Givens-Rotation bzgl. A*x=b < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Fr 18.02.2005 | | Autor: | booz |
Hallo!
Kann mir jemand netterweise die Givens-rotation anhand dieser Matrix A bzgl. A*x=b erklären,denn ich hocke schon seit Stunden an dieser Aufgabe und stelle fest : Ich verstehe die Givens-rotation nicht !
die Matrix A lautet :
A = [mm] \pmat{ 3 & -2 & \wurzel{\pi} \\ 0 & -1 & \pi \\ 0 & 0 & \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ 0 & 0 & -\bruch{\wurzel{2}}{2}}\in\IR^{4\times4}
[/mm]
Vielen dank.
Euer BooZ
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
ich kann dir jetzt keine Givens Rotation vorrechnen, aber vielleicht ein
paar Hinweise dazu geben.
Mir sind Givens Rotationen zur Bestimmung von QR - Zerlegungen bekannt,
wobei wir die nur nebensächlich behandelt haben, denn normalerweise
haben wir die mit Householder Tranformationen bestimmt.
Die Givens - Rotation macht nichts anderes, als für eine Transformationsmatrix zu stellen, mit der ein Vektor [mm] \vektor{x_1\\x_2}
[/mm]
auf [mm] \vektor{a_1\\0} [/mm] abgebildet wird.
Im [mm] \IR^2 [/mm] ist das ja gerade:
[mm] \pmat{ cos\phi & -sin\phi \\ sin\phi & cos\phi }
[/mm]
und dann ergibt sich:
[mm] $\pmat{ cos\phi & -sin\phi \\ sin\phi & cos\phi }\vektor{x_1\\x_2}=\vektor{a_1\\0}$
[/mm]
und man stellt folgenden Zusammenhang fest:
[mm] $cos\phi [/mm] = [mm] \bruch{x_1}{\wurzel{x_1^2 + x_2^2}}$
[/mm]
[mm] $sin\phi [/mm] = [mm] \bruch{-x_2}{\wurzel{x_1^2 + x_2^2}}$
[/mm]
und das Ergebnis:
[mm] $\vektor{a_1\\0} [/mm] = [mm] \vektor{\wurzel{x_1^2 + x_2^2}\\0}$
[/mm]
Und wenn man nun nicht [mm] \IR^2 [/mm] hat, dann kann man aber einfach
eine Rotation von zwei Komponenten betrachten und der
Rest ist einfach die Einheitsmatrix und man erhält dann die Transformationsmatrix, bei der in der
i-ten Spalte und der i-ten Zeile, j-ten Zeile
j-ten Spalte und der i-ten Zeile, j-ten Zeile
die obige Elemente der Rotationsmatrix stehen und der Rest
ist die Einheitsmatrix.
Das macht die Givens - Rotation.
Mir ist etwas unklar, was du mit A*x = b mit der Givens - Rotation machen sollst, aber vielleicht hilft dir das obige ein wenig.
Gruß
marthasmith
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:18 Di 31.01.2006 | | Autor: | paul_revere |
und was passiert wenn ich eine matix habe ? also der form G*A=B ??
mfg paul
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Hallo Paul,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Deine Frage ist (zumindest mir) unklar. Was möchtest Du genau tun?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 So 20.02.2005 | | Autor: | booz |
Hallo!
Danke für die Hilfe . Habe jetzt den Dreh so langsam raus , was die Givens-
Rotation eigentlich bedeutet und wie man mit ihr eine Zerlegung A = Q*R
ausführt.
Mit feundlichen Grüssen
BooZ
_____________________________
Der Weg ist das Ziel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Sa 19.02.2005 | | Autor: | booz |
Hallo!
Folgende Klausuraufgabe :
Berechne mit Hilfe von Givens-Rotation eine QR-Zerlegung der Matrix
A = [mm] \pmat{ 3 & -2 & \wurzel{\pi} \\ 0 & -1 & \pi \\ 0 & 0 & \bruch{\wurzel {2}}{2} \\ 0 & 0 & -\bruch{\wurzel{2}}{2}}\in\IR^{4\times4} [/mm] ,
wobei alle Diagonalelemente [mm] r_{ii} [/mm] von R positiv sein sollen !
Ich wäre sehr dankbar , wenn jemand mir die Aufgabe bzw. die Givens-Rotation anhand dieses Beispiel erklären könnte und absolut dankbar wenn es jemand ausrechnen würde !
Mit dem vorherigen Hinweis kam ich nach riesigen Anstrengungen leider nicht auf das Ergebnis!
Vielen Dank .
Euer BooZ
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Hallo booz,
Der Sinn einer QR Zerlegung ist ja sukzessive eine Dreiecksmatrix R zu erzeugen.D.h. Du bist schon fast fertig.
Betrachtet man einen Vektor
[mm] \vektor{x_1\\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}
[/mm]
Dann würde man durch Multiplikation mit dieser Matrix
[mm]\pmat{ cos\phi & 0 & -sin\phi & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ sin\phi & 0 & cos\phi & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
wenn man [mm] \phi [/mm] wählt wie von marthasmith beschrieben in der 3. Zeile des Vektors eine Null erzeugen während die zweite und 4. Zeile unverändert bleiben. So werden durch Givensrotationen unterhalb der Diagonalen Nullen erzeugt. Falls Du Probleme bei den Berechnungen hast solltest Du deine Ergebnisse mal schreiben.
gruß
mathemaduenn
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