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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Mi 04.08.2010 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | Entlang einer einspurig geführten Autobahnbaustelle fährt eine Fahrzeugkolonne mit konstanter Geschwindigkeit [mm] \;v. [/mm] Die Kraftfahrzeuge haben eine durchschnittliche Länge [mm] \;L. [/mm] Alle halten sich (erstaunlicherweise) an den Sicherheitsabstand [mm] \;s [/mm] zum Vordermann, wobei der Bremsweg quadratisch mit der Geschwindigkeit wächst. Der nötige Sicherheitsabstand ist bestimmt durch: [mm] s=v\cdot{}t_R+c\cdot{}v^2 [/mm]
Wobei die Konstanten [mm] \;t_R [/mm] die Reaktionszeit und [mm] \;c [/mm] die Bremsverzögerung beschreiben.
Bei welcher Geschwindigkeit der Kolonne ist die Zahl der die Baustelle passierenden Fahrzeuge pro Zeit maximal?
(Hinweis: [mm] \;t(v) [/mm] muß minimal sein.)
Berechnen Sie auch das Zahlenbeispiel: [mm] \;L=4,2m,\;t_R=0,8s,\; [/mm] und [mm] \;c=0,025\bruch{s^2}{m}. [/mm] |
Hallo, ich habe nun den Halliday und die ersten 3 Kapitel (Gewschwindigkeit und Beschleunigung) durchgearbeitet, aber auf die Lösung dieser Aufgabe komme ich nicht. Habt ihr eine Lösungsidee, wie Halliday jetzt sagen würde?
Was ist [mm] \;t(v) [/mm] und wie gehe ich mit [mm] \;L [/mm] um?
LG Lzaman
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Hallo!
Das L ist nur ein Zahlenwert, es ist die Länge der Fahrzeuge selbst.
Stell dir vor, ein Bauarbeiter mißt die Zeit, die nach dem Vorbeifahren eines Fahrzeugs vergeht, bis das nächste Fahrzeug vorbei kommt. Präziser: den zeitlichen Abstand zwischen den vorderen Stoßstangen oder anderen Referenzpunkten der Fahrzeuge. Die Distanz zwischen den Stoßstangen setzt sich aus der Fahrzeuglänge und dem Abstand zwischen den Wagen zusammen.
Kennst du jetzt noch die Geschwindigkeit der Fahrzeuge, kannst du einen Ausdruck für diese Zeit angeben.
Das Problem: Der Abstand ist auch von der Geschwindigkeit abhängig.
Eine höhere Geschwindigkeit bedeutet einerseits eine kürzere Zeit zwischen den Fahrzeugen, der gleichzeitig wachsende Abstand wirkt dem aber entgegen. Deine Zeit t ist also von der Geschwindigkeit v abhängig (und von ein paar Konstanten), also t(v)
Die Zeit soll minimal werden, und an der Stelle kannst du das Physikbuch zur Seite legen, und das Mathe-Buch heranholen. Wie berechnet man, wann eine Funktion einen Extremwert erreicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mi 04.08.2010 | | Autor: | lzaman |
Also muss ich einfach die gegebene Funktion ableiten und gleich 0 setzen? Meinst du das ist dann damit erledigt?
Nur welche Funktion nehme ich hier? Ich schaffe es nicht mir das vorzustellen? Nach deiner Aussage müsste auch [mm] \;L [/mm] gar nicht angegeben werden oder doch?
LG Lzaman
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Hallo!
> Also muss ich einfach die gegebene Funktion ableiten und
> gleich 0 setzen? Meinst du das ist dann damit erledigt?
>
Korrekt. Wenn ich das grade richtig sehe, ist das t(v) eine kubische Funktion, man müßte sich daher überlegen, wie sich das mit Minimum und Maximum verhält.
Ist aber letztendlich einfach: mit sehr hoher Geschwindigkeit nimmt die Zeit wegen der größer werdenden Sicherheitsabstände immer weiter zu. Es ist also eine kubische Funktion, die für [mm] v\mapsto\infty [/mm] gegen [mm] +\infty [/mm] strebt. Sofern es also zwei Extrema gibt, ist das erste ein Maximum, und das zweite ein Minimum.
> Nur welche Funktion nehme ich hier? Ich schaffe es nicht
> mir das vorzustellen? Nach deiner Aussage müsste auch [mm]\;L[/mm]
> gar nicht angegeben werden oder doch?
>
Naja, du hast verschiedene Parameter, die du nicht kennst. Neben der Fahrzeuglänge L ist das auch die Reaktionszeit [mm] t_R [/mm] sowie dieses c . Alles drei Parameter, die als Konstanten in die Rechnung eingehen. Daher verstehe ich grade nicht ganz, was du ausschließlich auf dem L rumreitest.
Später, im zweiten Aufgabenteil, sollst du für die drei Parameter Zahlenwerte einsetzen, vorher aber nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:01 Do 05.08.2010 | | Autor: | lzaman |
Hi, ich reite auf dem [mm] \;L [/mm] rum, weil der Parameter in der angegebenen Gleichung nicht auftaucht. Und ich habe immer noch keine Lösung finden können. Ich bleibe aber dran...
LG Lzaman
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Hallo!
Dann lies mal genauer, was ich geschrieben habe. Die Formel, die dir gegeben wurde, gibt dir ausschließlich den Sicherheitsabstand, also freien Raum zwischen den Wagen wieder. Du benötigst aber den Abstand zwischen den vorderen Stoßstangen oder anderen Referenzpunkten, und dann benötigst du die Wagenlänge L.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:58 Do 05.08.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
um den Gedanken von Event_Horizon fortzusetzen betrachte den Platz den ein Auto bei der Kolonnenfahrt benötigt.
