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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Sa 17.11.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte Q(-2|0|0); R(6|-2|6) und die Geraden [mm] $g_a: \vec [/mm] x= [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} a \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm] mit [mm] $\lambda$ [/mm] und a [mm] $\subset$ [/mm] IR gegeben.
1.1 Geben Sie eine Gleichung der Geraden h an, die durch die Punkte Q und R festgelegt ist.
1.2 Wie weit ist der Punkt Q vom Punkt R auf der Geraden h entfernt?
1.3 Zeigen Sie, dass für a=1 die Geraden [mm] $g_1$ [/mm] und h keinen gemeinsamen Punkt haben.
1.4 Bestimmen Sie a so, dass [mm] $g_a$ [/mm] und h sich schneiden und geben Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S an.
1.5 Berechnen Sie den Schnittwinkel [mm] $\varphi$ [/mm] zwischen den Geraden g und h.
1.6 Geben Sie eine Gerade n an, die durch den Schnittpunkt S geht und auf den beiden Geraden g und h senkrecht steht.
1.7 Geben Sie eine zu [mm] $g_1$ [/mm] parallele Gerade [mm] $g_p$ [/mm] an, die durch den Punkt P(1|1|1) geht.
1.8 Berechnen Sie den Abstand der parallelen Geraden. |
Hallo Zusammen,
1.1
$h: [mm] \vec x=\vec R+(\vec Q-\vec [/mm] R)$
$= [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}+[\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}]$
[/mm]
$= [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix} -8 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}$
[/mm]
1.2
[mm] $\vec R-\vec [/mm] Q = [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] |\vec RQ|=\wurzel{8²+(-2)²+6²}=\wurzel{104}=10,19
[/mm]
1.3
[mm] $g_1: \vec x=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
$h: [mm] \vec x=\begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} -8 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}$
[/mm]
Pürfung ob parallel:
[mm] $\vec [/mm] v = k [mm] \cdot{} \vec [/mm] u$
[mm] $\begin{pmatrix} -8 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix} [/mm] = k [mm] \cdot{} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
für k ergeben sich drei unterschiedliche Werte [mm] $k_1=-8$, $k_2=1$ [/mm] und [mm] $k_3=-6$
[/mm]
also [mm] $\vec [/mm] v [mm] \ne [/mm] k [mm] \cdot{} \vec [/mm] u$, die Richtungsvektoren sind linear unabhängig.
Prüfung auf Schnittpunkt:
[mm] $g_1 [/mm] = h$
1: [mm] $-1+\lambda=6-8\mu$
[/mm]
2: [mm] $1+2\lambda=-2+2\mu$
[/mm]
3: [mm] $2+\lambda=6-6\mu$
[/mm]
1-3: [mm] -3=-2\mu [/mm] -> [mm] \mu=1,5 [/mm] in 1: [mm] -1+\lambda=8-8\cdot{}1,5 [/mm] -> [mm] \lambda=-5
[/mm]
[mm] \mu [/mm] und [mm] \lambda [/mm] in 2: 1+2(-5)=-2+2(1,5)
-9 = 1 Widerspruch!
[mm] $g_1 \ne [/mm] h$, die Geraden sind windschief zueinander. Somit haben die Geraden keinen gemeinsamen Punkt.
1.4
Damit sich die beiden Geraden in einem Punkt S schneiden, müssen die Richtungsvekoren linear unabhängig sein. Dies ist schon gegeben:
[mm] $\begin{pmatrix} a \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} -8 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}$, [/mm] es ergeben sich allein hierfür, zwei unterschiedliche Werte für k
nun müssen die beiden Geraden [mm] $g_a [/mm] = h$ sein, um einen gemeinsamen Schnittpunkt zu erhalten, also:
1: [mm] $-1+a\lambda=6-8\mu$
[/mm]
2: [mm] $1+2\lambda=-2+2\mu$
[/mm]
3: [mm] $2+\lambda=6-6\mu$
[/mm]
nun kann ich doch aus 2 und 3 [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] bestimmen und dann in 1 einsetzen um a zu erhalten?
