Gleich viel Kugeln ziehen? < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:35 Mi 16.01.2013 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | In einer Urne sind 4 rote und 4 schwarze Kugeln. Ein fairer Würfel wird geworfen. Ist die geworfene Augenzahl gerade, so zieht man 2 Kugeln (ohne Zurücklegen) aus der Urne, ist die geworfene Augenzahl ungerade, so zieht man stattdessen 4 Kugeln (ohne Zurücklegen) aus der Urne.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man ebenso viele rote wie schwarze Kugeln aus der Urne zieht.
b) Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl gerade war, gegeben das Ereignis, dass sich unter den gezogenen Kugeln genau eine schwarze befindet. |
Hi Leute!
Ich hab Probleme mit dieser Aufgabe.
Ich hab jetzt erst mal die a) angefangen und dort schon am Anfang Probleme. Ich möchte eine Grundmenge aufstellen:
[mm] $\Omega=\{(\omega_1, \omega_2) \in \{1,2,3...,8\} | \omega_i \neq \omega_j \}$
[/mm]
[mm] $P(\text{gerade Würfelzahl}) [/mm] = [mm] \frac12$
[/mm]
[mm] $P(\text{unggerade Würfelzahl}) [/mm] = [mm] \frac12$
[/mm]
Weiter komme ich leider nicht... Kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Mi 16.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Hi Leute!
Hi bandchef, lange nichts von dir gesehen? Hast du gefaulenzt? 
>
> Ich hab Probleme mit dieser Aufgabe.
>
> Ich hab jetzt erst mal die a) angefangen und dort schon am
> Anfang Probleme.
Betrachte die folgenden Ereignisse $B$ bzw. [mm] $\overline{B}$: [/mm] Werfen einer geraden bzw. ungeraden Augenzahl, $A$: Ziehen von ebenso vielen roten wie schwarzen Kugeln aus der Urne.
Dann ist [mm] $P(A)=P(A\cap(B\cup\overline{B}))=P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B})=...$
[/mm]
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Mi 16.01.2013 | | Autor: | luis52 |
>
> [mm]P(A)=P(A\cap(B\cup\overline{B}))=P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B})=[/mm]
>
> Müsste das nicht so lauten:
>
> [mm]P(A)=P(A\cap(B\cup\overline{B}))=P((A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})) = P(A\cap B) \cdot P(A\cap \overline{B})=[/mm]
>
>
Nana, ich muss doch sehr bitten. Ich habe ausgenutzt, dass [mm] $A\cap [/mm] B$ und [mm] $A\cap \overline{B}$ [/mm] disjunkt sind, sich also ausschliessen.
Noch ein Tipp: [mm] $P(A\cap B)=P(A\mid [/mm] B)P(B)$.
vg Luis
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Mi 16.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Ok, du hast Recht. Ich hab mich wirklich vertan. Es geht dann so weiter:
$ [mm] P(A)=P(A\cap(B\cup\overline{B}))=P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B})=P(A) \cdot [/mm] P(B) + P(A) [mm] \cdot P(\overline{B})=\frac48 \cdot \frac12 [/mm] + [mm] \frac48 \cdot \frac12 [/mm] = [mm] \frac12$
[/mm]
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Mi 16.01.2013 | | Autor: | luis52 |
>
> [mm] \frac48 \cdot \frac12 + \frac48 \cdot \frac12 [/mm]
>
> Richtig?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nur die Faktoren [mm] $\frac12$ [/mm] sind okay. Denke in Richtung hypergeometrische Verteilung.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Mi 16.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Das Problem liegt also bei der Wahrscheinlichkeit P(A), also mit welcher Wahrscheinlichkeit ziehen von ebenso vielen roten wie schwarzen Kugeln eintritt?
Hilft mir da vielleicht auch der Binomialkoeffizient weiter?
Hypergeometrische Verteilung! Warum bin ich da nicht eher drauf gekommen?
