Hammer... ich hab sowas noch nie gesehen, geschweige denn gemacht! Ich hoffe ihr könnt mir irendwie helfen... ich ergreife jeden Strohhalm, den ihr mir bietet!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:32 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Chrissie
> Innerhalb der Kreisfläche K: [ [mm]\vec{x}- \vektor{4 \\ \wurzel{2}}] \le[/mm]
> 16 liegt der Punkt P (2/ [mm]-\wurzel{2}).[/mm] Welche Sehne durch P
> wird in P halbiert? Geben Sie die Gleichung der Sehne an!
>
> Diese Aufgaben sind echt der Hammer... ich hab sowas noch
> nie gesehen, geschweige denn gemacht! Ich hoffe ihr könnt
> mir irendwie helfen... ich ergreife jeden Strohhalm, den
> ihr mir bietet!!
>
Hast du schon eine Skizze der Situation angefertigt?
Vermutlich nicht, denn deine Hauptschwierigkeit wird wohl sein, die Kreisgleichung zu interpretieren. Stimmts oder habe ich recht?
Also: das ist die Kreisgleichung in Vektorschreibweise:
$K: [mm] \, \left|\vec{x}-\vektor{4\\ \wurzel{2}}\right| \le [/mm] 16$
Was bedeutet da?
Nun, du hast einen festen Punkt vorgegeben: $(4, [mm] \wurzel{2})$
[/mm]
Bitte alles aufzeichnen!
Dann nimmt man mal irgendeinen Punkt der Ebene, als Vektor geschrieben. Diesen: [mm] $\vec{x}$
[/mm]
Anschliessend bildet man den Verbindungsvektor, vom festen Punk ausgehend bis zu [mm] $\vec{x}$ [/mm] und misst seine Länge (das sind eben die Betragsstriche bei der Kreisdefinition). Wenn jetzt die Länge [mm] $\le [/mm] 16$ ist, dann gehört die die Spitze von [mm] $\vec{x}$ [/mm] zum Kreis, sonst nicht.
Dargestellt ist also eine Kreisscheibe mit Mittelpunkt $(4, [mm] \wurzel{2})$ [/mm] mit Radius 16.
Wenn du nun eine Probesehne in den Kreis zeichnsest und dazu deren Mittelpunkt, dann stellst du fest, dass die Verbindung des Sehnenmittelpunktes mit dem Kreismittelpunkt senkrecht zur Sehne steht.
Dies Erkenntnis kannst du bei deiner Aufgabe ausnutzen: zeichne P ein, verbinde diesen mit dem Kreismittelpunkt und betrachte diese Verbindung als Senkrechte deiner gesuchten Geradengleichung!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 Sa 30.10.2004 | | Autor: | Chrossie |
Hallo Paul,
also ich hab das jetzt alles so eingezeichnet wie du gesagt hattest und auch soweit alles verstanden.
Für die Gleichung der Sehne hab ich jetzt folgene Gleichung:
[mm] \vec{s}= \overrightarrow{OP}+t* \overrightarrow{PM}
[/mm]
[mm] \vec{s}= \vektor{2 \\ - \wurzel{2}}+t* \vektor{2 \\ 2\wurzel{2}}
[/mm]
Danke für deine Hilfe!
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