Gew. DGL Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 Di 07.01.2014 | | Autor: | Uexkuel |
| Aufgabe | Eine Population P=P(t) habe eine konstante relative Geburts-und Sterberate alpha und beta und eine konstante Migrationsrate m:Dabei sei alpha,beta,m > 0 mit alpha > beta vorausgesetzt. Die momentane Änderungsrate der Population zur Zeit t werde durch due DGL dP/dt = k*P - m modelliert, wobei k=alpha-beta.
a) Lösen sie das Anfangswertproblem P(0)=P
b) …… nicht mehr relevant für Fragestellung |
Hallo zusammen,
das ist meine erste Frage an das Forum, hoffe dass ich sie genug weit konkret beschreibe.
Mir ist nicht klar, warum und wie man bei der Aufgabe eine Substitution machen muss.
Der Dozent hat die Lösung wie folgt aufgezeigt:
Z=k*P-m
Z'=k*P' <-> P'=Z'/k
Z'/k=Z <-> Z'=k*Z
-> [mm] Z(t)=c*e^k(t)
[/mm]
P=(Z+m)/k -> P= [mm] (c*e^k*t)/k [/mm] + m/k
=> [mm] P(t)=c*e^k*t [/mm] + m/k
Mir wäre es wichtig wie ich es aus der Aufgabenstellung sehen kann und die Substitution nachvollziehen kann.
Danke im Voraus für eure Antworten :)
Grüsse,
Uexkuel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Die Frage, warum man in der Mathematik etwas "machen muß", ist meistens nicht hilfreich. Der Erfolg rechtfertigt das Vorgehen. Wenn du die Gleichung
[mm]2x - 3 = 5[/mm]
lösen willst, "mußt" du dann auf beiden Seiten 3 addieren? Natürlich nicht! Du darfst auch 2014 addieren:
[mm]2x + 2011 = 2019[/mm]
Nur war das jetzt keine besonders nützliche Umformung.
Warum der Dozent [mm]kP-m[/mm] durch [mm]Z[/mm] substituiert hat? Weil er damit erfolgreich war. Er hat das ursprüngliche Problem
[mm]P' = kP - m[/mm]
mittels der Substitution [mm]Z = kP - m[/mm] auf das Problem
[mm]Z' = kZ[/mm]
zurückgeführt, dessen Lösung er schon kannte. Und der Erfolg hat ihm Recht gegeben. Und wenn dir etwas anderes einfällt, mit dem du auch zum Ziel kommen könntest, dann probiere es aus. Wenn es klappt, war es im nachhinein ein zielführender Ansatz. Und wenn es scheitert, dann war es eben Käse.
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