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Forum "Geraden und Ebenen" - Geradengleichung, Schnittpunkt
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Geradengleichung, Schnittpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:29 Do 03.05.2007
Autor: itse

Aufgabe 1
6. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g durch den Punkt A (0/-1/2) mit dem Richtungsvektor: [mm] $\vec [/mm] v$ =   [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm]

Liegen die Punkte B (1/-2/4) und C (3/-2/4) auf dieser Geraden?


Aufgabe 2
7. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden h durch die Punkte B und C aus Aufgabe 6. Wo schneiden sich die Geraden g und h?

Hallo zusammen,

hier meine Lösung, wäre nett wenn es sich jemand kurz anschaut, ob es stimmt? Danke


g: [mm] $\vec [/mm] x$ = [mm] $\vec [/mm] a$ + lambda * [mm] $\vec [/mm] v$

g: [mm] $\vec [/mm] x$ = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + lambda * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm]


[mm] $\vec [/mm] b$ = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + lambda * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm]

[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + lambda * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm]


1 =  0 + 1 * lambda,    lambda = 1
-2 = -1 -1 * lambda,    lambda = 1
4 = 2 + 2 * lambda,    lambda = 1

Der Punkt B liegt auf der Geraden g.


[mm] $\vec [/mm] c$ = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + lambda * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm]

[mm] \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + lambda * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm]


2 =  0 + 1 * lambda,    lambda = 3
-2 = -1 -1 * lambda,    lambda = 1
4 = 2 + 2 * lambda,    lambda = 1

Der Punkt C liegt nicht auf der Geraden g.


7.

h: [mm] $\vec [/mm] x$ = [mm] $\vec [/mm] b$ + lambda * [mm] ($\vec [/mm] c$ - [mm] $\vec [/mm] b$)

h: [mm] $\vec [/mm] x$ = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + lambda * [mm] (\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}) [/mm]

h: [mm] $\vec [/mm] x$ = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + lambda * [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]

stimm das, gibt es eine reihenfolge wie ich die punkte einsetzten muss? kann ich bei [mm] $\vec [/mm] b$ auch [mm] $\vec [/mm] c$ einsetzen? wie bestimme ich nun den schnittpunkt der geraden g und h?

        
Bezug
Geradengleichung, Schnittpunkt: Aufgabe 6
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:33 Do 03.05.2007
Autor: Roadrunner

Hallo itse!


Aufgabe 6 hast Du richtig gemacht! [ok]


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
        
Bezug
Geradengleichung, Schnittpunkt: Aufgabe 7
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:43 Do 03.05.2007
Autor: Roadrunner

Hallo itse!


> h: [mm]\vec x[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm] +  lambda * [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]

[ok]

  

> stimm das, gibt es eine reihenfolge wie ich die punkte  einsetzten muss?
> kann ich bei [mm]\vec b[/mm] auch [mm]\vec c[/mm] einsetzen?

[ok] Ja, das ist im Grunde egal. Aber wenn Du [mm] $\vec{c}$ [/mm] als Stützvektor nimmst, solltest Du für den Richtungsvektor auch konsequenterweise [mm] $\vec{b}-\vec{c}$ [/mm] rechnen.


> wie bestimme ich nun den schnittpunkt der geraden g und h?

Durch Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen:

[mm] $\vektor{0\\-1\\2}+\lambda*\vektor{-1\\-1\\2} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1\\-2\\4}+\kappa*\vektor{2\\0\\0}$ [/mm]

Hieraus nun ein Gleichungssystem erstellen und nach [mm] $\lambda$ [/mm] bzw. [mm] $\kappa$ [/mm] umstellen.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Geradengleichung, Schnittpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:25 Do 03.05.2007
Autor: itse

Hallo,

danke für die antwort. nur bei dem gleichsetzen weiß ich noch nicht weiter. wenn ich es gleichsetze hab ich ja zwei unbekannte (lambda usw.), wie erstelle ich nun daraus ein gleichungssystem?

Bezug
                        
Bezug
Geradengleichung, Schnittpunkt: aber 3 Gleichungen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Do 03.05.2007
Autor: Roadrunner

Hallo itse!


