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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Mo 19.06.2006 | | Autor: | jojo1484 |
| Aufgabe | Die gerade g geht durch die Punkte A(2/1/0) und B (3/0/2)
a) die gerade h ist parallel zur Geraden g und geht durch den Punkt D (0/0/4) Geben Sie eine Gleichung der Geraden h an. Erläutern Sie, wie man den Abstand der beiden Geraden g und h berechnen kann.
b) Was versteht man unter ''windschiefen'' Geraden? Wie kann man die gegenseitige Lage zweier Geraden untersuchen? |
zu a: die gerade g ist: x= [mm] \pmat{ 2 \\ 1 \\ 0 } [/mm] + r [mm] \pmat{ 1 \\ -1 \\ 2 }
[/mm]
ist die gerade h dann: x= [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 4 } [/mm] + s [mm] \pmat{ 1 \\ -1 \\ 2 } [/mm] ???
und wie berechne ich den Abstand zwischen den Geraden??
zu c: windschiefe geraden sind geraden im Raum, welche sich nicht berühren, aber dennoch nicht parallel sind!
wie könnte man das anders sagen?
Die gegenseitige Lage zweier Geraden kann man dadurch untersuchen, indem man die Richtungsvektoren auf ihre lineare Abhängigkeit untersucht.
richtig???
wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte!!
danke!
mfg Jojo1484
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Mo 19.06.2006 | | Autor: | giskard |
hallo jojo!
a)
g und h hast du ja schon richtig bestimmt. um den abstand der geraden zu bestimmen, wird meist das lotfusspunkt-verfahren verwendet. dazu gibts verschiedene versionen. die einfachste für mich ist, eine zur gerade g senkrechte ebene zu bilden, die durch den ortsvektor (oder auch aufpunkt) geht. das ist ja in der normalenform ganz einfach. den richtungsvektor als normalenvektor auffassen.
1* [mm] x_{1} [/mm] -1* [mm] x_{2} [/mm] +2* [mm] x_{3} [/mm] =2*1 -1*1 +0*2
[mm] \gdw x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} +2x_{3} [/mm] =1
da musst du nur noch die zweite gerade einsetzen
(0+1*s) -1*(0-1*s) +2*(4+2*s) = 1
nach s auflösen und in dann s in h einsetzen.
da kommt dann ein punkt L raus. der abstand des ortsvektors von g und dem punkt L ist dann auch der abstand zwischen den geraden.
b)
windschiefe geraden, sind geraden, die weder parallel verlaufen, noch sich schneiden.
wenn du nur die beiden richtungsvektoren auf lineare abhängigkeit untersuchst, weisst du nur, ob sie parallel sind oder nicht. ob sie sich aber schneiden, weisst du noch nicht.
am einfachsten auf windschief zu untersuchen ist, wenn man den verbindungsvektor der beiden ortsvektoren bildet, und dann die beiden richtungsvektoren und den verbindungsvektor zusammen auf lineare abhängigkeit untersucht (zb. über die determinante im R³).
hoffentlich hilft dir das weiter!
giskard
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