3 [mm] \cdot{} [/mm] 2: [mm] 4+2\lambda=12-12\mu, [/mm] nun 3a - 2: [mm] 3=14-14\mu, -11=-14\mu [/mm] -> [mm] \mu=\bruch{11}{14} [/mm] in 2:
[mm] \lambda=\bruch{-2+2\cdot{}\bruch{11}{14}-1}{2} [/mm] = [mm] -\bruch{5}{7} [/mm] in 1:
a = [mm] \bruch{6-8\cdot{}\bruch{11}{14}+1}{-\bruch{5}{7}} [/mm] = -1
Dies ergibt einen Schnitttpunkt S: [mm] $\begin{pmatrix} -\bruch{2}{7} \\ -\bruch{3}{7} \\ 1\bruch{2}{7} \end{pmatrix}$
[/mm]
1.5
Was ist die Gerade g?, ich nehme mal an, weil es um den Schnittwinkel geht, dass damit die Gerade $g_(-1)$ gemeint ist. Wenn man dies so mit [mm] $g_a$ [/mm] macht, dann sollte man auch dieses System weiterführen, oder hat dies einen tieferen Grund?
$cos [mm] \varphi [/mm] = [mm] \bruch{\vec g \cdot{} \vec h}{|\vec g| \cdot{} |\vec h|} [/mm] = [mm] \bruch{\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot{} \begin{pmatrix} -8 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}}{|\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}| \cdot{} |\begin{pmatrix} -8 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}|} [/mm] = [mm] \bruch{6}{\wurzel{6} \cdot{} \wurzel{104}} [/mm] -> [mm] \varphi [/mm] = 76,1°$
1.6
Damit die Gerade n durch den Schnittpunkt S geht, wieder der Schnittpunkt einfach zum Ortsvektor. Nun muss die Gerade noch auf den beiden Geraden g und h senkrecht also das Skalarprodukt = 0 sein. Es ist ein Bruch, also muss nur der Zähler 0 werden. Und dies ist bei beiden Fällen gegeben wenn der Richtungsvektor von n=0 ist:
$n: [mm] \vec [/mm] x= [mm] \begin{pmatrix} -\bruch{2}{7} \\ -\bruch{3}{7} \\ 1\bruch{2}{7} \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
Stimmt dies so. Mein Vektorprogramm kann dies nicht darstellen wegen den Nullen beim Richtungsvektor.
1.7
[mm] $g_p: \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}$
[/mm]
müsste so stimmen. Die Gerade geht durch (1|1|1) und der Richtungsvektor von [mm] $g_1$ [/mm] ist mit -2 multipliziert, also parallel.
1.8
Weil die Geraden parallel sind, haben sie in jedem Punkt den gleichen Abstand. Also einfach für [mm] \lambda [/mm] in die beiden Geraden den gleichen Wert (=2) einsetzen und dann die beiden Punkte voneinander abziehen und per Skalarprodukt den Abstand berechnen:
bei [mm] \lambda [/mm] = 2 bekomme ich für d=14,45 raus, ich kann doch aber genauso gut die Ortsvektoren hernehmen, dann bekomme ich raus d=2,24 und mein Vektorprogramm gibt d=2,198 aus. Was stimmt nun oder wo liegt der Fehler? Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Sa 17.11.2007 | | Autor: | ron |
Hallo,
das sind schon richtig gute Rechenschritte mit guter Dokumentation. Nur gegen Ende hat etwas die Konzentration nachgelassen so scheint es mir.
Zu 1.5
Richtige Überlegung, denn zuvor sollte der Schnittpunkt S berechnet werden, dazu paßt auch nur die Frage nach dem Schnittwinkel.
Zu 1.6
Der Ursprung (Nullvektor) kann nie Richtungsvektor, aber sehr wohl Ortsvektor einer Geraden sein!
Richtig ist die Überlegung zum Skalarprodukt, diese muss für beide Ortsvektoren der Geraden Null sein. Also diese Skalarprodukte gleichsetzten und das homogene Gleichungssystem lösen, um den gesuchten Normalenvektor (steht wie richtig beschrieben senkrecht auf beiden Geraden) zu bestimmen.
Zu 1.7
Aus 1.3 richtig den Richtungsvektor von [mm] g_1 [/mm] nehmen und als Ortsvektor den Punkt (1/1/1). Die Kosmetik mit der Multiplikation ist überflüssig, schadet aber auch nicht. Das Ergebnis verliert dadurch nicht seine Richtigkeit!
