Geraden und Ebenen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte P=(0, 2, 5), Q=(3, 5, 6) und R=(-1, 0, 0) aus [mm] \IR^{3}.
[/mm]
(a) bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Geraden g, die durch die Punkte P und Q geht. Mit welchen Parameterwerten wird dabei die Strecke von P nach Q beschrieben?
(b) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Ebene, die durch P, Q und R geht.
(c) Parametrisieren Sie die Dreiecksfläche mit den Ecken P, Q und R mittels zweier Parameter.
(d) Skizzieren Sie die Menge
{ [mm] \alpha [/mm] P + [mm] \beta [/mm] Q + [mm] \gamma [/mm] R | [mm] \alpha, \beta, \gamma \in \IR+ [/mm] mit 0 und [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] + [mm] \gamma [/mm] = 1 } |
Hallo,
(a)
g = P+ [mm] \lambda [/mm] v = (0, 2, 5) + [mm] \lambda [/mm] (3, 3, 1)
mit dem Parameterwert [mm] \lambda [/mm] = 1 wird die Strecke von P nach Q beschrieben.
Richtig?
(b)
E = P+ [mm] \lambda \overline{PQ} [/mm] + [mm] \mu \overline{PR} [/mm] = (0, 2, 5) + [mm] \lambda [/mm] (3, 3, 1) + [mm] \mu [/mm] (-1, -2, -5)
(c)
ich dachte das gleiche hätte ich bei (b) getan oder wie darf ich die Aufgabe verstehen?
(d)
alpha beta und gamma bewegen sich in einem bestimmten bereich, aber es ist wohl kein kreis wie beim einheitskreis, da hier 3 variablen vorliegen, eventuell ein Dreieck? Wie die Menge aussehen soll weiß ich nicht.
Danke im Voraus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Sa 16.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gegeben sind die Punkte P=(0, 2, 5), Q=(3, 5, 6) und R=(-1,
> 0, 0) aus [mm]\IR^{3}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> (a) bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Geraden g,
> die durch die Punkte P und Q geht. Mit welchen
> Parameterwerten wird dabei die Strecke von P nach Q
> beschrieben?
>
> (b) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Ebene, die
> durch P, Q und R geht.
>
> (c) Parametrisieren Sie die Dreiecksfläche mit den Ecken
> P, Q und R mittels zweier Parameter.
>
> (d) Skizzieren Sie die Menge
>
> { [mm]\alpha[/mm] P + [mm]\beta[/mm] Q + [mm]\gamma[/mm] R | [mm]\alpha, \beta, \gamma \in \IR+[/mm]
> mit 0 und [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] + [mm]\gamma[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 1 }
> Hallo,
>
> (a)
>
> g = P+ [mm]\lambda[/mm] v = (0, 2, 5) + [mm]\lambda[/mm] (3, 3, 1)
Das stimmt
>
> mit dem Parameterwert [mm]\lambda[/mm] = 1 wird die Strecke von P
> nach Q beschrieben.
>
> Richtig?
Nein, [mm] \lambda=1 [/mm] fürht zum Punkt Q, mit [mm] 0\le\lambda\le1 [/mm] erreichst du alle Punkte zwischen P und Q, überlege mal, warum.
>
> (b)
>
> E = P+ [mm]\lambda \overline{PQ}[/mm] + [mm]\mu \overline{PR}[/mm] = (0, 2,
> 5) + [mm]\lambda[/mm] (3, 3, 1) + [mm]\mu[/mm] (-1, -2, -5)
Verwende doch bitte unseren Formeleditor.
Die Ebenengleichung stimmt aber.
>
> (c)
>
> ich dachte das gleiche hätte ich bei (b) getan oder wie
> darf ich die Aufgabe verstehen?
Hier musst du die Werte finden, dass du nur die Punkte im Dreieck PQR erreichst.
Eine Bedingung ist dabe [mm] \lambda+\mu\le1
[/mm]
Die anderen beiden Bedinungen findest du sicher selber, wenn du den Aufgabenteil mit der Strecke [mm] \overline{PQ} [/mm] aus Aufgabe a) verstanden hast.
>
> (d)
>
> alpha beta und gamma bewegen sich in einem bestimmten
> bereich, aber es ist wohl kein kreis wie beim
> einheitskreis, da hier 3 variablen vorliegen, eventuell ein
> Dreieck?
