Geradengleichung aufstellen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Do 14.06.2012 | | Autor: | Lewser |
| Aufgabe | | Durch den gegebenen Punkt P(4;1) ist eine Gerade derart zu legen, dass die Summe der Längen der positiven Abschnitte, die von ihr auf den Koordinatenachsen abgetrennt werden, am kleinsten ist. |
Aufgestellt habe ich:
HB: [mm] S=x_{0}+y_{0}
[/mm]
Als Nebenbedingung dachte ich mir wende ich den Strahlensatz an:
NB: [mm] \bruch{x_{0}}{x_{0}-4}=\bruch{1}{y_{0}}
[/mm]
Entweder habe ich hier bereits einen Fehler eingebaut oder in den folgenden Schritten. Kann jemand hier einmal meinen Ansatz überprüfen?
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Hallo,
> Aufgestellt habe ich:
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> HB: [mm]S=x_{0}+y_{0}[/mm]
>
> Als Nebenbedingung dachte ich mir wende ich den
> Strahlensatz an:
>
> NB: [mm]\bruch{x_{0}}{x_{0}-4}=\bruch{1}{y_{0}}[/mm]
>
> Entweder habe ich hier bereits einen Fehler eingebaut oder
> in den folgenden Schritten. Kann jemand hier einmal meinen
> Ansatz überprüfen?
Es ist ein Fehler eingebaut. In deiner Nebenbedingung muss die bisher unbekannte Steigung der Geraden vorkommen. Gehe daher folgendermaßen vor:
- Stelle die Gleichung der Geradenschar durch den Punkt P in der Form y=mx+b auf.
- Berechne die Nullstelle [mm] x_0 [/mm] dieser Geraden in Abhängigkeit von m
- Zu minimieren ist dann die Summe [mm] x_0+b. [/mm] Beide Summanden hängen dabei nur von m ab!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Do 14.06.2012 | | Autor: | Lewser |
Das tut mir leid, das verstehe ich nicht.
Also meine Nebenbedingungen sind dann:
1=4m+b und 0=mx+b ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Do 14.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Geradengleichung : y=mx+b
Gerade geht durch (4|1): 1=4m+b, also b=1-4m
Sei [mm] (x_0|0) [/mm] der Schnittpunkt mit der x-Achse: [mm] 0=mx_0+b, [/mm] also
[mm] x_0=- \bruch{b}{m}=4-\bruch{1}{m}
[/mm]
Zu minimieren ist also
[mm] g(m)=x_0+b=5-4m-\bruch{1}{m}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Do 14.06.2012 | | Autor: | Lewser |
Vielen Dank, das habe ich soweit verstanden. Einziges Problem, das ich jetzt noch habe ist die "5" in der Hauptbedingung. Wo kommt die her? (Das ist nach meinem Verständnis doch das "b" oder?)
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Hallo,
> Vielen Dank, das habe ich soweit verstanden. Einziges
> Problem, das ich jetzt noch habe ist die "5" in der
> Hauptbedingung. Wo kommt die her? (Das ist nach meinem
> Verständnis doch das "b" oder?)
5=1+4
Die 1 vom b, die 4 vom [mm] x_0...
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Do 14.06.2012 | | Autor: | Lewser |
Gut, danke ihr beiden. Die 5 hatte ich nicht, weil ich auf meinem Zettel einen Vorzeichenfehler gemacht habe. Ich komme auch auf das richtige Ergebnis.
Wenn ich die HB Ableite und Null setze, dann bekomme ich Wurzel aus 0,25 und somit 0,5 und -0,5.
An dieser Stelle gibt es in meinem Kopf zwei Möglichkeiten herauszufinden, welches Ergebnis richtig ist:
-Die logische Folgerung, dass die Steigung negativ sein MUSS, da die Gerade sonst kein Dreieck mit den Achsen bildet (im positiven Bereich).
- Die zweite Ableitung untersuchen
Das Ergebnis, das ich habe ist auch das auf dem Lösungszettel.
Jetzt habe ich dazu aber eine Frage:
Was wäre, wenn die größt mögliche Summe gesucht worden wäre (ebenfalls im positiven Bereich)?
Ich habe zwar ein Maximum, aber die Gerade schneidet ja die positiven Achsabschnitte nicht ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Do 14.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die größ möglichen summen gibt es nicht, [mm] y_0 [/mm] wird beliebig gross, falls man die steigung immer größer macht, das Max ist also unendlich, bei der Geraden x=4 oder [mm] x_0 [/mm] unendlich bei y=1
zu deiner ursprünglichen lösung mit dem strahlensatz: da hattest du nur einen Fehler:
du hattest:
$ [mm] \bruch{x_{0}}{x_{0}-4}=\bruch{1}{y_{0}} [/mm] $
richtig wäre
$ [mm] \bruch{x_{0}}{x_{0}-4}=\bruch{1}{y_{0}-1} [/mm] $
der Weg war also richtig. nur musst du am Ende dann noch die Gerade durch die Punkte bestimmen.
am einfachsten ist die Achsenabschnittsgleichung :
x/a+y/b=1 dann sind a unnd b die Achsenabschnitte, wei man leicht sieht, wenn man x=0 oder y=0 einstzt.
darin ((4,1) einsetzen gibt die Bez zw a und b
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Do 14.06.2012 | | Autor: | Lewser |
Vielen dank, auf das mit dem Maximum hätte ich auch selber kommen dürfen ...
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