$h(x|n,N,M) = [mm] \frac{\binom{M}{x}\binom{N-M}{n-x}}{\binom{N}{n}}= \frac{\binom{2}{x}\binom{8-2}{4-x}}{\binom{8}{4}} [/mm] = ?$
Das Problem hier nun ist das x? Was muss ich für x einsetzen? Ich weiß ja nicht wie viele Kugeln mit zurücklegen gezogen wurden; es sollen ja nur ebenso viele schwarze wie weiße Kugeln gezogen werden!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Mi 16.01.2013 | | Autor: | luis52 |
>
> [mm]h(x|n,N,M) = \frac{\binom{M}{x}\binom{N-M}{n-x}}{\binom{N}{n}}= \frac{\binom{2}{x}\binom{8-2}{4-x}}{\binom{8}{4}} = ?[/mm]
>
>
[mm] $\frac{\binom{\red{4}}{x}\binom{8-\red{4}}{n-x}}{\binom{8}{n}}$ [/mm] mit $x=1,n=2$ im Fall $B$ und $x=2,n=4$ im Fall [mm] $\overline{B}$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Mi 16.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Ich komme jetzt auf: [mm] $P(A)=\frac47 \cdot \frac12 [/mm] + [mm] \frac97 \cdot \frac12 [/mm] = [mm] \frac{13}{14}$
[/mm]
Richtig?
Wie kommst du eigentlich bei den hypergeometrischen Verteilungen auf die zwei verschiedenen Werte für x? Wie du auf das n kommst, denk ich, ist mir klar...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Mi 16.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Ich komme jetzt auf: [mm]P(A)=\frac47 \cdot \frac12 + \frac97 \cdot \frac12 = \frac{13}{14}[/mm]
>
> Richtig?
9/7 ? Noch nie so eine Wsk gesehen!
>
>
> Wie kommst du eigentlich bei den hypergeometrischen
> Verteilungen auf die zwei verschiedenen Werte für x? Wie
> du auf das n kommst, denk ich, ist mir klar...
Im Fall $n=2$ muss $x=1$ rote und 1 schwarze Kugel gezogen werden, im Fall $n=4$ muessen $x=2$ rote und 2 schwarze Kugeln gezogen werden (jeweils gleich viele rote wie schwarze Kugeln ).
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Mi 16.01.2013 | | Autor: | bandchef |
$ [mm] P(A)=\frac47 \cdot \frac12 [/mm] + [mm] \frac{18}{35} \cdot \frac12 [/mm] = [mm] \frac{19}{35} [/mm] $
So, jetzt sollte das passen 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:18 Do 17.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Sorry Leute, aber ist mein Ergebnis bei meiner Teilaufgabe a) denn nun richtig? Ich würde schon gerne wissen, ob es nun stimmt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Do 17.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> [mm]P(A)=\frac47 \cdot \frac12 + \frac{18}{35} \cdot \frac12 = \frac{19}{35}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Mi 16.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Mein Vorschlag für Teilaufgabe b)
[mm] $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} [/mm] = [mm] \frac{\frac12\cdot \frac18}{\frac18} [/mm] = [mm] \frac12$
[/mm]
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Mi 16.01.2013 | | Autor: | luis52 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Was ist $A$? Doch wohl nicht das $A$ aus a) ?
Das ist zwar (ausnahmsweise) korrekt, aber musst du dazu etwas erklaeren.
Bitte erlaeutere auch deine Rechnung. Fuer ${P(B)$ hatten wir doch schon einmal 1/2 errechnet. Wieso jetzt 1/8 ?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Do 17.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Ok. Dann nochmal ausführlicher:
Ereignis A: Augenzahl gerade
Ereignis B: genau eine schwarze Kugel untern den gezogenen Kugeln
Wie komm ich nun darauf, dass ich den Ansatz bedingte Wahrscheinlichkeit wähle? Erstens weil die Aufgabe selber davon spricht und zweitens weil es Sinn macht. Die bedingte Wahrscheinlichkeit sagt ja selber, dass das die Wahrscheinlichkeit von dem Ereignis A unter der Bedingung von B ist.
Ich weiß aus dem Aufgabentext, dass Ereignis A $P(A) = [mm] \frac12$ [/mm] gilt.
Soweit sollts doch stimmen, oder?
> Fuer $P(B)$ hatten wir doch schon einmal 1/2 errechnet. Wieso jetzt 1/8 ?
Irgendwie kapier ich grad nicht was das P(B) in der Aufgabe b) mit dem P(B) von Aufgabe a) zu tun hat. Ich denke ich werde wohl auch hier die hypergeometrische Verteilung anwenden müssen, oder?
