Geradengl. Mittelsenkrechte < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Dreieck ist durch die Punkte
A(3, 2, -1)
B(4, 5, 7)
C(-1, 1, 3)
beschrieben. Bestimmen sie den Schnittpunkt M aller Mittelsenkrechten. |
Servus zusammen,
Ich würde euch bitten, doch einmal meine Überlegungen zu kontrollieren, da ich nicht sicher weiß, wie ich diese sonst nachprüfen sollte.
Seien vorher folgende Definitionen:
[mm] \vec{a} [/mm] = (C - B) = [mm] \vektor{-5 \\ -4 \\ -4}
[/mm]
[mm] \vec{b} [/mm] = (A - C) = [mm] \vektor{4 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
[mm] \vec{c} [/mm] = (B - A) = [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 8}
[/mm]
Die Geradengleichung der Kante [mm] \vec{b} [/mm] laute
[mm] \vec{s_{b}}(x) [/mm] = C + [mm] x\*\vec{b}
[/mm]
Sei
[mm] \vec{M_{a}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\vec{a}
[/mm]
der Aufpunkt der Geradengleichung der Mittelsenkrechten auf der Kante [mm] \vec{a} [/mm] und die Geradengleichung der Mittelsenkrechten somit
[mm] \vec{m_{a}}(x) [/mm] = [mm] \vec{M_{a}} [/mm] + [mm] x\*\vec{m_{a}},
[/mm]
mit [mm] \vec{m_{a}} [/mm] dem Richtungsvektor der Mittelsenkrechten.
Nun konstruiere ich zur Kante [mm] \vec{a} [/mm] zwei rechtwinklinge, linear unabhängige Vektoren [mm] \vec{v_a1} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ -4 \\ 0} [/mm] und [mm] \vec{v_a2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -4 \\ 4}. [/mm] Eine Linearkombination aus diesen beiden MUSS den Richtungsvektor der Mittelsenkrechten bilden.
Die Gleichung der Mittelsenkrechten sieht also so aus:
[mm] \vec{m_{a}}(x) [/mm] = [mm] \vec{M_{a}} [/mm] + [mm] \lambda\vektor{5 \\ -4 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu\vektor{0 \\ -4 \\ 4}.
[/mm]
Diese Schneidet die Gerade von [mm] \vec{b}, [/mm] also gilt:
C + [mm] x\*\vec{b} [/mm] = [mm] \vec{M_{a}} [/mm] + [mm] \lambda\vec{v_a1} [/mm] + [mm] \mu\vec{v_a2}
[/mm]
[mm] \gdw x\*\vec{b} [/mm] - [mm] \lambda\vec{v_a1} [/mm] - [mm] \mu\vec{v_a2} [/mm] = [mm] \vec{M_{a}} [/mm] - C
Dieses ist ein wunderbares LGS:
[mm] \pmat{4 & -5 & 0 & -3.5 \\ 1 & 4 & 4 & -3 \\ -4 & 0 & -4 & -5}
[/mm]
Ergebnis:
x = -54
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{-85}{2}
[/mm]
[mm] \mu [/mm] = [mm] \bruch{221}{4}
[/mm]
Leider, wenn ich diese Zahlen für [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] in der Geradengleichung der Mittelsenkrechten einsetze, erhalte ich als Schnittpunkt [mm] \vektor{-215 \\ -53 \\ 219}. [/mm] Das sieht ja nun ziemlich falsch aus. Wo habe ich da einen Denkfehler gemacht?
Vielen Dank für die Mühe bis hierhin.
Mit vielen Grüßen,
Tim
PS:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:58 Do 29.03.2007 | | Autor: | wauwau |
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist doch der Umkreismittelpunkt m
die Gleichung des Umkreises (Umkreiskugel in der 3 dim) lautet aber
[mm](x - [mm] m)^{2} [/mm] = [mm] r^2[/mm] [mm]
m muss noch zusätzlich in der vom Dreieck aufgespannten Ebene liegen
damit hast du 4 Gleichungen mit 4 unbekannten
Lösung ergibt m
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:09 Do 29.03.2007 | | Autor: | wauwau |
> Ein Dreieck ist durch die Punkte
> A(3, 2, -1)
> B(4, 5, 7)
> C(-1, 1, 3)
> beschrieben. Bestimmen sie den Schnittpunkt M aller
> Mittelsenkrechten.
im 3-dimensionale Raum kannst du auch nur den Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten - Ebenen bestimmen!!!!
