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Ein Kleinunternehmen produziert 2 Produkte P1 und P2 in den Mengen x1 und x2(ME zu 1000Stück) und verkauft sie zu den Preisen p1=4,40 und 2,80(in/Stück bzw.1000/ME).Die kostenfunktion (in ) für die Produktion innerhalb einer Woche lautet: [mm] K(x1,x2)=3000x1+2000x2+2(x1-2x2)^2+2x1^2
[/mm]
A) Wie viel muss von beiden Produkten innerhalbeiner Woche Produziert werden, um den maximalen Gewinn zu erzielen und wie groß ist dieser? Weisen Sie nach, dass die berechneten Mengen ein Gewinnmaximum realisiert!
B) Wegen der beschränkten Produktionskapazitäten können von beiden Produkten insgesamt höchstens 500 ME je Woche produziert werden, um den maximalen Gewinn zu erzielen und wie groß ist dieser? Weisen Sie auch hier nach, dass es sich um ein Maximum handelt!
C) Um wie viel würde der maximale Gewinn in Aufgabe B) näherungsweise steigen, wenn die Produktionskapazität um 10ME gesteigert werden könnte? |
Habe das vorher noch nie mit zwei Produkten gemacht.
Weis da einer mehr?
Ich wollte erst die Kostenfunktion teilen in
p1(x1,x2)=3000+4x1-4x2
p2(x1,x2)=2000-4x1+8x2
aber irgendwie ist das nicht richtig.
Bitte Helft!!!
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> Ein Kleinunternehmen produziert 2 Produkte [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] in den
> Mengen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2(ME [/mm] zu 1000Stück) und verkauft sie zu den
> Preisen [mm] p_1=4,40 [/mm] und 2,80(in/Stück bzw.1000/ME).Die
> kostenfunktion (in ) für die Produktion innerhalb einer
> Woche lautet: [mm]K(x_1,x_2)=3000x_1+2000x_2+2(x-1-2x_2)^2+2x_1^2[/mm]
>
> A) Wie viel muss von beiden Produkten innerhalbeiner Woche
> Produziert werden, um den maximalen Gewinn zu erzielen und
> wie groß ist dieser? Weisen Sie nach, dass die berechneten
> Mengen ein Gewinnmaximum realisiert!
>
> B) Wegen der beschränkten Produktionskapazitäten können von
> beiden Produkten insgesamt höchstens 500 ME je Woche
> produziert werden, um den maximalen Gewinn zu erzielen und
> wie groß ist dieser? Weisen Sie auch hier nach, dass es
> sich um ein Maximum handelt!
>
> C) Um wie viel würde der maximale Gewinn in Aufgabe B)
> näherungsweise steigen, wenn die Produktionskapazität um
> 10ME gesteigert werden könnte?
> Habe das vorher noch nie mit zwei Produkten gemacht.
> Weis da einer mehr?
>
> Ich wollte erst die Kostenfunktion teilen in
> [mm] p_1(x_1,x_2)=3000+4x_1-4x_2
[/mm]
> [mm] p_2(x-1,x_2)=2000-4x_1+8x_2
[/mm]
Hallo,
unterhalb des Eingabefnsters findest Du die Eingabehilfen für den Formeleditor. Mit Indizes liest sich alles viel flüssiger, und soooo viel Mühe macht das Setzen derselben nicht.
Nein, die Kostenfunktion teilen kannst Du nicht, es kommt ja in der Kostenfunktion auch ein Produkt aus [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] vor, die Kostenfunktion entsteht also nicht einfach aus der Addition der Kosten für die Produktion der Waren 1 und 2.
Die Aufgabe ist eine Extremwertaufgabe in Abhängigkeit v. mehreren Veränderlichen (nämlich2).
Diesbezüglich solltest Du Dich erstmal ein bißchen schlau lesen.
Man braucht "partielle Ableitungen", "Gradient", evtl. "Hessematrix".