Zu 1.8
Nette Idee, aber leider nicht so ganz richtig, denn die Ortsvektoren müßten dazu auch gleich sein und die Richtungsvektoren die gleiche Länge besitzen.
Besser so vorgehen:
Bestimme den Schnittpunkt einer senkrechten Gerade zu [mm] g_1 [/mm] mit [mm] g_p [/mm] . Ansatz als Ortsvektor der Lotgeraden den Ortsvektor von [mm] g_1 [/mm] nehmen und den Richtungsvektor als Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor von [mm] g_1 [/mm] gleich Null bestimmen.
Schließlich die Länge des Vektor zwischen Schnittpunkt auf [mm] g_p [/mm] und Ortsvektor von [mm] g_1 [/mm] ergibt den gesuchten Abstand.
Ziemlich langer Rechenweg, es geht auch kürzer, aber mit dem präsentierten Vorgehen ist es so zu berechnen.
Hoffe die Anmerkungen helfen, sonst bitte fragen.
Gruß
Ron
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:38 Sa 17.11.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
> Zu 1.6
> Der Ursprung (Nullvektor) kann nie Richtungsvektor, aber
> sehr wohl Ortsvektor einer Geraden sein!
> Richtig ist die Überlegung zum Skalarprodukt, diese muss
> für beide Ortsvektoren der Geraden Null sein.
> Also diese Skalarprodukte gleichsetzten und das homogene
> Gleichungssystem lösen, um den gesuchten Normalenvektor
> (steht wie richtig beschrieben senkrecht auf beiden
> Geraden) zu bestimmen.
so sieht die Gerade bis jetzt aus:
$ n: [mm] \vec [/mm] x= [mm] \begin{pmatrix} -\bruch{2}{7} \\ -\bruch{3}{7} \\ 1\bruch{2}{7} \end{pmatrix}+\lambda [/mm] ? $
Nun brauch ich noch einen Richtungsvektor der senkrecht zu den Geraden g und h steht. Also die Richtungsvektoren sind für g: [mm] $\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm] und für h: [mm] $\begin{pmatrix} -8 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}$ [/mm] und das Produkt der beiden muss Null ergeben. Nur welches welches Gleichungssystem ergibt sich daraus? Hierbei steh ich auf dem Schlauch.
> Zu 1.8
> Nette Idee, aber leider nicht so ganz richtig, denn die
> Ortsvektoren müßten dazu auch gleich sein und die
> Richtungsvektoren die gleiche Länge besitzen.
>
> Besser so vorgehen:
> Bestimme den Schnittpunkt einer senkrechten Gerade zu [mm]g_1[/mm]
> mit [mm]g_p[/mm] . Ansatz als Ortsvektor der Lotgeraden den
> Ortsvektor von [mm]g_1[/mm] nehmen und den Richtungsvektor als
> Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor von [mm]g_1[/mm] gleich Null
> bestimmen.
> Schließlich die Länge des Vektor zwischen Schnittpunkt auf
> [mm]g_p[/mm] und Ortsvektor von [mm]g_1[/mm] ergibt den gesuchten Abstand.
okay, die Lotgerade also l sagen wir mal, ergibt dies
$l: [mm] \vec [/mm] x= [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+\lambda [/mm] ?$
Den Richtungsvektor zu konstruieren und versteh ich nicht so ganz. Wenn ich dies dann habe muss ich noch den Schnittpunkt zwischen l und [mm] g_p [/mm] bestimmen, dies geht dann mit gleich setzen und dann den Ortsvektor von [mm] g_1 [/mm] abziehen und den Betrag berechnen, der dann den Abstand angibt. Gibt es keinen einfacheren Weg?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 So 18.11.2007 | | Autor: | itse |
Könnte es sich bitte jemand anschauen, es geht nur um die Aufgaben 1.6 und 1.8, der Rest ist schon gelöst. Vielen Dank im Voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:48 So 18.11.2007 | | Autor: | ron |
Hallo,
hatte gestern keine Zeit mehr weiterzu schauen, sorry.
Für 1.6 gilt, dass der gesuchte Richtungsvektor auf beiden Richtungsvektoren senkrecht stehen muß!