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{5\\ 4 \\4} [/mm] Mittelpunkt [mm] M_{a}= [/mm] (1.5 , 3 , 5) (=arithm. Mittel der Koordinaten)
Mittelgerade daher ( [mm] \vec{a} [/mm] ist Normalvektor dieser Ebene)
5x+4y+4z = (punkt eingesetzt) = 39,5
usw dann hast du ein Gleichungssystem, das du lösen kannst - und du erhältst den umkreisradius
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Servus,
vielen Dank für eure schnellen Antworten! Leider hilft mir das jeweils nicht allzuviel weiter, da wir die Aufgaben, wie ich erfahren habe, lediglich mit Hilfe des Skalarproduktes lösen können sollen.
Die Idee dazu habe ich auch schon: die Mittelsenkrechte [mm] \vec{m_{c}} [/mm] ist ja parallel zur Höhe [mm] \vec{h_{c}}. [/mm] Also brauche ich für die Höhe zwei Punkte. Einer ist natürlich C. Der Andere wäre A + (Projektion von [mm] \vec{a} [/mm] auf [mm] \vec{b}).
[/mm]
Diese Projektion ist offensichtlich möglich mit Hilfe des Skalarpoduktes.
So gilt u.a. auch (lediglich abgeschrieben aus dem Skript) [mm] \vec{a}\*\vec{b} [/mm] = [mm] \vec{b}\*\vec{a_b}. [/mm] Mit [mm] \vec{a_b} [/mm] ist der Vektor [mm] \vec{a} [/mm] Projiziert auf [mm] \vec{b}. [/mm] Allerdings lässt sich die Formel ja schlecht umstellen, durch das Vektorprodukt teilen ist ja nicht ;).
Leider habe ich das Skalarprodukt zu wenig verstanden, als dass ich den Vektor [mm] \vec{a_b} [/mm] errechnen könnte.
Könnt ihr mir da nocheinmal weiterhelfen?
Vielen Dank,
Mit freundlichen Grüßen,
Tim
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Mo 02.04.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Das ganze geht auch wie folgt.
1) Du stellst die Geraden [mm] g_{BC}:\vec{x}=\vec{b}+\lambda\overrightarrow{BC}, g_{AB}:\vec{x}=\vec{a}+\nu\overrightarrow{AB} [/mm] und
[mm] g_{CA}:\vec{x}=\vec{c}+\mu\overrightarrow{CA} [/mm] auf.
2) Du stellst die Ebene aus den Punkten A, B und C auf
[mm] E:\vec{x}=\vec{a}+\iota\overrightarrow{AB}+\zeta\overrightarrow{AC}
[/mm]
Diese wandelst du in Normalenform um.
Also [mm] E:\vec{n}*\vec{x}=d.
[/mm]
[mm] \vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} [/mm] (Kreuzprodukt)
und [mm] d=\vec{n}*\vec{a}(Skalarprodukt)
[/mm]
3)Jetzt hast du für die Gerade der Mittelsenkrechten
[mm] g_{\perp{AB}}:\vec{x}=\vec{c}+\omega\vec{u}
[/mm]
und für dieses u gilt:
[mm] 1)\vec{u}\perp\vec{n}\gdw\vec{u}*\vec{n}=0
[/mm]
[mm] 2)\vec{u}\perp\\overrightarrow{AB}\gdw\vec{u}*\overrightarrow{AB}=0
[/mm]
[mm] 3)\vec{u} [/mm] liegt in der Ebene, ist also eine Linearkombination aus den Richtungsvektoren der Ebene.
Damit hast du drei Bedingungen für drei Unbekannte Komponenten des Vektors [mm] \vec{u}=\vektor{u_{1}\\u_{2}\\u_{3}}
[/mm]
Marius
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