Zeichne doch mal die drei gegebenen Vektoren ein, und überlege, was passiert, wenn du diese mit positiven Werten multiplizierst, die auch alle kleiner als eins sind.
Marius
|
|
|
| |
|
> Hallo
>
> > Gegeben sind die Punkte P=(0, 2, 5), Q=(3, 5, 6) und
> R=(-1,
> > 0, 0) aus [mm]\IR^{3}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen
> immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
>
> >
> > (a) bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Geraden
> g,
> > die durch die Punkte P und Q geht. Mit welchen
> > Parameterwerten wird dabei die Strecke von P nach Q
> > beschrieben?
> >
> > (b) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Ebene,
> die
> > durch P, Q und R geht.
> >
> > (c) Parametrisieren Sie die Dreiecksfläche mit den
> Ecken
> > P, Q und R mittels zweier Parameter.
> >
> > (d) Skizzieren Sie die Menge
> >
> > { [mm]\alpha[/mm] P + [mm]\beta[/mm] Q + [mm]\gamma[/mm] R | [mm]\alpha, \beta, \gamma \in \IR+[/mm]
>
> > mit 0 und [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] + [mm]\gamma[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}"
> müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil
> ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> = 1 }
> > Hallo,
> >
> > (a)
> >
> > g = P+ [mm]\lambda[/mm] v = (0, 2, 5) + [mm]\lambda[/mm] (3, 3, 1)
>
> Das stimmt
>
> >
> > mit dem Parameterwert [mm]\lambda[/mm] = 1 wird die Strecke von
> P
> > nach Q beschrieben.
> >
> > Richtig?
>
> Nein, [mm]\lambda=1[/mm] fürht zum Punkt Q, mit [mm]0\le\lambda\le1[/mm]
> erreichst du alle Punkte zwischen P und Q, überlege mal,
> warum.
klar, wenn der parameter [mm] \lambda [/mm] = 1 ist, bin ich schon am ende der strecke, und mit 0, wäre ich am anfang, also ist alles dazwischen die definition der strecke, somit ist [mm] 0\le\lambda\le1 [/mm] mit [mm] \lambda \in \IR [/mm] schon die antwort auf die frage oder?
> >
> > (b)
> >
> > E = P+ [mm]\lambda \overline{PQ}[/mm] + [mm]\mu \overline{PR}[/mm] = (0,
> 2,
> > 5) + [mm]\lambda[/mm] (3, 3, 1) + [mm]\mu[/mm] (-1, -2, -5)
>
> Verwende doch bitte unseren Formeleditor.
>
> Die Ebenengleichung stimmt aber.
>
> >
> > (c)
> >
> > ich dachte das gleiche hätte ich bei (b) getan oder
> wie
> > darf ich die Aufgabe verstehen?
>
> Hier musst du die Werte finden, dass du nur die Punkte im
> Dreieck PQR erreichst.
> Eine Bedingung ist dabe [mm]\lambda+\mu\le1[/mm]
> Die anderen beiden Bedinungen findest du sicher selber,
> wenn du den Aufgabenteil mit der Strecke [mm]\overline{PQ}[/mm] aus
> Aufgabe a) verstanden hast.
die zweite bedingung wäre demnach [mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu \ge [/mm] 0 oder?
> >
> > (d)
> >
> > alpha beta und gamma bewegen sich in einem bestimmten
> > bereich, aber es ist wohl kein kreis wie beim
> > einheitskreis, da hier 3 variablen vorliegen, eventuell
> ein
> > Dreieck?
>
> Zeichne doch mal die drei gegebenen Vektoren ein, und
> überlege, was passiert, wenn du diese mit positiven Werten
> multiplizierst, die auch alle kleiner als eins sind.
>
> Marius
wie ich schon vermutet habe, ist es die fläche, die das Dreieck PQR einschließt, richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 Sa 16.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> > > [...] Richtig?
> >
> > Nein, [mm]\lambda=1[/mm] fürht zum Punkt Q, mit [mm]0\le\lambda\le1[/mm]
> > erreichst du alle Punkte zwischen P und Q, überlege mal,
> > warum.
>
> klar, wenn der parameter [mm]\lambda[/mm] = 1 ist, bin ich schon am
> ende der strecke, und mit 0, wäre ich am anfang, also ist
> alles dazwischen die definition der strecke, somit ist
> [mm]0\le\lambda\le1[/mm] mit [mm]\lambda \in \IR[/mm] schon die antwort auf
> die frage oder?