Sei der gesuchte Vektor [mm] n_1 [/mm] , die Richtungsvektoren [mm] r_g [/mm] und [mm] r_h
[/mm]
Dann gilt wegen senkrecht:
[mm] n_1 [/mm] * [mm] r_g [/mm] =0
[mm] n_1 [/mm] * [mm] r_h [/mm] =0
also: [mm] n_1 [/mm] * [mm] r_g [/mm] = [mm] n_1 [/mm] * [mm] r_h \gdw (n_1 [/mm] * [mm] r_g)-(n_1 [/mm] * [mm] r_h)=0
[/mm]
Daraus läßt sich der Vektor [mm] n_1 [/mm] mit den geforderten Eigenschaften ermitteln.
Die Richtungsvektoren von g und h müssen nicht senkrecht zueinander stehen, sondern der gleiche Vektor [mm] n_1 [/mm] auf den beiden Vektoren!
Zu 1.8
In 1.6 ist der benötigte Vektor der senkrecht auf [mm] g_1 [/mm] steht bereits berechnet worden! (nicht immer alles erneut berechnen bei so langen Aufgaben)
Für senkrecht gilt Skalarprodukt der beiden Vektoren ist Null, das muss immer wieder ausgenutzt werden!! Gelegentlich nervt dies....
Zu 1.8
Es gibt einen Weg über Punktnormalenform und Normalenform einer Ebene, dies ist aber in der Aufgabe nicht erwähnt worden und ich bin mir nicht sicher wegen der Schwierigkeiten beim Skalarprodukt, ob es leichter ist?!
Entscheide selbst:
Abstand zweier paralleler Geraden startet mit einem beliebigen Punkt einer der beiden Geraden (wähle z.B. Ortsvektor von [mm] g_1 [/mm] ) bestimme die Punktnormalenform der Ebende die senkrecht zu [mm] g_1 [/mm] verläuft und den Schnittpunkt der Ebende mit [mm] g_1 [/mm] ist der zuvor gewählte Punkt auf der Geraden [mm] g_1 [/mm]
Jetzt die Punktnormalenform der Ebene in die Normalenform überführen, dann den Schnittpunkt der Ebene mit [mm] g_p [/mm] bestimmen durch einsetzten von [mm] g_p [/mm] in die Normalenform (leicht zu rechnen). Jetzt kennt man den Anfangs- und Endpunkt des Abstandsvektors, sind genau die beiden Schnittpunkte der Ebene mit den geraden, daraus einen Vektor berechnen wie in 1.1 und dessen Länge berechnen, fertig.
Wie gesagt ist länger aufzuschreiben als zu rechnen! Bin mir aber nicht sicher, ob es mit der anderen Methde nicht besser für die Sicherheit in Bezug auf Verwendung Skalarprodukt besser ist.
Anschauung hier:
![[]](/images/popup.gif) Normalen- oder Koordinatenform einer Ebene
Geraden im Raum
Kurzvariante mit Vorsicht zu lesen!
Habe extra nur eine Mitteilung egschrieben, damit andere die Frage noch sehen können, vielleicht helfen dir die Erklärungen der anderen mehr.
Wichtig ist klar zu betrachten welches Skalarprodukt berechnet wird und welche Vektoren dann senkrecht stehen, welche aber gefordert werden mit 90 Grad Winkel zueinander!!!
Bitte schreiben, wenn die Rechnung aufgeschrieben werden soll, die bisherigen Ergebnisse sind so gut, dass ich davon absehe.
Gruß
Ron
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 So 18.11.2007 | | Autor: | itse |
Hallo ron,
> Für 1.6 gilt, dass der gesuchte Richtungsvektor auf beiden
> Richtungsvektoren senkrecht stehen muß!
> Sei der gesuchte Vektor [mm]n_1[/mm] , die Richtungsvektoren [mm]r_g[/mm]
> und [mm]r_h[/mm]
>
> Dann gilt wegen senkrecht:
> [mm]n_1[/mm] * [mm]r_g[/mm] =0
> [mm]n_1[/mm] * [mm]r_h[/mm] =0
>
> also: [mm]n_1[/mm] * [mm]r_g[/mm] = [mm]n_1[/mm] * [mm]r_h \gdw (n_1[/mm] * [mm]r_g)-(n_1[/mm] * [mm]r_h)=0[/mm]
[mm] $n_1 \cdot{} (\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} -8 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix})=0$
[/mm]
[mm] $n_1 \cdot{} \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}=0$
[/mm]
daraus ergibt sich: $7 [mm] \cdot{} n_1+0 \cdot{} n_1+7 \cdot{} n_1=0$ [/mm] wie komme ich auf die Werte für [mm] n_1, [/mm] dass die Gerade senkrecht auf g und h steht?
