Geraden schneiden sich < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen sie, dass die Gerade
h: x= (2 0 3) + k (2 5 a) a unabhängig von der Wahl von a (nur reelle Zahlen) immer zur Geraden g mit der gleichung x= (2 0 5) + l (-2 5 0) windschief ist!
b) Bestimmten Sie den Scharvertreter der Geradenschar ga: x= ( 0 0 2) + k ( 2 2 a-2), der die Gerade h x= ( 2 1 0) + m (1 -1 -2) schneidet und ermitteln Sie den Schnittpunkt S!
c) Bestimmten Sie a so, dass die Geraden ga: x= ( 3 4 2) + k (2a -9 -3) und h: x= ( 1 2 2) + t ( 1 -3 -1) parallel sind! Für welchen Wert von a sind ga und h windschief zueinander?
3) Prüfen Sie, ob das Viereck ABCD mit A (3/7/4), B (1/5/0), C (4/1/6) und D(6/3/2) in V3 eben ist! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe keine Ahnung wie das geht! Ansätze wären wunderbar. Ich weiß nur wie man ausrechnet ob Geraden windschief oder parallel sind, aber wie mache ich das mit der Variable a?? und was soll ich bei Nummer 3 tun? :(
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Hallo und herzlich Willkommen,
> Zeigen sie, dass die Gerade
> h: x= (2 0 3) + k (2 5 a) a unabhängig von der Wahl von a
> (nur reelle Zahlen) immer zur Geraden g mit der gleichung
> x= (2 0 5) + l (-2 5 0) windschief ist!
Wie würdest du denn ohne Parameter an die Aufgabe heran gehen? Im Grunde ist es genau dieselbe Prozedur.
Richtungsvektoren sind lin. unabhängig (Nachweis!) und vermutlich gibt es keinen Schnittpunkt (Geraden "gleichsetzen").
>
> b) Bestimmten Sie den Scharvertreter der Geradenschar ga:
> x= ( 0 0 2) + k ( 2 2 a-2), der die Gerade h x= ( 2 1 0) +
> m (1 -1 -2) schneidet und ermitteln Sie den Schnittpunkt
> S!
Wieder so: Geraden "gleichsetzen" und das LGS lösen. Dann bekommst den Parameter heraus.
>
> c) Bestimmten Sie a so, dass die Geraden ga: x= ( 3 4 2) +
> k (2a -9 -3) und h: x= ( 1 2 2) + t ( 1 -3 -1) parallel
> sind! Für welchen Wert von a sind ga und h windschief
> zueinander?
Was sind die Bedingungen für Parallelität?
Windschief ist quasi "alles was sich nicht schneidet".
>
> 3) Prüfen Sie, ob das Viereck ABCD mit A (3/7/4), B
> (1/5/0), C (4/1/6) und D(6/3/2) in V3 eben ist!
Weil das nix mit oben unbedingt gemein hat, lasse ich das erst einmal.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich habe keine Ahnung wie das geht! Ansätze wären
> wunderbar. Ich weiß nur wie man ausrechnet ob Geraden
> windschief oder parallel sind, aber wie mache ich das mit
> der Variable a?? und was soll ich bei Nummer 3 tun? :(
Also, erst einmal genauso starten, wie immer. Dann ergibt sich vieles....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:45 Mi 21.11.2012 | | Autor: | Katze2010 |
bei 2a, setze ich sie gleich. so wie immer. Sonst kriege ich ja die Parameter k und l raus, setze die in die letzte Gleichung ein und es müsste blödsinn rauskommen, da es ja windschief sein muss. Ich habe dann folgendes dort stehen (als Ansatz), wenn ich die zahlen auf eine Seite und die parameter auf die andere ziehe:
0= -2l - 2k
0= 5l - 5k
-2 = ka
...und nun? Normalerweise würde ich ja eine Gleichung von der anderen abziehen, geht das hier auch und wenn ja welche von welcher? oder kriege ich bei k= -2/a raus? oh :(
b) Wieder das gleiche, doch versteh ich immer noch nicht was ich mit a soll!! und wie soll ich denn damit den Schnittpunkt berechnen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Mi 21.11.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo,
ruhig als Frage stellen, sonst wird es nicht angezeigt, dass du Hilfe benötigst.
> bei 2a, setze ich sie gleich. so wie immer. Sonst kriege
> ich ja die Parameter k und l raus, setze die in die letzte
> Gleichung ein und es müsste blödsinn rauskommen, da es ja
> windschief sein muss. Ich habe dann folgendes dort stehen
> (als Ansatz), wenn ich die zahlen auf eine Seite und die
> parameter auf die andere ziehe:
>
> 0= -2l - 2k
> 0= 5l - 5k
> -2 = ka
Das sieht doch gut aus (Korrektheit habe ich nicht überprüft).
Aber aus der ersten Zeile folgt doch $k=-l$ und aus der Zeile 2 folgt $k=l$ Und das ist ja wohl ein Widerspruch. Also windschief und das unabhängig von a. 