Ja.
> [...]
> > Hier musst du die Werte finden, dass du nur die Punkte im
> > Dreieck PQR erreichst.
> > Eine Bedingung ist dabe [mm]\lambda+\mu\le1[/mm]
> > Die anderen beiden Bedinungen findest du sicher selber,
> > wenn du den Aufgabenteil mit der Strecke [mm]\overline{PQ}[/mm] aus
> > Aufgabe a) verstanden hast.
>
> die zweite bedingung wäre demnach [mm]\lambda[/mm] + [mm]\mu \ge[/mm] 0
> oder?
Nein, du bekommst zwei Bedingungen, je eine an [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu
[/mm]
Fürhe die Überlegungen mit der Strecke PQ aus Aufgabe a) auch mal an der Ebene PQR durch. Auch hier ist P der Stützpunkt, du musst [mm] \lamda [/mm] so bestimmen, dass du zwischen P und Q bleibst, und dann [mm] \mu [/mm] so, dass du dann auch nicht über die Parallele zu PQ durch den Punkt R.
>
>
> > >
> > > (d)
> > >
> > > alpha beta und gamma bewegen sich in einem
> bestimmten
> > > bereich, aber es ist wohl kein kreis wie beim
> > > einheitskreis, da hier 3 variablen vorliegen,
> eventuell
> > ein
> > > Dreieck?
> >
> > Zeichne doch mal die drei gegebenen Vektoren ein, und
> > überlege, was passiert, wenn du diese mit positiven Werten
> > multiplizierst, die auch alle kleiner als eins sind.
> >
> > Marius
>
> wie ich schon vermutet habe, ist es die fläche, die das
> Dreieck PQR einschließt, richtig?
>
Nein, das berechnest du in Aufgabe c)
Zeichne mal die drei Punkte ein, und den Ursprung. Zeichne dann die Ortsvektoren der Punkte ein, und "hänge diese als Vektorkette hintereinander". Danach überlege mal, was passiert, wenn [mm] \alpha=1 [/mm] und [mm] \beta=\gamma=0, [/mm] sowie was passiert, wenn [mm] \alpha=\gamma=0 [/mm] und [mm] \beta=1 [/mm] und was passiert, wenn einer der Parameter 0 ist, die anderen aber beliebig, oder, was passiert, wenn [mm] \alpha=\beta=\gamma=\frac{1}{3}
[/mm]
Scheinbar hast du keine gute dreidimensionale Vorstellung, dann musst du dir halt einige Fälle mal konkret durchzeichnen.
Marius
|
|
|
| |
|
>
> > > > [...] Richtig?
> > >
> > > Nein, [mm]\lambda=1[/mm] fürht zum Punkt Q, mit
> [mm]0\le\lambda\le1[/mm]
> > > erreichst du alle Punkte zwischen P und Q, überlege
> mal,
> > > warum.
> >
> > klar, wenn der parameter [mm]\lambda[/mm] = 1 ist, bin ich schon
> am
> > ende der strecke, und mit 0, wäre ich am anfang, also
> ist
> > alles dazwischen die definition der strecke, somit ist
> > [mm]0\le\lambda\le1[/mm] mit [mm]\lambda \in \IR[/mm] schon die antwort
> auf
> > die frage oder?
>
> Ja.
>
> > [...]
> > > Hier musst du die Werte finden, dass du nur die Punkte
> im
> > > Dreieck PQR erreichst.
> > > Eine Bedingung ist dabe [mm]\lambda+\mu\le1[/mm]
> > > Die anderen beiden Bedinungen findest du sicher
> selber,
> > > wenn du den Aufgabenteil mit der Strecke [mm]\overline{PQ}[/mm]
> aus
> > > Aufgabe a) verstanden hast.
> >
> > die zweite bedingung wäre demnach [mm]\lambda[/mm] + [mm]\mu \ge[/mm] 0
> > oder?
