Geradengleichung aufstellen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Sa 24.01.2009 | | Autor: | yacuza |
| Aufgabe | Gegeben sind die Ebene E : 2x1 − 2x2 + x3 = 6 , der Punkt P(−1; 1;−2)
und die Gerade g : x = [2,−1,−1]⊤ + t · [2, 2,−1]⊤ (t ∈ R) .
(b) Geben Sie eine Gerade h an, die in E liegt und g senkrecht schneidet. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, bin grade in der Prüfungsvorbereitung und rechne schon ziemlich lange an dieser Aufgabe herum.
Was ich bisher gemacht habe:
Schnittpunkt von Grade und Ebene berechnet
2(2+t)-2(-1+2t)+(-1-t)=6
und komme auf einen Schnittpunkt von [mm] S(0;-3;0)^T
[/mm]
Eine Grade h, die in E liegt und auf g senkrecht steht sollte also den Stützvektor S haben und einen Richtungsvektor der senkrecht auf dem Richtungsvektor von g steht:
Winkel muss also 90 grad sein, cos90=0
[mm] 0=\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
[/mm]
Da habe ich dummerweise eine Gleichung und drei Unbekannte
z=t und y=r und x=-t+0,5r
--> [mm] t\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] r\begin{pmatrix} 0,5 \\ y \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
so komme ich gleich auf 2 Gleichungen:
[mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 0,5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Sollte aber theoretisch nur eine geben oder?
Wäre über Hinweise und Anregungen dankbar!
gruß yacuza
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Sa 24.01.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo yacuza,
> Gegeben sind die Ebene E : 2x1 − 2x2 + x3 = 6 , der
> Punkt P(−1; 1;−2)
> und die Gerade g : x = [2,−1,−1]⊤ + t ·
> [2, 2,−1]⊤ (t ∈ R) .
>
> (b) Geben Sie eine Gerade h an, die in E liegt und g
> senkrecht schneidet.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo, bin grade in der Prüfungsvorbereitung und rechne
> schon ziemlich lange an dieser Aufgabe herum.
>
> Was ich bisher gemacht habe:
>
> Schnittpunkt von Grade und Ebene berechnet
>
> 2(2+t)-2(-1+2t)+(-1-t)=6
>
> und komme auf einen Schnittpunkt von [mm]S(0;-3;0)^T[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Eine Grade h, die in E liegt und auf g senkrecht steht
> sollte also den Stützvektor S haben und einen
> Richtungsvektor der senkrecht auf dem Richtungsvektor von g
> steht:
> Winkel muss also 90 grad sein, cos90=0
> [mm]0=\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/mm]
>
> Da habe ich dummerweise eine Gleichung und drei Unbekannte
Du hast noch gar nicht benutzt, dass die Gerade in der Ebene liegt, d.h. doch, dass der RV von h auch senkrecht zum Normalenvektor der Ebene steht.
>
> z=t und y=r und x=-t+0,5r
>
> --> [mm]t\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] und
> [mm]r\begin{pmatrix} 0,5 \\ y \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> so komme ich gleich auf 2 Gleichungen:
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 0,5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Sollte aber theoretisch nur eine geben oder?
Richtig. Deine Geraden liegen aber auch beide nicht in E.
>
> Wäre über Hinweise und Anregungen dankbar!
Ich denke, jetzt kommst Du alleine weiter.
Gruß
Sigrid
>
> gruß yacuza
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:50 So 25.01.2009 | | Autor: | yacuza |
Ja, ok, da habe ich nicht dran gedacht.
Dann sieht die Sache schon besser aus.
0=2x+2y-z und 0=2x-2y+z
z=t
daraus ergibt sich x=0 und y=0,5t
t [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0,5 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
und h: [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] t [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0,5 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Ich denke jetzt sollte es stimmen.
Vielen Dank für den Tipp
gruß yacuza
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