> Zu 1.8
>
> In 1.6 ist der benötigte Vektor der senkrecht auf [mm]g_1[/mm] steht
> bereits berechnet worden! (nicht immer alles erneut
> berechnen bei so langen Aufgaben)
Vielen Dank für die Erklärung, der optionalen Möglichkeit. Die erste Möglichkeit finde ich im Zusammenhang mit der Aufgabe besser, weil es mehr um Geraden als um Ebenen geht. Hier ist die Erkärung von dir:
> Besser so vorgehen:
> Bestimme den Schnittpunkt einer senkrechten Gerade zu $ [mm] g_1 [/mm] $ mit $ [mm] g_p [/mm] $ . Ansatz als Ortsvektor der Lotgeraden den Ortsvektor von $ [mm] g_1 [/mm] $
> nehmen und den Richtungsvektor als Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor von $ [mm] g_1 [/mm] $ gleich Null bestimmen.
> Schließlich die Länge des Vektor zwischen Schnittpunkt auf $ [mm] g_p [/mm] $ und Ortsvektor von $ [mm] g_1 [/mm] $ ergibt den gesuchten Abstand.
Weil ich bei dieser Teilaufgabe komplett auf dem Schlauch stehe, könntest du mir diese vorrechnen? Vielen Dank nochmals, itse.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 So 18.11.2007 | | Autor: | itse |
> Der oben genannte Ansatz von Ron führt m.E. nicht zum Ziel.
> Du musst hier schon zwei verschiedene  Skalarprodukte
> auftsellen, um den entsprechenden Normalenvektor [mm]\vec{n}_1[/mm]
> zu erhalten.
>
> [mm]\vec{n}_1*\vektor{-1\\2\\1} \ = \ \vektor{x\\y\\z}*\vektor{-1\\2\\1} \ = \ -x+2*y+z \ = \ 0[/mm]
>
> [mm]\vec{n}_1*\vektor{-8\\2\\-6} \ = \ \vektor{x\\y\\z}*\vektor{-8\\2\\-6} \ = \ -8*x+2*y-6*z \ = \ 0[/mm]
>
> Durch subtraktion dieser beiden Gleichungen kannst Du [mm]$y_4[/mm]
> eliminieren und einen der beiden anderen Variablen frei
> wählen.
1: -x+2y+z=0
2: -8x+2y-6z=0
1-2:
7x+7z=0; z sei 2
x=2
x=2 in 1-2: 7*2+7z=0 -> z=-2
x,z in 1:
-2+2y-2=0 -> y=2
somit müsste die Gerade n wie folgt lauten:
$ n: [mm] \vec [/mm] x= [mm] \begin{pmatrix} -\bruch{2}{7} \\ -\bruch{3}{7} \\ 1\bruch{2}{7} \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ [/mm]
wenn ich die beiden Skalarprodukte zu g(a=-1) und h berechne kommt jeweils Null heraus. Plotte ich aber die Vekoren dann passt es bei g, die Geraden schneiden sich bei S und stehen senkrecht aufeinander. Nur bei h passt es nicht, die beiden Geraden schneiden sich nicht und stehen auch nicht senkrecht aufeinander. Wo liegt da der Fehler?
1.8 Berechnen Sie den Abstand der parallelen Geraden.
Damit ist g und h gemeint also:
$ [mm] g_1: \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] $
$ [mm] g_p: \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] $
Könnte mir dies jemand vorrechnen, weil ich bei dieser Teilaufgabe komplett auf dem Schlauch stehe? Vielen Dank für die Hilfe, itse.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Mo 19.11.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
1.6 Geben Sie eine Gerade n an, die durch den Schnittpunkt S geht und auf den beiden Geraden g und h senkrecht steht.
> > Du musst hier schon zwei verschiedene Skalarprodukte
> > auftsellen, um den entsprechenden Normalenvektor [mm]\vec{n}_1[/mm]
> > zu erhalten.