Die zu optimierende Gewinnfunktion erhältst Du wie üblich, indem Du vom Erlös die Kosten abziehst.
Die Erlösfunktion ist (editiert) [mm] E(x_1, x_2)=4.4*1000x_1 [/mm] + [mm] 2.8*1000x_2.
[/mm]
Wie gesagt: lies Dich erstmal ein bißchen schlau und melde Dich dann mit Deinen Versuchen.
Gruß v. Angela
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Habe jetzt die partielle Ableitung gebildet:
[mm] K(x_{1})=3000+8x_{1}-8x_{2}
[/mm]
[mm] K(x_{2})=2000-8x_{1}+16x_{2}
[/mm]
dann wollte ich einsetzen und dann nach [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] auflösen
[mm] 3000+8x_{1}-8x_{2}=0
[/mm]
[mm] 375+x_{1}=x_{2}
[/mm]
[mm] 2000+16(375+x_{1})-8x_{1}=0
[/mm]
[mm] -1000=x_{1}
[/mm]
[mm] -625=x_{2}
[/mm]
, aber es kommen seltsame Ergebnisse heraus.
Was habe ich falsch gemacht?
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> Habe jetzt die partielle Ableitung gebildet:
>
> [mm]K(x_{1})=3000+8x_{1}-8x_{2}[/mm]
> [mm]K(x_{2})=2000-8x_{1}+16x_{2}[/mm]
>
> dann wollte ich einsetzen und dann nach [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm]
> auflösen
> [mm]3000+8x_{1}-8x_{2}=0[/mm]
> [mm]375+x_{1}=x_{2}[/mm]
>
> [mm]2000+16(375+x_{1})-8x_{1}=0[/mm]
> [mm]-1000=x_{1}[/mm]
> [mm]-625=x_{2}[/mm]
>
> , aber es kommen seltsame Ergebnisse heraus.
> Was habe ich falsch gemacht?
Hallo,
Du hast Dich gerade darüber hergemacht, die Kostenfunktion zu optimieren.
1. Es ist sinnlos, hier negative Zahlen einzusetzen - ich jedenfalls weiß nicht wie man [mm] \red{-}4711 [/mm] Hosenknöpfe produzieren kann.
2. Es ist nicht unbedingt sinnvoll die Kostenfunktion zu optimieren: am wenigsten Kosten hat man, wenn man nichts produziert. Allerdings kann man dann auch nichts verkaufen...
3. Du sollst auch nicht die Kostenfunktion maximieren, sondern die Gewinnfunktion, und die hast Du bisher noch nicht aufgestellt.
Gruß v. Angela
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danke erst mal so weit hab ich es
habe jetzt die Gewinnfunktion:
[mm] G(x_1,x_2)=1400x_1+800x_2-4x_1^2-8x_2^2+8x_1x_2
[/mm]
[mm] G(x_1)=1400-8x_1+8x_2
[/mm]
[mm] G(x_2)=800+8x_1-16x_2
[/mm]
[mm] x_1=450
[/mm]
[mm] x_2=275
[/mm]
[mm] G_m_a_x=425000
[/mm]
wie muss ich jetzt für Aufgabe B) weiter vorgehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Do 28.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hier hast du eine zusätzliche Bedingung, also
[mm] x_{1}+x_{2}\le500
[/mm]
[mm] \gdw x_{1}\le500-x_{2}
[/mm]
Und jetzt mach mal die Funktionsuntersuchung mit dieser Einschränkung. Da das Maximum vorher ja oberhalb dieser Grenze lag, fange mal mit den Gewinn an, wenn [mm] x_{1}+x_{2}\red{=}500, [/mm] gdw [mm] x_{1}=500-x_{2}
[/mm]
Also:
[mm] G(x_{2})=1400(500-x_{2})+800x_{2}-4(500-x_{2})^{2}-8x_{2}^{2}+8x_{2}(500-x_{2})
[/mm]
Marius
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Jetzt hab ich es. Vielen dank habt mir wieder sehr weitergeholfen.
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