Gesetz der großen Zahlen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
kann mir jemand den Unterschied zwischen stochastischer und fast sicherer Konvergenz erklären?
Vielen Dank schon mal!
Martina
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 Mi 05.10.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Martina!
Die fast sichere Konvergenz ist stärker als die stochastische Konvergenz!
Was die ($P$-)fast sichere Konvergenz ist, kann man ja fast erraten: Die Menge, derjenigen [mm] $\omega \in \Omega$, [/mm] für die [mm] $(X_n(\omega))_{n \in \IN}$ [/mm] nicht gegen [mm] $X(\omega)$ [/mm] konvergiert, muss eine Nullmenge sein.
Die ($P$-)stochastische Konvergenz besagt:
Für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gilt:
(1) [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} P(|X_n-X| [/mm] > [mm] \varepsilon) [/mm] = 0$.
Nun lässt sich die lette Bedingung schwer mit der ersten vergleichen. Beachte aber, dass die ($P$)-fast sichere Konvergenz äquivalent auch wie folgt ausgedrückt werden kann:
Für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gilt:
(2) [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} P(\sup\limits_{m \ge n} |X_m-X| [/mm] > [mm] \varepsilon) [/mm] = 0$.
Und wenn man jetzt mal (1) und (2) vergleicht, dann sieht man ganz deutlich, dass (2) (also die ($P$)-fast sichere Konvergenz) eindeutig stärker ist, d.h. aus der ($P$)-fast sicheren Konvergenz folgt die ($P$)-stochastische Konvergenz.
Hier ein Beispiel für eine Folge, die zwar stochastisch, aber nicht fast sicher konvergiert:
Betrachte auf dem Intervall $[0,1)$, versehen mit dem Lebesguemaß [mm] $\lambda$, [/mm] die Folge [mm] $(1_{A_n})_{n \in \IN}$ [/mm] mit
[mm] $A_n:=[k2^{-h} [/mm] , [mm] (k+1)2^{-h}[$,
[/mm]
wobei [mm] $n=2^h+k$, $0\le [/mm] k < [mm] 2^h$, $h,k\, \in \IZ$.
[/mm]
Stell dir das so vor: Die [mm] $A_n$'s [/mm] durchlaufen das Intervall $[0,1)$ immer wieder, und zwar als immer kleinere Intervalle, von links nach rechts.
Offenbar kann dann durch dieses ständige Durchlaufen [mm] $(1_{A_n})_{n \in \IN}$ [/mm] nicht konvergieren (denn immer wieder wird der Wert für ein festes [mm] $\omega$ [/mm] gleich $1$ und dann ganz oft hintereinander $0$, bis er irgendwann wieder $1$ wird und dann wieder ganz oft hintereinander $0$, usw.).
Andererseits gilt aber:
[mm] $\lambda(|1_{A_n}| \ge \varepsilon) \le 2^{-h} [/mm] < [mm] \frac{2}{n}$
[/mm]
(denn [mm] $1_{A_n}$ [/mm] ist überall gleich $0$, außer in einem Intervall der Länge [mm] $2^{-h}$).
[/mm]
Wir haben also:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \lambda(|1_{A_n}| \ge \varepsilon) [/mm] =0$,
d.h. [mm] $(1_{A_n})_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert stochastisch gegen die Nullfunktion.
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
Hallo Julius!
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort; sie hat mir auf jeden Fall schon weitergeholfen. Leider versteh ich noch nicht, wieso die fast sichere Konvergenz gleichbedeutend ist mit
[mm] $\limes_{n \rightarrow \infty} [/mm] P [mm] \left(sup| X_m - X| > \epsilon \right) [/mm] = 0$ ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Mi 12.10.2005 | | Autor: | Julius |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Es sei
$A :=\left\{\omega \in \Omega\, : \, \lim\limits_{n \to \infty} X_n(\omega)=0\}$.
Dann gilt:
$A = \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \left\{\sup\limits_{m \ge n} |X_m(\omega) - X(\omega)| \le \frac{1}{k} \right\}$
und daher:
$A^c = \bigcup\limits_{k=1}^{\infty} \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \left\{ \sup\limits_{m \ge n} |X_m(\omega) - X(\omega)| > \frac{1}{k} \right\}$.
Wegen der Stetigkeit des W-Maßes $P$ folgt:
$P(A^c) = \sup\limits_{k \in \IN} \lim\limits_{n \to \infty} P\left( \sup\limits_{m \ge n} |X_m - X| > \frac{1}{k} \right)$.
Also gilt $P(A^c)=0$ genau dann, wenn für alle $k \in \IN$
$\lim\limits_{n \to \infty} P\left( \sup\limits_{m \ge n} |X_m - X| > \frac{1}{k} \right) = 0$
gilt. Dies wiederum ist genau dann der Fall, wenn für alle $\varepsilon >0$ gilt:
$\lim\limits_{n \to \infty} P\left( \sup\limits_{m \ge n} |X_m - X| > \varepsilon \right) = 0$.
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
|