> >
> > [mm]\vec{n}_1*\vektor{-1\\2\\1} \ = \ \vektor{x\\y\\z}*\vektor{-1\\2\\1} \ = \ -x+2*y+z \ = \ 0[/mm]
> >
> > [mm]\vec{n}_1*\vektor{-8\\2\\-6} \ = \ \vektor{x\\y\\z}*\vektor{-8\\2\\-6} \ = \ -8*x+2*y-6*z \ = \ 0[/mm]
> >
> > Durch subtraktion dieser beiden Gleichungen kannst Du [mm]$y_4[/mm]
> > eliminieren und einen der beiden anderen Variablen frei
> > wählen.
>
> 1: -x+2y+z=0
> 2: -8x+2y-6z=0
>
> 1-2:
> 7x+7z=0; z sei 2
> x=2
>
> x=2 in 1-2: 7*2+7z=0 -> z=-2
>
> x,z in 1:
> -2+2y-2=0 -> y=2
>
> somit müsste die Gerade n wie folgt lauten:
>
> [mm]n: \vec x= \begin{pmatrix} -\bruch{2}{7} \\ -\bruch{3}{7} \\ 1\bruch{2}{7} \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> wenn ich die beiden Skalarprodukte zu g(a=-1) und h
> berechne kommt jeweils Null heraus. Plotte ich aber die
> Vekoren dann passt es bei g, die Geraden schneiden sich bei
> S und stehen senkrecht aufeinander. Nur bei h passt es
> nicht, die beiden Geraden schneiden sich nicht und stehen
> auch nicht senkrecht aufeinander. Wo liegt da der Fehler?
ich hab es nochmals überprüft wenn ich das Skalarprodukt zu den Richtungsvektoren, mit dem von mir ausgerechneten Normalenvektor multipliziere kommt immer Null raus. Also steht senkrecht (90°) aufeinander. Plotte ich es aber passt es nicht. Wo liegt der Fehler?
1.8 Berechnen Sie den Abstand der parallelen Geraden.
> Damit ist g und h gemeint also:
>
> [mm]g_1: \vec x = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]g_p: \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
Ich habe zwei parallele Geraden, somit ist der Abstand immer gleich. Ich brauche nun einen Punkt auf der Geraden g1:
[mm] g1:\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, [/mm] um einen Punkt zu erhalten setze ich [mm] \lambda=2 [/mm] und es es ergibt sich der Punkt P1(1|5|3) dieser Punkt liegt auf g1, nun benötige ich noch einen Richtungsvektor der senkrecht zu g1 steht, Skalarprodukt gleich Null:
[mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\cdot{}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=0
[/mm]
hierbei hänge ich mal wieder fest, wie löse ich dies auf um den Richtungsvektor v1 zu erhalten der auf g1 senkrecht steht? Wenn ich diesen Richtungsvektor hätte, schneidet die daraus ergebende Gerade l die Gerade gp irgendwo, also l=gp, daraus würde sich ein Schnittpunkt ergeben. Nun musss ich nun den Schnittpunkt minus P1 rechnen und den Betrag bilden, dieser ist dann der Abstand. Es wäre wirklich toll, wenn mir jemand helfen würde. Vielen Dank, itse.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:46 Di 20.11.2007 | | Autor: | itse |
Nun mein letzter Versuch, könnte es sich bitte jemand anschauen, es wäre wirklich dringend, weil ich bald eine wichtige Arbeit schreib und ich den Lehrer nicht fragen, kann weil der krank ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:17 Do 22.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:29 Di 20.11.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
> > 1: -x+2y+z=0
> > 2: -8x+2y-6z=0
> >
> > 1-2: 7x+7z=0; z sei 2
> > x=2
>
> Wie kommst Du auf [mm]x \ = \ 2[/mm] , ich erhalte hier [mm]x \ = \ \red{-}2[/mm]
> .
da hab ich mich verrechnet!
> > x=2 in 1-2: 7*2+7z=0 -> z=-2
> >
> > x,z in 1:
> > -2+2y-2=0 -> y=2
>
> Sehr konfus und widersprüchlich Dein hier dargestellter
> Rechenweg. Aber erstaunlicherweise stimmt dann der
> Richtungsvektor.