Ich hab eine Grundmenge N von 8 Kugeln, also N=8. Des Weiteren hab ich die Anzahl der tatsächlich gezogener Kugeln, hier also, x=1. Dann gibts noch die Anzahl der maximal verfügbaren Kugeln, die also im Fall "gerade Augenzahl" überhaupt dran kommen können, also M=4. Jetzt müssen noch n-Elemente gezogen werden und das sind in meinem Fall n=2. Wenn ich das nun in die hyp. Verteilung einsetze komm ich auf: [mm] \frac67
[/mm]
Das scheint nicht richtig zu sein :-( Denn du sagst ja was von 1/2
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Do 17.01.2013 | | Autor: | luis52 |
>
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> > Fuer [mm]P(B)[/mm] hatten wir doch schon einmal 1/2 errechnet. Wieso
> jetzt 1/8 ?
>
> Irgendwie kapier ich grad nicht was das P(B) in der Aufgabe
> b) mit dem P(B) von Aufgabe a) zu tun hat. Ich denke ich
> werde wohl auch hier die hypergeometrische Verteilung
> anwenden müssen, oder?
Ich zitiere aus einer meiner frueheren Zuschriften:
Betrachte die folgenden Ereignisse $ B $ bzw. $ [mm] \overline{B} [/mm] $:
Werfen einer geraden bzw. ungeraden Augenzahl.
Wir haben a) mit $P(B)=1/2$ geloest.
Die Aufgabenstellung bei b) lautet (mit Zusaetzen von mir):
Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl
gerade war (Ereignis $B$), gegeben das Ereignis, dass sich unter den
gezogenen Kugeln genau eine schwarze befindet (Ereignis $C$).
Gesucht ist also offenbar [mm] $P(B\mid [/mm] C)$ ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Do 17.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Ah, danke! Jetzt glaub ich hab ich das geschnallt! Ich habe die Ereignis-Bezeichnungen vertauscht! Deswegen...
$P(B) = [mm] \frac12$ [/mm] weil ich die Information bekommen, dass eine gerade Augenzahl fällt.
Also folgt dann jetzt schon mal im ersten Schritt: $P(C|B) = [mm] \frac{P(C\cap B)}{P(B)} [/mm] = [mm] \frac{P(C) \cdot P(B)}{P(B)} [/mm] = ...$
Ich brauch nun also noch P(C). Da die Augenzahl gerade war muss ich laut Aufgabe genau zwei aus 8 Kugeln ziehen von denen 4 Schwarz und 4 Rot sind. Also sollte P(C) = [mm] \frac{1}{\binom41} [/mm] = [mm] \frac14$ [/mm] passe, oder? Die interessante Menge der Kugeln sind 4 weil es ja eine schwarze Kugel sein soll. Ich ziehe also quasi 1 Kugel aus 4 und davon noch den Kehrwert für die Wahrscheinlichkeit. Somit lautet dann:
$P(C|B) = ... = [mm] \frac14$
[/mm]
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Do 17.01.2013 | | Autor: | luis52 |
Ups, ich habe mich vertan. Es ist [mm] $P(B\mid [/mm] C)$ zu ermitteln, was ich schon korrigiert habe.
> Also folgt dann jetzt schon mal im ersten Schritt: [mm]P(C|B) = \frac{P(C\cap B)}{P(B)} = \frac{P(C) \cdot P(B)}{P(B)} = ...[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Die zweite Gleichung gilt nur bei Unabhaengigkeit, was nicht der Fall ist.
Moeglicher Rechenweg:
$P(B\mid C) =\frac{P(C\mid B)P(B)}{P(C)$.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Do 17.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Oh. Satz von Bayes. Verstehe. Wie kommt man auf den Satz von Bayes? Weil nur der Satz bei stochastisch abhängigen Ereignissen gilt?
$ [mm] P(B\mid [/mm] C) [mm] =\frac{P(C\mid B)P(B)}{P(C)} [/mm] = [mm] \frac{\frac{1}{\binom41}\frac12}{\frac12} [/mm] = [mm] \frac14$
[/mm]
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Do 17.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Oh. Satz von Bayes. Verstehe. Wie kommt man auf den Satz
> von Bayes? Weil nur der Satz bei stochastisch abhängigen
> Ereignissen gilt?
Der gilt immer, ist dann aber besonders nuetzlich.
>
> [mm]P(B\mid C) =\frac{P(C\mid B)P(B)}{P(C)} = \frac{\frac{1}{\binom41}\frac12}{\frac12} = \frac14[/mm]
>
> Richtig?