>
>
> Nein, du bekommst zwei Bedingungen, je eine an [mm]\lambda[/mm] und
> [mm]\mu[/mm]
> Fürhe die Überlegungen mit der Strecke PQ aus Aufgabe a)
> auch mal an der Ebene PQR durch. Auch hier ist P der
> Stützpunkt, du musst [mm]\lamda[/mm] so bestimmen, dass du zwischen
> P und Q bleibst, und dann [mm]\mu[/mm] so, dass du dann auch nicht
> über die Parallele zu PQ durch den Punkt R.
mit [mm] \mu [/mm] = konstant 0 und 0 [mm] \le \lambda \le [/mm] 1 bewege ich mich ja quasi auf der Strecke zwischen P und Q hin und her
umgekehrt mit [mm] \lambda [/mm] = 0 und 0 [mm] \le \mu \ge [/mm] 1 zwischen P und R
ich hab nur keine ahnung wie ich das mathematisch verknüpfe
>
>
> >
> >
> > > >
> > > > (d)
> > > >
> > > > alpha beta und gamma bewegen sich in einem
> > bestimmten
> > > > bereich, aber es ist wohl kein kreis wie beim
> > > > einheitskreis, da hier 3 variablen vorliegen,
> > eventuell
> > > ein
> > > > Dreieck?
> > >
> > > Zeichne doch mal die drei gegebenen Vektoren ein, und
> > > überlege, was passiert, wenn du diese mit positiven
> Werten
> > > multiplizierst, die auch alle kleiner als eins sind.
> > >
> > > Marius
> >
> > wie ich schon vermutet habe, ist es die fläche, die
> das
> > Dreieck PQR einschließt, richtig?
> >
>
> Nein, das berechnest du in Aufgabe c)
>
> Zeichne mal die drei Punkte ein, und den Ursprung. Zeichne
> dann die Ortsvektoren der Punkte ein, und "hänge diese als
> Vektorkette hintereinander". Danach überlege mal, was
> passiert, wenn [mm]\alpha=1[/mm] und [mm]\beta=\gamma=0,[/mm] sowie was
> passiert, wenn [mm]\alpha=\gamma=0[/mm] und [mm]\beta=1[/mm] und was
> passiert, wenn einer der Parameter 0 ist, die anderen aber
> beliebig, oder, was passiert, wenn
> [mm]\alpha=\beta=\gamma=\frac{1}{3}[/mm]
kann es sein dass ich mich in dem Raum bewege, den der Ursprung mit dem Dreieck einschließt? sprich eine art pyramide?
>
> Scheinbar hast du keine gute dreidimensionale Vorstellung,
> dann musst du dir halt einige Fälle mal konkret
> durchzeichnen.
Ganz im Gegenteil. Die ist bei mir überdurchschnittlich hoch, mein Problem ist immer die Aufgabenstellung und das formelle aufschreiben etc., ich verstehe beides nicht wirklich.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Sa 16.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> [...]
> > auch mal an der Ebene PQR durch. Auch hier ist P der
> > Stützpunkt, du musst [mm]\lamda[/mm] so bestimmen, dass du zwischen
> > P und Q bleibst, und dann [mm]\mu[/mm] so, dass du dann auch nicht
> > über die Parallele zu PQ durch den Punkt R.
>
> mit [mm]\mu[/mm] = konstant 0 und 0 [mm]\le \lambda \le[/mm] 1 bewege ich
> mich ja quasi auf der Strecke zwischen P und Q hin und her
>
> umgekehrt mit [mm]\lambda[/mm] = 0 und 0 [mm]\le \mu \ge[/mm] 1 zwischen P
> und R
>
> ich hab nur keine ahnung wie ich das mathematisch
> verknüpfe
Indem du aufschreibst:
[mm]0\le\lambda\le1\vee0\le\mu\le1\vee\lambda+\mu\le1[/mm]
>
>
> >
> >
> > >
> > >
> > > > >
> > > > > (d)
> > > > >
> > > > > alpha beta und gamma bewegen sich in einem
> > > bestimmten
> > > > > bereich, aber es ist wohl kein kreis wie beim
> > > > > einheitskreis, da hier 3 variablen vorliegen,
> > > eventuell
> > > > ein
> > > > > Dreieck?
> > > >
> > > > Zeichne doch mal die drei gegebenen Vektoren ein,
> und
> > > > überlege, was passiert, wenn du diese mit
> positiven
> > Werten
> > > > multiplizierst, die auch alle kleiner als eins
> sind.
> > > >
> > > > Marius
> > >
> > > wie ich schon vermutet habe, ist es die fläche, die
> > das
> > > Dreieck PQR einschließt, richtig?