Es ist richtig, dass Du hier nun zwei Unbekannte hast ... aber auch drei Bestimmungsgleichungen:

$ [mm] \vektor{0\\-1\\2}+\lambda\cdot{}\vektor{-1\\-1\\2} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1\\-2\\4}+\kappa\cdot{}\vektor{2\\0\\0} [/mm] $

[mm] $\gdw$ [/mm]    $ [mm] \lambda\cdot{}\vektor{-1\\-1\\2}+\kappa\cdot{}\vektor{-2\\0\\0} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1\\-1\\2}$ [/mm]

[mm] $\gdw$ [/mm]      [I]     [mm] $-\lambda-2*\kappa [/mm] \ = \ 1$
        [II]    [mm] $-\lambda+0*\kappa [/mm] \ = \ -1$    [mm] $\gdw$ $-\lambda [/mm] \ = \ -1$
        [III]   [mm] $2*\lambda+0*\kappa [/mm] \ = \ 2$    [mm] $\gdw$ $2*\lambda [/mm] \ = \ 2$


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                
Bezug
Geradengleichung, Schnittpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:59 Do 03.05.2007
Autor: itse

hallo,


hab es noch nicht ganz kapiert. dann ist $ [mm] -\lambda [/mm] $ = 1

wenn ich das in g und h einsetze kommt:

g: [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm]
h: [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm]

raus. stimmt das so? dann schneiden sich die geraden also nicht?



Bezug
                                        
Bezug
Geradengleichung, Schnittpunkt: Vorzeichenfehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 Do 03.05.2007
Autor: Herby

Hallo itse,

[mm] \lambda [/mm] ist 1


dann klappt das :-)



Liebe Grüße
Herby

Bezug
                                                
Bezug
Geradengleichung, Schnittpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:28 Do 03.05.2007
Autor: itse

Hallo zusammen,

hab mich verschrieben wegen vorzeichenfehler. aber dann stimmt es dass sich die geraden nicht schneiden? stimmen die punkte die ich aus g und h berechnet hab? ich muss doch dann noch [mm] $\kappa$ [/mm] berechen? wenn ich in die erste Gleichung $ lambda = 1 $ einsetze und dann:

$ [mm] -1-2\cdot{}\kappa [/mm] \ = \ 1 $

$ [mm] \kappa [/mm] = -1/3$

h: $ [mm] \begin{pmatrix} 0,33 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] $

oder?



Bezug
                                                        
Bezug
Geradengleichung, Schnittpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:32 Do 03.05.2007
Autor: Herby

Hallo,


> Hallo zusammen,
>  
> hab mich verschrieben wegen vorzeichenfehler. aber dann
> stimmt es dass sich die geraden nicht schneiden? stimmen
> die punkte die ich aus g und h berechnet hab? ich muss doch
> dann noch [mm]\kappa[/mm] berechen? wenn ich in die erste Gleichung
> [mm]lambda = 1[/mm] einsetze und dann:
>  
> [mm]-1-2\cdot{}\kappa \ = \ 1[/mm]

nun [mm] \red{+}1 [/mm]

[mm] -2*\kappa=2 [/mm]

[mm] \kappa=-1 [/mm]



Liebe Grüße
Herby

Bezug
                                                                
Bezug
Geradengleichung, Schnittpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:37 Do 03.05.2007
Autor: itse

dann kommt bei h: [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] raus? dann schneiden sich die geraden nicht, oder?

Bezug
                                                                        
Bezug
Geradengleichung, Schnittpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:41 Do 03.05.2007
Autor: Herby

Hallo,


das Ergebnis für h habe ich auch, was ist mit g?

> dann kommt bei h: [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
> raus? dann schneiden sich die geraden nicht, oder?

da musst du dich irgendwo vertan haben, oder ich mich :-)


lg
Herby

Bezug
                                                                        
Bezug
Geradengleichung, Schnittpunkt: Schnittpunkt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:49 Do 03.05.2007
Autor: Roadrunner

Hallo itse!


Wenn Du - wie in unserem Falle - aus dem Gleichungssystem eine eindeutige Lösung für [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\kappa$ [/mm] erhalten hast, gibt es auch definitiv einen Schnittpunkt.

Wie Herby schon schrieb: setze nun auch den Wert für [mm] $\lambda$ [/mm] in die Geradengleichung von $g_$ ein und vergleiche die Ergebnisse.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                                                                
Bezug
Geradengleichung, Schnittpunkt: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:55 Do 03.05.2007
Autor: itse

hallo,

ich setze [mm] $\lambda$ [/mm] = 1 in g ein und bekomme:

$ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] $

das stimmt mit h nicht überein, also kein schnittpunkt?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Geradengleichung, Schnittpunkt: bitte vorrechnen!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:58 Do 03.05.2007
Autor: Roadrunner

Hallo itse!