Das Auto benötigt L+s(v) Meter mit [mm] s(v)=t_R*v+c*v^2 [/mm] und diese Entfernung wird in [mm] \bruch{L+s(v)}{v} [/mm] Sekunden durchfahren. In der Zeiteinheit T fahren also [mm] \bruch{T}{\bruch{L+s(v)}{v}} [/mm] Autos an der Messstelle vorbei, oder wenn N die Anzahl der Autos pro Zeiteinheit T ist
[mm] N(v)=\bruch{v}{L+s(v)}*T
[/mm]
Für den Ausdruck N(v) musst Du ein Maximuma finden, also erste und zweite Ableitungen bilden und nach bekanntem Verfahren vorgehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 Fr 06.08.2010 | | Autor: | lzaman |
Hallo, danke für eure Antworten. Nächste Woche bekomme ich eine Musterlösung zu dieser Aufgabe, dann kann ich hoffentlich mehr damit anfangen. Ich kann mir vorstellen, dass es trivialer ist als es aussieht. Ich werde diese dann bekannt geben.
Danke
LG Lzaman
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Hallo!
Na, das geht einfacher.
Du bekommst hier einen Bruch mit nem Polynom im Nenner. Das ist gar nicht schön abzuleiten.
Stattdessen ist die Zeit t doch durch [mm] t(v)=\frac{L+t_R\cdot{}v+c\cdot{}v^2 }{v} [/mm] gegeben. Hier kann man wunderbar ausklammern, und hat als Bruch letztendlich nur noch [mm] \frac{L}{v} [/mm] da stehen. Das t(v) ist die Zeit, die ein einzelnes Auto zum Passieren braucht, und wenn die minimal ist, ist die Anzahl der Autos maximal. Deren Minimum läßt sich aber einfacher berechnen als dein Maximum.
(Ansonsten habe ich verquert gedacht, das ist kein kubisches Polynom)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 Sa 07.08.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Hallo!
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> Na, das geht einfacher.
>
> Du bekommst hier einen Bruch mit nem Polynom im Nenner. Das
> ist gar nicht schön abzuleiten.
So oder so steht im Nenner ein Polynom in v, mal eins mit Grad 1 und mal eins mit Grad 2.
> Stattdessen ist die Zeit t doch durch
> [mm]t(v)=\frac{L+t_R\cdot{}v+c\cdot{}v^2 }{v}[/mm] gegeben.
Das stand in meiner Antwort denke ich auch.
> Hier kann man wunderbar ausklammern, und hat als Bruch
> letztendlich nur noch [mm]\frac{L}{v}[/mm] da stehen.
Hier weiss ich nicht was Du meinst, Ich seh da nichts mit ausklammern. Bei beiden Ansätzen kommt auf jeden Fall heraus, das [mm] v=\wurzel{\bruch{L}{c}} [/mm] gilt.
> Das t(v) ist die Zeit, die ein einzelnes Auto zum Passieren braucht, und
> wenn die minimal ist, ist die Anzahl der Autos maximal.
> Deren Minimum läßt sich aber einfacher berechnen als dein
> Maximum.
>
>
> (Ansonsten habe ich verquert gedacht, das ist kein
> kubisches Polynom)
Ja, t(v) entspricht der obigen Formel.
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Hi!
Es ist kein Fehler, nein. Ich denke nur, das Maximum von deinem N zu berechnen, ist (wenig) aufwändiger, da im Nenner eine Summe aus Potenzen steht.
Von daher ist das Ableiten von
$ [mm] t(v)=\frac{L+t_R\cdot{}v+c\cdot{}v^2 }{v} =\frac{L}{v}+t_R+cv$ [/mm]
etwas einfacher: [mm] $t'(v)=-\frac{L}{v^2}+c=0 [/mm] \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ [mm] v=\sqrt{\frac{L}{c}}$
[/mm]
Wenn man das über N macht, so hat man
[mm] N(v)=\frac{v*T}{L+t_R*v+c*v^2}
[/mm]
was sich beim Ableiten etwas aufbläht:
[mm] N'(v)=\frac{T*(L+t_R*v+c*v^2)-v*T*(t_R+2cv)}{(L+t_R*v+c*v^2)^2}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 Mi 11.08.2010 | | Autor: | lzaman |
Hallo,
hier ist mal ein Lösungsvorschlag.
Von hinterer Stoßstange zu der hinteren Stoßstange des nächsten Autos ist die gesamte Strecke
[mm] S_{ges}=L+s=L+v*t_R+c*v^2 [/mm] (s. Bild)
[Dateianhang nicht öffentlich]
mit [mm] v=\bruch{S_{ges}}{t}\;\gdw\;t=\bruch{S_{ges}}{v} [/mm]
[mm] \Rightarrow\; t(v)=\bruch{L}{v}+t_R+c*v
[/mm]
[mm] \Rightarrow\; t'(v)=-\bruch{L}{v^2}+c=0 [/mm] für Extrema
[mm] \Rightarrow\; v_{1|2}=\pm\wurzel{\bruch{L}{c}}
[/mm]
[mm] t''(v)=2\bruch{L}{v^3} [/mm] So und ist nun [mm] t''\left(\wurzel{\bruch{L}{c}}\right)>0 [/mm] , so folgt ein Minima.
Nimmt man jetzt die Werte vom Beispiel, so erhält man:
[mm] v_1=46,66\bruch{km}{h} [/mm] und [mm] t(v_1)=1,448s
[/mm]
LG Lzaman
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo!
Ja, genau so haben wir uns das gedacht!
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