Gerade und ungerade Funktionen, Symmetrie < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Di 31.08.2004 | | Autor: | LaCaT |
Hey!
Ich hoffe mir kann da jemand helfen!
Ich soll angeben, welche Funktion einen zur y-Achse (zum Ursprung) symmetrischen Grafen hat und dann dazu den Graphen skizzieren.
f(x) = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
f(x) = [mm] \bruch{1}{x^2}
[/mm]
f(x) = [mm] \bruch{1}{x+1}
[/mm]
Das Problem ist, dass unser Lehrer gesagt hat, dass eine Funktion schon mal keine Funktion ist, wenn ein x im nenner steht. Das ist aber bei allen der Fall. Also kann das ja nicht stimmen.
Wäre nett, wenn mir jemand hilft.
Grüße, Laura
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Di 31.08.2004 | | Autor: | Fry |
Hallo Laura !
Das mit der Funktion hast du wohl falsch verstanden, dein Lehrer meinte,dass die Funktion für die Nullstellen des Nenners nicht definiert ist d.h. es gibt für die x-Werte, die den Nenner null werden lassen, keinen Funktionswert, weil einfach der Definition ein Division durch 0 nicht erlaubt ist z.B. ist die Funktion$ f(x) = [mm] \bruch [/mm] {1}{x+1}$ für $x=-1$ nicht definiert,da der Nenner aufgrund von -1+1 null wird. Bei den anderen Funktionen fällt jeweils der x-Wert 0 weg.
Zu deiner Aufgabe:
Eine Funktion ist symmetrisch zum Ursprung,wenn gilt: $-f(x) = f(-x)$ für alle $x [mm] \in D_f$
[/mm]
Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse,sofern die Bedingung $f(x)=-f(x)$ für alle $x [mm] \in D_f$ [/mm] erfüllt ist.
Du musst also mithilfe einer Umformung der Funktion zeigen,dass eine der Gleichungen bzw. keine auf die jeweilige Funktion zu trifft.
$f(x) = [mm] \bruch{1}{x}:$
[/mm]
*********
$f(-x) = [mm] \bruch{1}{-x}=-\bruch{1}{x}= [/mm] -f(x)$
[mm] $\rightarrow$ [/mm] es liegt also Ursprungssymmetrie vor.
Probier es mal bei den anderen selber.
Am besten sollte man erst mal vorher ein paar Funktionswerte berechnen oder den Graph der Funktion zeichnen, um zu überprüfen, ob Symmetrie überhaupt möglich ist,z.B. bei der oberen Funktion
$f(x) = 1/x$
$f(-2) = 1/-2 = -0,5$
$-f(2) = - (1/2) = -0,5$
$f(3) = ...$
$-f(3) = ....$
Viele Grüße
Fry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Di 31.08.2004 | | Autor: | LaCaT |
Hi
Okay, das hat mir erstmal soweit geholfen.. aber wie zeichne ich jetzt den Grafen ein? Es ist ja nichts näheres bestimmt. Ist das dann immer der gleiche?
Danke,
Laura
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Di 31.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Laura!
Also den Graphen für [mm] $f(x)=\frac{1}{x}$ [/mm] zeige ich dir gerne:
[Externes Bild http://www.Hanno-Becker.de/hyperbel.jpg].
So, und jetzt überleg' dir mal, was passiert, wenn die Funktionsvorschrift statt [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] nun [mm] $\frac{1}{x^2}$ [/mm] lautet. Das ist ja nichts weiter als [mm] $\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}$.
[/mm]
Für Werte nahe an der Null, so wissen wir, wird [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] sehr groß. Umgekehrt wird der Wert auch sehr klein, wird $x$ größer. Wenn wir nun diese Eigenschaften quasi verdoppeln? Wie müsste die neue Funktion aussehen?
Und nun zu [mm] $f(x)=\frac{1}{x+1}$:
[/mm]
Schauen wir uns nochmals [mm] $f(x)=\frac{1}{x}$ [/mm] an. Wenn wir dort für $x$ den Wert 3 eingesetzt haben, dann bekamen wir [mm] $\frac{1}{x}=\frac{1}{3}$ [/mm] heraus.