> ...und nun? Normalerweise würde ich ja eine Gleichung von
> der anderen abziehen, geht das hier auch und wenn ja welche
> von welcher? oder kriege ich bei k= -2/a raus? oh :(
>
> b) Wieder das gleiche, doch versteh ich immer noch nicht
> was ich mit a soll!! und wie soll ich denn damit den
> Schnittpunkt berechnen?
Wenn du das so gut machst wie oben, dann kannst du erneut aus Zeile (I) und Zeile (II) das k und m bestimmen. Wenn du diese zwei Werte dann in Zeile (III) einsetzt, kannst du nach a auflösen und so den Parameter bestimmen.
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Also nummer a habe ich jetzt gelöst..habe mich jetzt mit nummer c versucht..Habe a berechnet. Da in der Aufgabe ja steht dass ich a so berechnen soll, dass sie parallel sind, habe ich geguckt ob esein vielfaches voneinander ist. Habe ein deutliches ja raus und für a=1,5
und jetzt? Muss man ja eigentlich prüfen ob S2 auf g liegt. Kann ich dann in der Gleichung einfach für a 1,5 einsetzen? so dass ich folgendes stehen habe:
(1 2 3) = ( 3 4 2) * k (2*1,5 -9 -3) ??
kriege für k=0 raus, kann das sein?
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Hey,
> Also nummer a habe ich jetzt gelöst..habe mich jetzt mit
> nummer c versucht..Habe a berechnet. Da in der Aufgabe ja
> steht dass ich a so berechnen soll, dass sie parallel sind,
> habe ich geguckt ob esein vielfaches voneinander ist. Habe
> ein deutliches ja raus und für a=1,5
Das stimmt.
> und jetzt?
Jetzt das a in die Gerade g einsetzen.
> Muss man ja eigentlich prüfen ob S2 auf g
> liegt.
Eigentlich gehört das mit dazu. Schließlich könnten die Geraden ja auch identisch sein. Und das sollen sie ja nicht zwingend.
Manche sagen allerdings auch, dass identische Geraden auch parallel sind. Das kommt nun darauf an, wie ihr das handhabt.
Es ist die Frage also, ob sie "echt" parallel sind.
> Kann ich dann in der Gleichung einfach für a 1,5
> einsetzen? so dass ich folgendes stehen habe:
>
> (1 2 3) = ( 3 4 2) * k (2*1,5 -9 -3) ??
> kriege für k=0 raus, kann das sein?
Nein, weil vor dem k ja auch ein + steht.
Du hast also Geradengleichung für g: x=(3,4,2)+k(3,-9,-3)
Du müsstest nun g mit h gleichsetzen und schauen, ob sinnvolle Lösungen für k und t herauskommen, oder ob sich ein Widerspruch ergibt (Widerspruch bedeutet, dass sie nicht identisch sind).
In der Aufgabe steckt ja auch, die Frage nach der Windschiefe von g und h. Dazu darf g nicht parallel zu h sein, und sie dürfen sich nicht schneiden.
Also erneutes Spiel: Gleichsetzen der Geraden g und h (mit Parameter a) und a so bestimmen, dass sich die Geraden nicht (!) schneiden. Immerhin weißt du auch, dass [mm] a\not=1,5 [/mm] ist. Aber es gibt ja noch einen Wert....
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Also wir hatten das immer so, dass ich schaue ob ein Stützvektor auf der anderen Gleichung liegt. So muss ich den Stützvektor von h mit der geradengleichung von g gleichsetzen, oder habe ich das jetzt hier falsch verstanden?
Ahh. ich habe jetzt für k drei verschiedene Werte raus! Sie sind also parallel oder nicht ? :)
Windschief. Da müsste ich ja erst a bestimmten und dann beide Geradengleichungen gleich setzen. Wie bestimme ich a? :/ Habe echt keine Idee..
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Guten Abend,
> Also wir hatten das immer so, dass ich schaue ob ein
> Stützvektor auf der anderen Gleichung liegt.
So geht das natürlich auch, ja.
> So muss ich
> den Stützvektor von h mit der geradengleichung von g
> gleichsetzen, oder habe ich das jetzt hier falsch
> verstanden?
> Ahh. ich habe jetzt für k drei verschiedene Werte raus!
> Sie sind also parallel oder nicht ? :)
Richtig.
>
>
> Windschief. Da müsste ich ja erst a bestimmten und dann
> beide Geradengleichungen gleich setzen. Wie bestimme ich a?
> :/ Habe echt keine Idee..
Wir setzen g und h gleich:
(3,4,2)+k(2a,-9,-3)=(1,2,2)+t(1,-3,-1)
Wir suchen jetzt genau das a, sodass sich die Geraden g und h schneiden.
Wir erhalten also die Gleichungen
(I) 2=-2ak+t
(II) 2=9k-3t
(III) 0=3k-t
Man erhält direkt, dass t=3k ist. Setzen wir dies in (II) ein, so erhalten wir
2=9k-9k=0 [mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch.
Also ist es offensichtlich egal, wie a gewählt wird, die Geraden g und h schneiden sich nicht.
Aber g und h sind windschief, wenn sie nicht parallel sind (so sagt es die Definition von Windschief). Und für a=1,5 sind die Teile ja parallel.
Also: g und h sind windschief für [mm] a\in\IR\backslash\{0\}
[/mm]
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