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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Sara |
Hallo an alle,
ich lerne gerade analytische geometrie und die Lage zweier Geraden.
Ich weiß, dass man die Geraden zunächst auf Parallität prüfen muss. Wenn sie paralell sind muss man gucken ob sie echt parallel sind oder identsch. wenn sie nicht paralell sind muss man schauen ob sie einen schnittpunkt haben oder windschief sind. So viel habe ich verstanden, aber ich habe nicht verstanden, wie man prüfen kann, ob zwei geraden identisch sind.
Kann mir das jemand mal sagen?
Würde mich freuen.
LG
Sara
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Das kommt darauf an, in welcher Darstellungsform Deine Geraden vorliegen.
Ich nehme (angesichts des aktuellen Themas) doch an, dass die Parameterform vorherrscht, also Ortsvektor eines Stütz- oder Aufpunkts plus Parameter mal Richtungsvektor.
Identisch sind zwei so dargestellte Geraden, wenn a) die beiden Richtungsvektoren kollinear sind (also skalare Vielfache) und b) ein beliebiger Punkt einer der beiden Geraden auf der anderen liegt.
Alternativ kannst Du statt a) und b) auch zeigen, dass zwei Punkte einer der beiden Geraden auf der anderen liegen - und damit alle.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Sara |
Zitat:
"ein beliebiger Punkt einer der beiden Geraden auf der anderen liegt."
wie kann ich es testen ob es so ist muss ich dann nur lamda und müh in das gleichungssystem einsetzen und gucken ob das gleichungssystem sich lösen lässt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Dinker |
Hallo Sara
Hast du denn eine Aufgabe? Mathematik lernt man am besten und effektivsten mit Anwänden, mir geht es auf jeden Fall so.
Wenn nicht könnte ich sonst ein Beispiel aufwerfen
Gruss DInker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zitat:
> "ein beliebiger Punkt einer der beiden Geraden auf der
> anderen liegt."
>
> wie kann ich es testen ob es so ist muss ich dann nur lamda
> und müh in das gleichungssystem einsetzen und gucken ob das
> gleichungssystem sich lösen lässt?
wenn Du zwei Geraden der Form
[mm] $$g_1: \vec{x}=\vec{p_1}+\lambda*\vec{q_1}$$
[/mm]
[mm] $$g_2: \vec{x}=\vec{p_2}+\mu*\vec{q_2}$$
[/mm]
gegeben hast und schon siehst, dass [mm] $\vec{q_1}$ [/mm] und [mm] $\vec{q_2}$ [/mm] linear abhängig sind, dann prüf' doch einfach, ob es ein [mm] $\lambda$ [/mm] so gibt, dass [mm] $\vec{p_2}=\vec{p_1}+\lambda*\vec{q_1}$ [/mm] gilt. Falls ja, so sind die Geraden in diesem Falle identisch, falls nein, dann sind sie in diesem Falle echt parallel.
Du kannst also einfach mit einem Stützvektor arbeiten (oben: [mm] $\vec{p_2}$ [/mm] liegt auf [mm] $g_2$ [/mm] (setze einfach [mm] $\mu=0$ [/mm] ein!) und dann kann man prüfen, ob [mm] $\vec{p_2}$ [/mm] auch auf [mm] $g_1$ [/mm] liegt).
Übrigens kannst Du das ganze auch durchaus durch Gleichsetzen der Geraden machen:
Wenn [mm] $\vec{q_1}$ [/mm] und [mm] $\vec{q_2}$ [/mm] linear abhängig sind, dann können die Geraden ja nur noch identisch oder echt parallel sein. Durch das Gleichsetzen erhälst Du ja alle Punkte, die sowohl auf [mm] $g_1$ [/mm] als auch auf [mm] $g_2$ [/mm] liegen (d.h. die Schnittmenge der beiden Geraden). Wenn die Geraden echt parallel sind, sollte da also die Leeremenge herauskommen (d.h. dann sollte man überhaupt keine Werte [mm] $\lambda, \mu$ [/mm] finden können, so dass [mm] $\vec{p_1}+\lambda\vec{q_1}=\vec{p_2}+\mu\vec{q_2}$); [/mm] andernfalls ist die Schnittmenge eine der beiden Geraden (also für jedes [mm] $\lambda$ [/mm] existiert ein [mm] $\mu$ [/mm] mit [mm] $\vec{p_1}+\lambda\vec{q_1}=\vec{p_2}+\mu\vec{q_2}$; [/mm] und umgekehrt: Für jedes [mm] $\mu$ [/mm] existiert ein [mm] $\lambda$...)
[/mm]
Mache Dir ruhig mal Beispiele dazu:
[mm] $$g_1: \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{1\\2\\3}+\lambda*\vektor{1\\1\\2}$$
[/mm]
[mm] $$g_2: \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{5\\2\\3}+\mu*\vektor{7\\7\\14}$$
[/mm]
[mm] $$g_3: \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{3\\4\\7}+\nu*\vektor{-\pi\\-\pi\\-2\pi}$$
[/mm]
In welcher Beziehung stehen diese drei Geraden zueinander?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 So 07.12.2008 | | Autor: | Sara |
Meiner Berechnung zufolge müssten Gerdae 1 und 2 echt paralell sein, da sie zunächst einmal linear abhängig sind voneinander und beim gleichsetzen das gleichungssystem sich nicht lösen lässt.
Ist es korrekt?
LG
Sara
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Und ja, die beiden Geraden sind echt parallel ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 So 07.12.2008 | | Autor: | Regenwurm2 |
echt parallel oder identisch:
Wenn du dir das 'n bisschen einfacher machen möchtest, dann führe doch einfach eine Punktprobe durch, das erspart dir das Gleichsetzen der zwei Geraden.
Dafür kannst du einfach den Stützvektor A von Gerade A nehmen (ist ja der Ortsvektor eines Punktes von der Geraden und gibt dir somit quasi einen Punkt an) und überprüfen ob der Punkt A auf der Geraden B liegt. Setze also einfach die Koordinaten vom Punkt A in die Geradengleichung B ein. Erhälst du dann bei allen drei Gleichungen den gleichen Parameter liegt der Punkt von Gerade A auch auf Gerade B, d.h. die Geraden sind identisch. Hat das Gleichungssystem keine Lösung, liegt der Punkt A nicht auf Gerade B und die Geraden sind somit echt parallel...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:14 So 07.12.2008 | | Autor: | Marcel |
> echt parallel oder identisch:
> Wenn du dir das 'n bisschen einfacher machen möchtest,
> dann führe doch einfach eine Punktprobe durch, das erspart
> dir das Gleichsetzen der zwei Geraden.
> Dafür kannst du einfach den Stützvektor A von Gerade A
Es ist schlecht, eine Gerade und einen Punkt jeweils beide mit A zu bezeichnen!
> nehmen (ist ja der Ortsvektor eines Punktes von der Geraden
> und gibt dir somit quasi einen Punkt an) und überprüfen ob
> der Punkt A auf der Geraden B liegt. Setze also einfach die
> Koordinaten vom Punkt A in die Geradengleichung B ein.
> Erhälst du dann bei allen drei Gleichungen den gleichen
> Parameter liegt der Punkt von Gerade A auch auf Gerade B,
> d.h. die Geraden sind identisch. Hat das Gleichungssystem
> keine Lösung, liegt der Punkt A nicht auf Gerade B und die
> Geraden sind somit echt parallel...
Steht prinzipiell eigentlich auch alles in meinem Beitrag oben...
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