> > >
> >
> > Nein, das berechnest du in Aufgabe c)
> >
> > Zeichne mal die drei Punkte ein, und den Ursprung. Zeichne
> > dann die Ortsvektoren der Punkte ein, und "hänge diese als
> > Vektorkette hintereinander". Danach überlege mal, was
> > passiert, wenn [mm]\alpha=1[/mm] und [mm]\beta=\gamma=0,[/mm] sowie was
> > passiert, wenn [mm]\alpha=\gamma=0[/mm] und [mm]\beta=1[/mm] und was
> > passiert, wenn einer der Parameter 0 ist, die anderen aber
> > beliebig, oder, was passiert, wenn
> > [mm]\alpha=\beta=\gamma=\frac{1}{3}[/mm]
>
> kann es sein dass ich mich in dem Raum bewege, den der
> Ursprung mit dem Dreieck einschließt? sprich eine art
> pyramide?
Das ist korrekt, ganz mathematisch ausgedrückt wäre es der Spat mit den Punkten O (Ursprung), P, Q und R.
>
> >
> > Scheinbar hast du keine gute dreidimensionale Vorstellung,
> > dann musst du dir halt einige Fälle mal konkret
> > durchzeichnen.
>
> Ganz im Gegenteil. Die ist bei mir überdurchschnittlich
> hoch, mein Problem ist immer die Aufgabenstellung und das
> formelle aufschreiben etc., ich verstehe beides nicht
> wirklich.
>
Marius
|
|
|
| |
|
und damit ist die aufgabe gelöst oder?
vielen vielen dank!
|
|
|
| |
|
ganz kurze frage noch: alpha beta und gamma ergeben zusammen immer 1, wie sehen die werte aus, wenn der ursprung als punkt rauskommen soll?
|
|
|
| |
|
> ganz kurze frage noch: alpha beta und gamma ergeben
> zusammen immer 1, wie sehen die werte aus, wenn der
> ursprung als punkt rauskommen soll?
Oh---
ich fürchte, auf den Ursprung müssen wir verzichten...
Du hast echt gut aufgepaßt.
In (d) bekommt man doch überhaupt keine Pyramide:
wir haben a,b,c>0 mit a+b+c=1
und betrachten die Vektoren
[mm] x=aP+bQ+cR=aP+bQ+(1-a-b)R=R+a\overrightarrow{RP}+b\overrightarrow{RQ}.
[/mm]
Das ist ein Teil der berechneten Ebene.
Es muß ja gelten [mm] 0
Das ist das Dreieck. Du lagst also anfänglich völlig richtig.
Einwände?
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:44 So 17.11.2013 | | Autor: | Frisco |
Hallo,
suche doch mal im Internet unter konvexe Linearkombination bzw. konvexe Hülle. Dort findest du recht gute Erklärungen die dir sicher beim Verständnis weiter helfen werden.
|
|
|
| |
|
> Hallo,
> suche doch mal im Internet unter konvexe Linearkombination
> bzw. konvexe Hülle. Dort findest du recht gute
> Erklärungen die dir sicher beim Verständnis weiter helfen
> werden.
Danke.
Aber ich glaube, ich habe das schon jetzt ganz gut verstanden.
LG Angela
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:36 So 17.11.2013 | | Autor: | Frisco |
Oh da ist mir ein fauxpas unterlaufen, das war keineswegs an dich gerichtet, entschuldige! Das richtete sich an den Disskussionseröffner barischtoteles 
|
|
|
| |
|
> Oh da ist mir ein fauxpas unterlaufen, das war keineswegs
> an dich gerichtet, entschuldige!
Ach was, ein bißchen zu lesen schadet doch niemandem!
LG Angela
> Das richtete sich an den
> Disskussionseröffner barischtoteles
|
|
|
| |
|
Soweit nicht. Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
> > kann es sein dass ich mich in dem Raum bewege, den der
> > Ursprung mit dem Dreieck einschließt? sprich eine art
> > pyramide?
>
> Das ist korrekt, ganz mathematisch ausgedrückt wäre es
> der Spat mit den Punkten O (Ursprung), P, Q und R.
Nee, Marius,
ein Spat ist doch ein Parallelepiped.
Der besagte Bereich ist eine Pyramide, nämlich die mit dem Eckpunkten 0,A,B,C.
LG Angela
EDIT, um Mißverständnissen vorzubeugen:
der gefragte Bereich in Aufgabe d) ist allerdings weder eine Pyramide noch ein Spat, s. dort.
|
|
|
|
