Gl.-S.; bestimmen von z < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 So 30.10.2005 | | Autor: | bjarne |
[mm] 3x_{1}+x_{2}-x_{3}=5
[/mm]
[mm] -x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=z
[/mm]
[mm] x_{1}+5x_{2}+5x_{3}=1
[/mm]
Gibt es eine Zahl z mit der Eigenschaft, dass das Gleichungssystem eine/höchstens eine/genau eine Lösung hat?
Meine Schritte bis hier her mit elementarer Zeilenumformung:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -5/7 & 12/7 \\ 0 & 1 & 8/7 & -1/7 \\ 0 & 0 & 0 & z+2 }
[/mm]
kann ich das [mm] x_{3} [/mm] gleich 0 überall setzen? und was muss erfüllt sein, damit ich für z eine/genau eine/höchstens eine Lösung aus dem Gleichungssystem erhalte?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 So 30.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Bjarne!
Ich erhalte durch elementare Zeilenumformungen eine andere Matrix, und zwar $ [mm] \pmat{ 1 & 0 & -5/7 & \frac{10}{7}-\frac{1}{7}z \\ 0 & 1 & 8/7 & \frac{3}{7}z+\frac{5}{7} \\ 0 & 0 & 0 & z+2 } [/mm] $.
Worauf es aber ankommt ist in erster Linie die letzte Zeile: die Matrix repräsentiert ja lediglich unser Gleichungssystem, elementare Zeilenumformungen lassen dessen Lösungsraum invariant. Die Lösungsmenge des ursprünglichen GLS stimmt also mit der Lösungsmenge von
(1) [mm] $x_1-\frac{5}{7}x_3 [/mm] = [mm] \frac{10}{7}-\frac{1}{7}z$
[/mm]
(2) [mm] $0+x_2+\frac{8}{7}x_3 [/mm] = [mm] \frac{3}{7}z+\frac{5}{7}$
[/mm]
(3) $0=z+2$
überein. Da $z$ fest gewählt ist, sehen wir an (3), dass das Gleichungssystem nur für $z=-2$ überhaupt Lösungen besitzen kann. Ist also [mm] $z\not= [/mm] -2$, so kann es keine Lösungen besitzen. Nachdem du diesen Fall abgearbeitet hast, darfst du also $z=-2$ annehmen. Dann erhältst du ein ganz normales GLS, dessen Lösungsraum du nun ohne Probleme bestimmen können solltest.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 So 30.10.2005 | | Autor: | bjarne |
wie komme ich von
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -5/7 & 12/7 \\ 0 & 1 & 8/7 & -1/7 \\ 0 & 0 & 0 & z+2}
[/mm]
auf
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -5/7 & 10/7-1/7z \\ 0 & 1 & 8/7 & 3/7z+5/7 \\ 0 & 0 & 0 & z+2 }
[/mm]
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> wie komme ich von
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -5/7 & 12/7 \\ 0 & 1 & 8/7 & -1/7 \\ 0 & 0 & 0 & z+2}[/mm]
>
> auf
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -5/7 & 10/7-1/7z \\ 0 & 1 & 8/7 & 3/7z+5/7 \\ 0 & 0 & 0 & z+2 }[/mm]
Indem Du die 1.Zeile und [mm] \bruch{-1}{7}letzte [/mm] Zeile
und 2.Zeile und [mm] \bruch{-2}{7}letzte [/mm] Zeile addierst.
Gruß v. Angela
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