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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 So 13.02.2011 | | Autor: | Mat_ |
| Aufgabe | Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
$ y' = (1+x)(1+y) $
und gib das maximale Lösungsintervall an. |
Nun ich habe alles ausgeklammert und mit "Trennung der Variablen" eine Lösung für das homogene Problem bestimmt.
$ [mm] y_h [/mm] = [mm] De^\(\bruch{1}{2} \x^2 [/mm] + x [mm] )\$
[/mm]
diese erfüllt die Gleichung auch. will ich nun abr mit "variation der Konstanten" eine partikuläre Lösung finden, klappt das nicht bzw. es gibt eine schweres Integral. nun möchte ich fragen wie ich diese DGL sonst lösen kann?
Gruss, Mat_
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Mat_,
> Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
> [mm]y' = (1+x)(1+y)[/mm]
> und gib das maximale Lösungsintervall
> an.
> Nun ich habe alles ausgeklammert und mit "Trennung der
> Variablen" eine Lösung für das homogene Problem bestimmt.
> [mm]y_h = De^\(\bruch{1}{2} \x^2 + x )\[/mm]
Schreibe Exponenten immer in geschweiften Klammern: e^{\bruch{1}{2}*x^{2}+x}
Das sieht dann so aus: [mm]y = D*e^{\bruch{1}{2}*x^{2}+x}[/mm]
Offenbar hast Du hier die homogene DGL
[mm]y' - \left(1+x\right)y=0[/mm]
gelöst.
Die Methode der Trennnung der Variablen führt
sofort zur allgemeinen Lösung der DGL.
>
> diese erfüllt die Gleichung auch. will ich nun abr mit
> "variation der Konstanten" eine partikuläre Lösung
> finden, klappt das nicht bzw. es gibt eine schweres
> Integral. nun möchte ich fragen wie ich diese DGL sonst
> lösen kann?
Entweder entschliesst Du Dich die obige DGL
über die Methode der Trennung der Variablen zulösen,
oder über den Umweg der homogenen DGL.
>
> Gruss, Mat_
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 So 13.02.2011 | | Autor: | Mat_ |
hei danke für die Anwort.
Nun wenn ich einfach Trennung der Variablen auspacke und das löse, bekomme ich für y = $ y = [mm] D\cdot{}e^{\bruch{1}{2}\cdot{}x^{2}+x} [/mm] -1$
aber eigentlich habe ich ja eine DGL mit y' = a(x)y + b(x) und da habe gelern, dass man das immer in zwei schritten macht, ausser wenn die DGL nicht linear ist, weil sonst die Lösung nicht als linearkombination von einer partikulären und einer homogenen Lösung schreiben kann.
Gruss, Mat_
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Hallo Mat_,
> hei danke für die Anwort.
>
> Nun wenn ich einfach Trennung der Variablen auspacke und
> das löse, bekomme ich für y = [mm]y = D\cdot{}e^{\bruch{1}{2}\cdot{}x^{2}+x} -1[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> aber eigentlich habe ich ja eine DGL mit y' = a(x)y + b(x)
> und da habe gelern, dass man das immer in zwei schritten
> macht, ausser wenn die DGL nicht linear ist, weil sonst die
Hier meinst Du wohl "wenn die DGL homogen ist".
> Lösung nicht als linearkombination von einer partikulären
> und einer homogenen Lösung schreiben kann.
>
> Gruss, Mat_
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 So 13.02.2011 | | Autor: | Mat_ |
gut in diesem Fall habe ich einfach a(x)= (1+x)
und somit hat die DGL die Form y'(x) = a(x)y(x) und somit ist es eine homogene DGL. ich hätte einfach das Ganze nicht aufdröseln sollen..das hat micht im endeffekt nur verwirrt! Danke für die Hilfe.
Gruss, Mat_
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 So 13.02.2011 | | Autor: | Mat_ |
Ich habe vergessen, wie ich das maximale Lösungsintervall erkenne und wie ich das sauber notiere? danke!
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Hallo Mat_,
> Ich habe vergessen, wie ich das maximale Lösungsintervall
> erkenne und wie ich das sauber notiere? danke!
In der Regel hängt das maximale Lösungsintervall
von der Integrationskonstanten ab.
Betrachte hier also die Gleichung
[mm]\ln\left(1+y\right)=C+\bruch{1}{2}*x^{2}+x[/mm]
Untersuche dann, für welche x diese Gleichung erfüllbar ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 So 13.02.2011 | | Autor: | Mat_ |
ln (1+y(x)) , y(x) muss grössen als -1 sein...und für x > 0 ...
Mat_
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Hallo Mat_,
> ln (1+y(x)) , y(x) muss grössen als -1 sein...und für x >
> 0 ...
Der ln kann doch alle Werte in [mm]\IR[/mm] annehmen,
demnach gibt es keine Einschränkung an die x.
Daher gilt die Lösung für alle [mm]x \in \IR[/mm]
> Mat_
Gruss
MathePower
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Hallo Mat_,
> gut in diesem Fall habe ich einfach a(x)= (1+x)
> und somit hat die DGL die Form y'(x) = a(x)y(x) und somit
> ist es eine homogene DGL. ich hätte einfach das Ganze
> nicht aufdröseln sollen..das hat micht im endeffekt nur
> verwirrt! Danke für die Hilfe.
Ok.
>
> Gruss, Mat_
Gruss
MathePower
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