Gitterpunktebene? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Linus |
Ich verzweifle an der Übung zu einer Vorlesung in der ein Professor Analysis und Geometrie verquickt und uns weder ein Skript noch Literatur zur Verfügung stellt.
Aufgaben sind:
Man zeige: Es gibt kein gleichseitiges Gitterpunktdreieck.
Man zeige: In der Gitterpunktebene Z(Quadrat) gibt es unendlich viele paarweise zueinander unähnliche rechtwinklige Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen.
Im Matheduden finde ich nicht mal Informationen darüber was ein Gitterpunktdreieck ist. Könnt ihr mir vielleicht Tipps geben? Ich weiss nicht wo und wie ich anfangen soll, zumal der Professor in seiner Vorlesung ganz andere Themen bespricht als in den Übungen gebraucht werden ..
Danke
Linus
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.uni-protokolle.de/foren/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Fr 19.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Tach Linus!
Ein Modul über einem Ring K mit 1 ist eine Menge V mit zwei Operationen
[mm] V\times V\to [/mm] V und [mm] K\times V\to [/mm] V,für welche die Bedingungen (A1)-(A4) und (V1)-(V4) erfüllt sind.
Eine so definierte Strucktur nennt man einen unitären Modul.
Ein wichtiges Beispiel für ein unitären [mm] \IZ [/mm] Modul [mm] ist\IZ^{n}\subset \IQ^{n},
[/mm]
das einfachste Gitter.
mit
(A1)
[mm] \forall u,v,w\in [/mm] V (u+v)+w=u+(v+w)
(A2)
[mm] \exists 0\in [/mm] V [mm] \forall v\in [/mm] V 0+v=v+0=v
(A3)
[mm] \forall v\in [/mm] V [mm] \exists -v\in [/mm] V -v+v=v+(-v)=0
(A4)
[mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V v+w=w+v
(V1)
[mm] \forall a,b\in [/mm] K [mm] \forall v\in [/mm] V [mm] (ab)\odot v=a\odot [/mm] (bv)
(V2)
[mm] \forall v\in [/mm] V [mm] 1\odot [/mm] v=v
(V3)
[mm] \forall a,b\in [/mm] K [mm] \forall v\in [/mm] V [mm] (a+b)\odot v=a\odot v+b\odot [/mm] v
(V4)
[mm] \foralla\in [/mm] K [mm] v,w\in [/mm] V [mm] a\odot(v+w)=a\odot v+a\odot [/mm] w
tut mir leid das ich dir nicht mehr helfen kann
mußte selbst nachschlagen
Definitionen nachzulesen in
Lineare Algebra und Analytische Geometrie I
Egbert Brieskorn
Def auf S.206
(A1)-(V4) auf S.202
MfG zwerg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Linus,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Man zeige: Es gibt kein gleichseitiges
> Gitterpunktdreieck.
>
> Man zeige: In der Gitterpunktebene Z(Quadrat) gibt es
> unendlich viele paarweise zueinander unähnliche
> rechtwinklige Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen.
>
> Im Matheduden finde ich nicht mal Informationen darüber was
> ein Gitterpunktdreieck ist. Könnt ihr mir vielleicht Tipps
> geben?
Das wird kein definierter Begriff sein, sondern etwas, dass man sich aus den Worten selbst erschliessen kann:
In einem Koordinatensystem sind die Gitterpunkte alle Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, also die Menge [mm] $\{(x|y)\ |\ x,y\in\IZ\}=\IZ^2$.
[/mm]
Nun ist hier zu zeigen, dass man kein gleichseitiges  Dreieck finden kann, dessen Eckpunkte nur ganzzahlige Koordinaten haben.
Bei der zweiten Aufgabe müßtest du die Definition der Ähnlichkeit von Dreiecken nachschlagen (das steht im Mathe-Duden).
Beim Beweis der Aussage könntest du zum Beispiel benutzen, dass Ähnlichkeitsabbildungen Streckenverhältnisse erhalten.
> Ich weiss nicht wo und wie ich anfangen soll, zumal
> der Professor in seiner Vorlesung ganz andere Themen
> bespricht als in den Übungen gebraucht werden ..
Was ist denn im Augenblick Thema bei Euch? Vielleicht hat es ja doch etwas damit zu tun.
Bei Fragen melde dich bitte einfach wieder 
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 So 21.11.2004 | | Autor: | Linus |
Danke für deine Erklärung marc, das hilft mir schon weiter, ich störe mich einfach an das "paarweise" in "paarweise zueinander unähnliche
rechtwinklige Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen. "
Thema der Vorlesung ist Elementare Analysis. Das versucht uns der Professor mittels Geometrie nahezubringen.
Die Lösung ist sicher verflixt einfach, aber ich komme noch nicht vorran. Der Sonntag ist ja aber noch lang 
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Ahoi,
"Ähnlichkeit" ist eine Eigenschaft, die man immer nur einem Paar von Dreiecken zuschreiben kann. Ein einzelnes Dreieck kann nicht ähnlich sein, drei oder mehr Dreiecke können nicht ähnlich sein - nur zwei Dreiecke können zueinander ähnlich sein. Wenn man eine Aussage über die Ähnlichkeit oder Unähnlichkeit in einer beliebig großen Menge von Dreiecken machen will, muss man deshalb sagen: jedes Paar von Dreiecken aus dieser Menge ist (un)ähnlich. Oder kurz und knapp: die Dreiecke dieser Menge sind paarweise zueinander (un)ähnlich.
Nun viel Erfolg beim eigentlichen Beweis - PP
PS: Es ist sehr unwahrscheinlich, dass Beschwerden über schlechte Koordination mit seinem Übungsleiter Deinen Prof über dieses Forum erreichen. Vielleicht solltest Du ihn auf direkterem Wege ansprechen.
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