Gesetz d großen Zahl, Grenzwer < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:01 Do 01.01.2009 | | Autor: | Damn88 |
| Aufgabe | Es sei [mm] (X_n)_{n\in \IN} [/mm] eine Folge integrierbarer Zufallsvariablen auf [mm] (\Omega,F,P) [/mm] mit [mm] E(X_i)=\mu. [/mm] Setze [mm] Yn=1/n*\summe_{i=1}^{n}(X_i-E(X_i)), n\in\IN. [/mm] Man zeige:
Die Folge [mm] (X_n)_{n\in \IN} [/mm] genügt genau dann dem schwachen Gesetz der großen Zahlen, wenn
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} E(\bruch{Y_n^2}{1+Y_n^2})=0 [/mm] |
Hey, ich sitz jetzt schon lange an dieser Aufgabe und komm nicht weiter..
100%ig sicher bin ich mir auch nicht, was hier mit "genügen" gemeint ist..
Ich schreib erst mal unser schwaches Gesetz der großen Zahl auf!
[mm] S_n [/mm] = [mm] X_1+...+X_n (X_i [/mm] ZV)
Seien [mm] E(X_i)= \mu [/mm] unabhängig von i und die Varianzen im Schnitt beschränkt, [mm] sup_n 1/n*\summe_{i=1}^{n}Var(X_i) <\infty. [/mm] Sind die Zufallsvariablen [mm] {X_i} [/mm] unkorreliert, so gilt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P(|S_n/n [/mm] - [mm] \mu| \ge \varepsilon [/mm] )=0 für jedes [mm] \varepsilon [/mm] >0.
So nun hoffe ich das ich zeigen muss:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} E(\bruch{Y_n^2}{1+Y_n^2})=0
[/mm]
<=> [mm] sup_n 1/n*\summe_{i=1}^{n}Var(X_i) <\infty [/mm] und die Zufallsvariablen [mm] {X_i} [/mm] sind unkorreliert
Die Rückrichtung hab ich wie folgt angefangen:
[mm] sup_n 1/n*\summe_{i=1}^{n}Var(X_i) <\infty [/mm] und die Zufallsvariablen [mm] {X_i} [/mm] sind unkorreliert => [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P(|S_n/n [/mm] - [mm] \mu| \ge \varepsilon [/mm] )=0 für jedes [mm] \varepsilon [/mm] >0
Es gilt: [mm] Y_n [/mm] = 1/n* [mm] \summe_{i=1}^{n} X_i [/mm] - [mm] \mu
[/mm]
Also [mm] gilt:\limes_{n\rightarrow\infty} P(|Y_n| \ge \varepsilon [/mm] )=0 für jedes [mm] \varepsilon [/mm] >0
Nun hatten wir in der Vorlesung einen Hilfssatz:
Sei h(x) eine positive wachsende Funktion. Dann gilt:
[mm] h(c)*P(X\ge [/mm] c) [mm] \le [/mm] E(h(X))
Nun bin ich mir nicht sicher ob ich h(x)= [mm] \bruch{x^2}{1+x^2}definieren [/mm] kann.. denn dann wäre h ja nur für x>= positiv und wachsend...kann man das trotzdem machen?
dann hätte ich:
[mm] \bruch{\varepsilon^2}{1+\varepsilon^2}P(|Y_n| \ge \varepsilon [/mm] ) [mm] \le E(\bruch{Y_n^2}{1+Y_n^2})
[/mm]
[mm] \bruch{\varepsilon^2}{1+\varepsilon^2} [/mm] ist beschränkt, also geht auch [mm] \bruch{\varepsilon^2}{1+\varepsilon^2}P(|Y_n| \ge \varepsilon [/mm] ) gegen 0..
wenn ich jetzt noch einen Ausdruck H finden würde, mit H-> 0 und [mm] E(\bruch{Y_n^2}{1+Y_n^2}) \le [/mm] H
wäre ich fertig^^
aber ich finde so ein H nicht..
ich bin all unsere Ungleichungen durchgegangen und finde keine mit der ich einen Erwartungswert nach oben abschätzen könnte..
habt ihr hier vielleicht einen Tipp für mich oder ist das bis hier eh schon nicht richtig?
für "=>" hab ich leider noch gar keinen erwähnungswerten Ansatz..da ich hier einfach keine richtige "Verbindung" zwischen [mm] Y_n, sup_n 1/n*\summe_{i=1}^{n}Var(X_i) <\infty [/mm] und der Covarianz finde
Ich wäre echt für jeden Tipp dankbar!!
Viele Grüße,
Damn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 So 04.01.2009 | | Autor: | Damn88 |
Mh, ich bin hier immer noch kein Stück weiter gekommmen..
wäre lieb wenn jemand weiß, ob ich die Aufgabestellung überhaupt richtig verstanden habe.. also das mit dem "genügt"..und mir das sagt ;)
oder vielleicht ein gutes Beispiel hierfür hat..damit ich mal schauen kann wie das überhaupt geht(hab nichts gutes gefunden..)
Viele Grüße, Damn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 07.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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