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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Geraden am Einheitskreis
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Geraden am Einheitskreis: Tipps
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 05:18 Di 01.11.2011
Autor: Mathegirl

Aufgabe
K ist der Einheitskreis [mm] K=\left\{\vektor{x \\ y}\in \IR^2 |x^2+y^2=1\right\} [/mm]

P= [mm] \vektor{1 \\ -2} \in \IR^2 [/mm] Zeige, dass es genau 2 Geraden durch den Punkt P gibt, die K in genau einem Punkt schneiden.
Bestimme die Geraden und den Schnittpunkt mit dem Kreis.


So..ich hab mir dazu mal eine Skizze gemacht..
Da P als x-Wert 1 hat, sowie auch der Einheitskreis bei x=1 den Kreis schneidet, kann der erste Schnittpunkt der Geraden mit dem Kreis ermittelt werden [mm] S_K=\vektor{1 \\ 0} [/mm]

Also hat eine Gerade die Form: [mm] g=\vektor{1 \\ -2}+\lambda \vektor{0 \\ 2} [/mm]

Wie kriege ich nun die andere Gleichung und den Schnittpunkt?


MfG
Mathegirl

        
Bezug
Geraden am Einheitskreis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:38 Di 01.11.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> K ist der Einheitskreis [mm]K=\left\{\vektor{x \\ y}\in \IR^2\ |\ x^2+y^2=1\right\}[/mm]
>  
> P= [mm]\vektor{1 \\ -2} \in \IR^2[/mm]      

> Zeige, dass es genau 2
> Geraden durch den Punkt P gibt, die K in genau einem Punkt
> schneiden.
>  Bestimme die Geraden und den Schnittpunkt mit dem Kreis.
>  So..ich hab mir dazu mal eine Skizze gemacht..
> Da P als x-Wert 1 hat, sowie auch der Einheitskreis bei x=1
> den Kreis schneidet, kann der erste Schnittpunkt der
> Geraden mit dem Kreis ermittelt werden [mm]S_K=\vektor{1 \\ 0}[/mm]
>  
> Also hat eine Gerade die Form: [mm]g=\vektor{1 \\ -2}+\lambda \vektor{0 \\ 2}[/mm]
>  
> Wie kriege ich nun die andere Gleichung und den
> Schnittpunkt?


Guten Tag  Mathegirl

du kannst z.B. für die Geradengleichung den Ansatz   $\ y=m*x+b$
benutzen.
Stelle dann zwei Gleichungen für die darin vorkommenden
Parameter m und b auf. Die eine ergibt sich daraus, dass
P diese Geradengleichung erfüllen muss.
Die andere bekommst du aus der Bedingung, dass die
Gerade genau einen Punkt mit dem Kreis gemeinsam
haben soll, d.h. die quadratische Gleichung, die sich für
den Schnitt von Kreis und Gerade ergibt, soll genau eine
Lösung haben.

LG   Al-Chw.



Bezug
                
Bezug
Geraden am Einheitskreis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:46 Di 01.11.2011
Autor: Al-Chwarizmi

Bemerkung:

Wärest du von Anfang an meinem Vorschlag mit dem
Ansatz  y=m*x+b  gefolgt, ohne dir zuerst selber eine
Skizze zu machen, hättest du die "einfache" Lösung
mit der Geraden x=1 möglicherweise gar nicht gefunden.
Allerdings muss es ja zu einem außerhalb eines Kreises
liegenden Punkt stets zwei Tangenten von da aus an
den Kreis geben.
Also: wer hinschaut, ist meistens im Vorteil.

Zu der Aufgabe gäbe es natürlich eine ganze Menge
weiterer Lösungsmöglichkeiten.

LG   Al-Chw.

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Bezug
Geraden am Einheitskreis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:46 Sa 05.11.2011
Autor: Mathegirl

okay, ich hab nun eine Formel für die Schnittpunkte mit dem Kreis:
[mm] x_{1,2}=-\bruch{bm}{1+m^2}\pm \bruch{1}{1-m^2}\wurzel{r^2(1+m^2)-b^2} [/mm]

[mm] x_{1,2}=\bruch{bm}{1+m^2}\pm \bruch{m}{1-m^2}\wurzel{r^2(1+m^2)-b^2} [/mm]

nur was setze ich für b und m ein?
[mm] r^2 [/mm] ist ja 1.