>
>
> > somit müsste die Gerade n wie folgt lauten:
> >
> > [mm]n: \vec x= \begin{pmatrix} -\bruch{2}{7} \\ -\bruch{3}{7} \\ 1\bruch{2}{7} \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
ich komm dann allerdings auf dieses hier, ist aber im Endeffekt egal:
[mm]n: \vec x= \begin{pmatrix} -\bruch{2}{7} \\ -\bruch{3}{7} \\ 1\bruch{2}{7} \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
> > wenn ich die beiden Skalarprodukte zu g(a=-1) und h
> > berechne kommt jeweils Null heraus. Plotte ich aber die
> > Vekoren dann passt es bei g, die Geraden schneiden sich bei
> > S und stehen senkrecht aufeinander. Nur bei h passt es
> > nicht, die beiden Geraden schneiden sich nicht und stehen
> > auch nicht senkrecht aufeinander. Wo liegt da der Fehler?
>
> ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") Aber richtig eingegeben hast Du die Werte
> schon, oder?
ich geb die Werte richtig ein und bekomme jedes mal dieses heraus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wo liegt denn da Bitte der Fehler?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:17 Do 22.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:32 Mo 19.11.2007 | | Autor: | itse |
Könnte es sich bitte jemand anschauen? Vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 Mi 21.11.2007 | | Autor: | ron |
Hallo Itse,
war leider beruflich gebunden und konnte die Antwort nicht posten.
Hast du noch Interesse oder hast du schon 1.8 selber gerechnet?
Schreibe erst morgen im Laufe des Vormittags.
Denke aber, wenn du die Rechnung nochmal sauber auf ein Blatt Papier bringst reicht es aus, denn du bist ja schon sehr weit gekommen.
Ron
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(Frage) überfällig | | Datum: | 10:34 Do 22.11.2007 | | Autor: | itse |
Hallo ron,
Interesse besteht bei mir immer. Hier ist nochmal die Aufgabe mit meiner bisherigen Lösung. Vielen Dank.
> > 1.8 Berechnen Sie den Abstand der parallelen Geraden.
$ [mm] g_1: \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] $
$ [mm] g_p: \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] $
> > Ich habe zwei parallele Geraden, somit ist der Abstand
> > immer gleich. Ich brauche nun einen Punkt auf der Geraden
> g1:
>
$ [mm] g1:\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, [/mm] $
um einen Punkt zu erhalten setze ich $ [mm] \lambda=0 [/mm] $ und es es
ergibt sich der Punkt P1(-1|1|2) dieser Punkt liegt auf g1,
der punkt lautet nun P1(-1|1|2)
> > nun benötige ich noch einen Richtungsvektor der senkrecht
> > zu g1 steht, Skalarprodukt gleich Null:
> >
> > $ [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\cdot{}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=0 [/mm] $
>
> Nun schreibe das MBSkalarpordukt mal aus. Zudem muss
> dieser gesuchte Vektor senkrecht auf den Normalenvektor der
> Ebene stehen, welche durch $ [mm] g_1 [/mm] $ und $ [mm] g_p [/mm] $ aufgespannt wird.
x+2y+z=0
Ebenengleichung:
e: $ [mm] \vec x=\begin{pmatrix} -\bruch{2}{7} \\ -\bruch{3}{7} \\ 1\bruch{2}{7} \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+\mu \begin{pmatrix} -8 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix} [/mm] $
aus den beiden Vektoren kann der Normalenvektor der Ebene bestimmt werden, dieser ist $ [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] $
daraus ergibt sich folgende gleichungssystem:
x+2y+z=0
-2x-2y+2z=0
und wiederum folgender vektor: $ [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] $ der beide Gleichungen erfüllt. Somit hat man folgende Gerade:
$ [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] $ und diese Gerade müsste nun $ [mm] g_p \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}in [/mm] $ einem Punkt schneiden und diesen könnte ich dann von P1 abziehen. Nur da bekomme ich keinen Schnittpunkt raus. Wo liegt der Fehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 Sa 24.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Du musst ja bedenken, dass [mm] $\vec{n}_1$ [/mm] ebenfalls 3 unterschiedliche Komponenten hat: [mm] $\vec{n}_1 [/mm] \ = \ [mm] \vektor{x\\y\\z}$ [/mm] .
