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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 So 01.05.2005 | | Autor: | Joergi |
Hallo zusammen!
Ich soll eine Aufgabe lösen, die im Grunde sehr einfach aussieht, wobei ich jedoch nicht zur Lösung komme und deshalb hoffe, dass man mir ein Paar Tipps geben kann.
Ich habe eine symmetrische Matrix [mm]A \in \IR^{nxn}[/mm] gegeben und die Schur-Zerlegung [mm]Q^{T}AQ = diag(\lambda_{1},
, \lambda_{n})[/mm] mit orthogonaler Matrix Q.
Jetzt soll ich für den Fall n = 2 die Matrix Q der Schur-Zerlegung, also s,c mit [mm]s^{2}+c^{2} = 1[/mm] anwenden, sodass:
[mm]\pmat{ c & -s \\ s & c }*\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} }*\pmat{ c & s \\ -s & c } = \pmat{ b_{11} & 0 \\ 0 & b_{22} }[/mm].
Ich soll nun zeigen, dass [mm]a_{11}^2+ a_{22}^2 +2a_{12}^2= b_{11}^2+ b_{22}^2[/mm].
Als erstes habe ich die Matrizen mal ausmultipliziert und erhalte:
[mm]\pmat{ a_{11}*c^2 - s(2c a_{12}- a_{22}s) & a_{11}cs + a_{12}(c^2-s^2) cs a_{22} \\ a_{11}cs + a_{12}(c^2-s^2) cs a_{22} & a_{11}*s^2 + c(2s a_{12}- a_{22}c) } = \pmat{ b_{11} & 0 \\ 0 & b_{22} }[/mm].
Somit müsste man doch jetzt 3 Gleichungen erhalten:
I. [mm]a_{11}*c^2 - s(2c a_{12}- a_{22}s) = b_{11}[/mm]
II. [mm]a_{11}*s^2 + c(2s a_{12}- a_{22}c) = b_{22}[/mm]
III. [mm] a_{11}cs + a_{12}(c^2-s^2) cs a_{22} = 0[/mm].
Löse ich das LGS und setze die gefundenen Werte für [mm]a_{11}[/mm], [mm]a_{22}[/mm] und [mm]a_{12}[/mm] in [mm]a_{11}^2+ a_{22}^2 +2a_{12}^2 [/mm], so erhalte ich nicht [mm] b_{11}^2+ b_{22}^2[/mm].
Was mache ich falsch? Setze ich falsch ein, verrechne ich mich nur? Ist das denn der richtige Lösungsansatz, oder muss ich hier anders herangehen?
Ich weiß auch, dass mit [mm]c = cos[/mm] und [mm]s = sin[/mm] gemeint ist und das [mm]cos^2+sin^2 = 1[/mm] gilt, aber ich erhalte nicht das richtige Ergebnis.
Könnte mir jemand vielleicht einen Denkanstoss geben?
Joergi
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Hallo Joergi!
Versuch dochmal diesen Ansatz: Weil die Matrizen $A$ und $B$ ähnlich sind, besitzen sie die gleichen Eigenwerte. Insbesondere sind aber auch [mm] $A^2$ [/mm] und [mm] $B^2$ [/mm] ähnlich. Jetzt musst du nur noch benutzen, dass [mm] $\mathrm{spur}(M)=\sum(\mbox{EW von }M)$ [/mm] für jede Matrix $M$...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Joergi |
Hy Banachella!
Danke für Deine Hilfe, Du hast recht, das kommt tatsächlich raus. Jedoch habe ich noch eine Verständnisfrage:
Also ich habe [mm]A^{2}[/mm] und [mm]B^{2}[/mm] mal gebildet und tatsächlich steht ja da, was ich brauche. Nun aber zu meiner Frage:
Wo gehen die Rotationsmatrizen denn ein? Ich erhalte das Ergebnis ja nur wenn ich [mm]A^{2}[/mm] und [mm]B^{2}[/mm] betrachte, so ganz ist mir das also noch nicht klar.
LG Joergi
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Hallo Joergi,
> Wo gehen die Rotationsmatrizen denn ein?
Die Sache mit den Eigenwerten gilt für ähnliche Matrizen. Kannst ja mal nachschauen was Ähnlichkeit bedeutet.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 Mo 02.05.2005 | | Autor: | merry568 |
Stichwort: Frobeniusnorm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Joergi |
Hy,
also wenn ich das richtig verstanden habe, dann müsste ich also vorab zeigen, dass [mm]||B||_{F}=||QB||_{F}=||BQ||_{F}[/mm]. Wie kann ich da rangehen? Ich weiß, dass [mm]||B||_{F}= \wurzel[2]{\summe_{i,j=1}^{n} b_{ij}^2}[/mm] ist. Aber wie kriege ich das [mm]Q[/mm] da reingefummelt und wie sieht das denn in den Summen aus? Danke für Eure Hilfe!
Gruß
Joergi
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Wenn ich mich recht erinnere, folgt das daraus, dass [mm] $\|Qv\|_2=\|v\|_2$ [/mm] gilt, wenn $Q$ unitär ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:35 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Joergi |
Hallo zusammen,
ich habe die Aufgabe dank Euren Tipps lösen können und auch verstanden! Also ein herzliches Danke schön an alle!
LG
Joergi
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Hallo banachella,
> musst du nur noch benutzen, dass
> [mm]\mathrm{spur}(M)=\sum(\mbox{EW von }M)[/mm] für jede Matrix
> [mm]M[/mm]...
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
spur ist gleich Summe der Diagonalelemente und EW soll doch Eigenwert heißen.
Bsp: [mm] \pmat{ 1 & 4 \\ 4 & 1 }
[/mm]
Da scheint was nicht zu stimmen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Di 03.05.2005 | | Autor: | banachella |
Hallo!
Genau, die Spur ist die Summe der Diagonalelemente, im Fall [mm] $\pmat{1&4\\4&1}$ [/mm] also $2$. Die Eigenwerte dieser Matrix sind $-3$ und $5$. Also ist ihre Summe gleich der Spur...
Gruß, banachella
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