Was müssen wir für $x$ einsetzen, damit [mm] $\frac{1}{x+1}=\frac{1}{3}$? [/mm] Zwei! Denn dann ist [mm] $\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$. [/mm] Das heißt anschaulich, dass der Wert für Y, den wir vorher am Punkt 3 hatten, nun auf den Punkt 2 verschoben wurde. Dies kannst du mit jedem Punkt machen. Was heißt das dann für das Schaubild des Graphen?
Gruß,
Hanno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Di 31.08.2004 | | Autor: | Fry |
Hallo Laura !
Weißt du überhaupt richtig, was eine Funktion ist ?
Hier nochmal zum Nacharbeiten:
Eine Funktion ist eine Zuordnung von Zahlen.
Man ordnet im Allgemeinen einem x-Wert genau einen y-Wert zu.
[mm] x\rightarrow [/mm] y z.B. heißt [mm] 2\rightarrow6, [/mm] dass du dem x-Wert 2
(geschrieben x=2) den y-Wert 6 (y=6) zuordnest. Den y-Wert nennt man auch f(x)-Wert (gelesen: f von x). Dann schreibt man auch für die obere Zuordnung f(2)=6 -> heißt der y-Wert für x=2 ist 6.
Meistens gibt es eine konkrete Beziehung zwischen x-Wert und y-Wert
z.B. gibt es eine Funktion, bei der der y-Wert (f(x)-Wert) stets das Doppelte des x-Wertes ist. Statt der Zuordnung [mm] x\rightarrowy [/mm] kann man also konkreter schreiben: [mm] x\rightarrow2*x
[/mm]
Eine andere und meistens gebräuchliche Schreibweise ist
y=2*x bzw. f(x)=2*x, wie oben gesagt,ordnet diese Zuordnung jedem x-Wert das Doppelte des x-Wertes zu.
Will ich also y-Wert für x=4 bestimmen, setze ich 4 für x in die Gleichung ein:
f(x)=2*x
f(4)=2*4 =8
Der entsprechende y-Wert ist somit 8.
Man kann Funktionen auch als Wertetabelle mit (x/y)-Paaren aufschreiben.
x| y
0|2*0=0
1|2*1=2
2|2*2=4
3|2*3=6
4|2*4=8
usw.
Mit einer sogenannten Funktionsgleichung wie f(x)=2*x kannst so viele Wertepaare der Funktion ausrechnen,wie du willst ;).
Diese Wertepaare kannst du also als Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnen und die Punkte dann miteinander verbinden. Je mehr mehr Wertepaare du hast, desto genauer wird dein Graph der Funktion.
Also:
f(x)=1/x -> heißt: der y-Wert zu einem bestimmten x errechnet sich durch den Quotienten aus 1 und dem x-Wert.
x|f(x) bzw.y
1| 1/1 = 1
2| 1/2 = 0,5
3| 1/3 = 0,333...
usw.
Bei dieser Funktion darf nicht x=0 einsetzen, da durch 0 teilen erlaubt ist,siehe erster Beitrag. Die Menge der Zahlen,die du für x einsetzen darfst,heißt DEFINITIONSMENGE oder DEFINITIONSBEREICH,meistens ist dieser [mm] D_f=|R, [/mm] man darf alle reelen Zahlen für x einsetzen. Für die Funktion f(x)=1/x ist [mm] D_f [/mm] = |R \ {0} ("|R ohne 0"). Die Menge der y/f(x)-Werte heißt WERTEMENGE.
Also hier nochmal ne kleine Zusammenfassung
f(x) Funktionswert bzw. y-Wert an der Stelle ("für") x
f(x) = .... oder y= ... z.B. y=3*x Funktionsgleichung
x [mm] \rightarrow [/mm] y bzw. f(x) z.B. x [mm] \rightarrow [/mm] 3*x Zuordnungsvorschrift
[mm] D_f [/mm] Definitionsmenge
[mm] W_f [/mm] Wertemenge
Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der JEDEM x-Wert GENAU EIN f(x) bzw. y-Wert zugewiesen wird.
Gruß
Fry
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