Rechne mir das mal bitte genau vor ... ich erhalte jedenfalls dasselbe wie bei der Geraden $h_$ .


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                                                                                
Bezug
Geradengleichung, Schnittpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:37 Do 03.05.2007
Autor: itse

hallo,

also

g: $ [mm] \vec [/mm] x $ = $ [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] $ + [mm] $\lambda$ [/mm] * $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] $

dann setze ich für [mm] $\lambda$ [/mm] = 1 ein

g: $ [mm] \vec [/mm] x $ = $ [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] $ + 1 * $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] $

so ergeben sich drei vektrogleichungen:

0 + 1 * 1      = 1
-1 + 1 * (-1)   = -2
2 + 1 * 2      = 4


g: $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] $


wo liegt der fehler?

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Geradengleichung, Schnittpunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:46 Do 03.05.2007
Autor: itse

ich find den fehler nicht, hab ich vielleicht das falsche g genommen?

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Geradengleichung, Schnittpunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:28 Do 03.05.2007
Autor: itse

und bei h ist [mm] $\lambda$ [/mm] = -1

[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] $\lambda$ [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]


[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] - 1 * [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]


1 - 1 * 2 = -1
-2 - 1 * 0 = -2
4 - 1 * 0 = 4


stimmt nich mit g überein.

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Geradengleichung, Schnittpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:58 Do 03.05.2007
Autor: Herby

Hallo itse,

du hast ein "Minus" unterschlagen :-)

> hallo,
>  
> also
>
> g: [mm]\vec x[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] +
> [mm]\lambda[/mm] * [mm]\begin{pmatrix} \red{-}1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> dann setze ich für [mm]\lambda[/mm] = 1 ein

[daumenhoch] genau

> g: [mm]\vec x[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] + 1
> * [mm]\begin{pmatrix} \red{-}1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> so ergeben sich drei vektrogleichungen:
>  
> [mm] 0+1*\red{-}1 =\red{-1} [/mm]
>  -1 + 1 * (-1)   = -2
>   2 + 1 * 2      = 4
>  
>
> g: [mm]\begin{pmatrix} \red{-}1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
>  
>
> wo liegt der fehler?

nun stimmt es -- erledigt :-)


Liebe Grüße
Herby


Bezug
                                                                                                                
Bezug
Geradengleichung, Schnittpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:40 Fr 04.05.2007
Autor: itse

hallo zusammen,

wo kommt das minus her? die geradengleichung g lautet doch so:

g: $ [mm] \vec [/mm] x $ = $ [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] $ + [mm] $\lambda$ [/mm] * $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] $

und dann für [mm] $\lambda$ [/mm] = 1 wie beim gleichsetzen ausgerechnet. und dann kommt g: $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ [/mm] raus?

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Geradengleichung, Schnittpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:11 Fr 04.05.2007
Autor: Sigrid

Hallo Itse,

in eurer Rechnung ist euch ein Übertragungsfehler unterlaufen. Ihr seid von folgender Gleichung ausgegangen:

  $ [mm] \vektor{0\\-1\\2}+\lambda\cdot{}\vektor{-1\\-1\\2} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1\\-2\\4}+\kappa\cdot{}\vektor{2\\0\\0} [/mm] $

Es muss aber

$ [mm] \vektor{0\\-1\\2}+\lambda\cdot{}\vektor{1\\-1\\2} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1\\-2\\4}+\kappa\cdot{}\vektor{2\\0\\0} [/mm] $

heißen.

Dann kommt $ [mm] \lambda [/mm] = 1$  und [mm] $\kappa [/mm] = 0$ heraus und damit klappt's.

Gruß
Sigrid




Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Geradengleichung, Schnittpunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:21 Fr 04.05.2007
Autor: itse

danke!

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Geradengleichung, Schnittpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:54 Fr 04.05.2007
Autor: Herby

Hallo itse,

> hallo zusammen,
>  
> wo kommt das minus her? die geradengleichung g lautet doch
> so:
>  
> g: [mm]\vec x[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] +
> [mm]\lambda[/mm] * [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> und dann für [mm]\lambda[/mm] = 1 wie beim gleichsetzen
> ausgerechnet. und dann kommt g: [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
> raus?

ja, du hast recht [anbet] -- ich hatte mich dummerweise auf das hier verlassen:

[guckstduhier]  Antwort vom Straßenvogel


tut mir leid, aber Sigrid hat es ja nun klar gestellt :-)


Liebe Grüße
Herby

-- ps. -- der Roadrunner ist auch nur ein kleiner Mensch [grins] --

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