Wenn ich die Schnittpunkte habe, dann kann ich ja die Geraden bestimmen.

1.Gerade und Schnittpunkt
[mm] Q_{K,g}=\vektor{1 \\ 0} [/mm]
[mm] g:=\vektor{1 \\ -2}+\lambda\vektor{0 \\ 2} [/mm]

Stimmt dieser Schnittpunkt und die Gerade?

Mathegirl

Bezug
                        
Bezug
Geraden am Einheitskreis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Sa 05.11.2011
Autor: MathePower

Hallo Mathegirl,

> okay, ich hab nun eine Formel für die Schnittpunkte mit
> dem Kreis:
>  [mm]x_{1,2}=-\bruch{bm}{1+m^2}\pm \bruch{1}{1-m^2}\wurzel{r^2(1+m^2)-b^2}[/mm]
>  
> [mm]x_{1,2}=\bruch{bm}{1+m^2}\pm \bruch{m}{1-m^2}\wurzel{r^2(1+m^2)-b^2}[/mm]
>


Hier hast Du Dich verschrieben;

[mm]x_{1,2}=\bruch{bm}{1+m^2}\pm \bruch{m}{1\blue{+}m^2}\wurzel{r^2(1+m^2)-b^2}[/mm]

Aus der Kenntnis, daß es nur einen Schnittpunkt geben darf,
muß der Ausdruck unter der Wurzel verschwinden.
Damit erhältst Du eine Beziehung zwischen m und b.


Löse dann die Gleichung

[mm]2=m*\left(-1\right)+b[/mm]

nach m auf.


> nur was setze ich für b und m ein?


Dazu musst Du die in Parameterform vorliegende Gerade +
in die Form [mm]y=m*x+b[/mm] umwandeln.

In Parameterform schreibt sich das so:

[mm]\pmat{x \\ y}=\pmat{1 \\ m}*t+\pmat{0 \\ b}, \ t \in \IR[/mm]


> [mm]r^2[/mm] ist ja 1.
>  
> Wenn ich die Schnittpunkte habe, dann kann ich ja die
> Geraden bestimmen.
>  
> 1.Gerade und Schnittpunkt
>  [mm]Q_{K,g}=\vektor{1 \\ 0}[/mm]
>  [mm]g:=\vektor{1 \\ -2}+\lambda\vektor{0 \\ 2}[/mm]
>
> Stimmt dieser Schnittpunkt und die Gerade?
>


Die Gerade stimmt, hat aber [mm]\infty[/mm] Steigung .


> Mathegirl


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Geraden am Einheitskreis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:06 Sa 05.11.2011
Autor: Mathegirl

Ist der zweite Schnittpunkt
[mm] S_{K,h}=\vektor{\bruch{-\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{-\wurzel{2}}{2}} [/mm]


Mathegirl

Bezug
                                        
Bezug
Geraden am Einheitskreis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:13 Sa 05.11.2011
Autor: MathePower

Hallo Mathegirl,

> Ist der zweite Schnittpunkt
>  [mm]S_{K,h}=\vektor{\bruch{-\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{-\wurzel{2}}{2}}[/mm]
>  


Nein.


>
> Mathegirl


Gruss
MathePower

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Geraden am Einheitskreis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:15 Sa 05.11.2011
Autor: Mathegirl

dann hab ich leider keine Ahnung wie ich ihn sonst berechnen kann..

Bezug
                                                        
Bezug
Geraden am Einheitskreis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:23 Sa 05.11.2011
Autor: MathePower

Hallo Mathegirl,

> dann hab ich leider keine Ahnung wie ich ihn sonst
> berechnen kann..


Ich habe Dir hier beschrieben,
wie Du auf die Steigung der Geraden kommst.


Gruss
MathePower

Bezug
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