Wie kommst du auf [mm] $P(C\mid [/mm] B)=1/4$? [mm] $(C\mid [/mm] B)$ ist das Ereignis, genau eine schwarze Kugel zu ziehen, wenn auf dem Wurfel eine gerade Augenzahl erscheint. Also ist
[mm] $P(C\mid B)=\dfrac{\dbinom{4}{1}\dbinom{4}{1}}{\dbinom{8}{2}}=\frac{4}{7}$.
[/mm]
Die Berechnung von $P(C)$ solltest du etwas deutlicher machen, 1/2 ist vermutlich auch falsch.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Do 17.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Warum schreibst du hier: P(C|B)
$ [mm] P(C\mid B)=\dfrac{\dbinom{4}{1}\dbinom{4}{1}}{\dbinom{8}{2}}=0.2286 [/mm] $
Es muss doch so heißen:
$ [mm] P(B\mid C)=\dfrac{\dbinom{4}{1}\dbinom{4}{1}}{\dbinom{8}{2}}=0.2286 [/mm] $
Ich verstehe aber das Ergebnis nicht :-( Warum zweimal der gleich Binomialkoeffizient? Der linke davon soll doch die Wahrscheinlichkeit angeben, dass genau eine schwarze Kugel unter den gezogenen ist, wenn eine gerade Augenzahl gefallen ist, oder? P(B) (gerade Augenzahl) ist doch genau 1/2, oder? Warum jetzt doch ein Binomialkoeffizient? Warum P(C) auch 1/2?
Fragen über Fragen :-( Und nix wird durchsichtig :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Do 17.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Warum schreibst du hier: P(C|B)
>
> [mm]P(C\mid B)=\dfrac{\dbinom{4}{1}\dbinom{4}{1}}{\dbinom{8}{2}}=0.2286[/mm]
>
> Es muss doch so heißen:
>
> [mm]P(B\mid C)=\dfrac{\dbinom{4}{1}\dbinom{4}{1}}{\dbinom{8}{2}}=0.2286[/mm]
>
[mm] $P(B\mid [/mm] C)$ ist zu bestimmen, dazu verwende ich [mm] $P(C\mid [/mm] B)$ ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Do 17.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Ich komme nach dem ich alles ausgerechnet habe aber auf [mm] \frac47 [/mm] und nicht auf 0,2286
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Do 17.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Ich komme nach dem ich alles ausgerechnet habe aber auf
> [mm]\frac47[/mm] und nicht auf 0,2286
Das stimmt, und ich habe es schon korrigiert.
Nun zur Loesung:
[mm] \begin{matrix}
P(B\mid C)= &=&\dfrac{P(C\mid B)P(B)}{P(C)} \\
&=&\dfrac{P(C\mid B)P(B)}{P(C\mid B)P(B)+P(C\mid
\overline{B})P(\overline{B})} \\
&=&\dfrac{P(C\mid B)}{P(C\mid B))+P(C\mid
\overline{B})} \\
&=&$ \dfrac{\dfrac{\dbinom{4}{1}\dbinom{4}{1}}{\dbinom{8}{2}}}
{\dfrac{\dbinom{4}{1}\dbinom{4}{1}}{\dbinom{8}{2}}+ \dfrac{\dbinom{4}{1}\dbinom{4}{3}}{\dbinom{8}{4}}} $ \\
&=&\dfrac{4/7}{4/7+8/35} \\
&=&0.7143
\end{matrix} [/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Do 17.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Also entschuldige bitte vielmals, aber jetzt steig ich auch hier kurzzeitig komplett aus! Ist nun
$ [mm] P(C\mid B)=\dfrac{\dbinom{4}{1}\dbinom{4}{1}}{\dbinom{8}{2}}=\frac{16}{28}=\frac{4}{7} [/mm] $
oder
$ [mm] \begin{matrix} P(B\mid C)= &=&\dfrac{P(C\mid B)P(B)}{P(C)} \\ &=&\dfrac{P(C\mid B)P(B)}{P(C\mid B)P(B)+P(C\mid \overline{B})P(\overline{B})} \\ &=&\dfrac{P(C\mid B)}{P(C\mid B))+P(C\mid \overline{B})} \\ &=&$ \dfrac{\dfrac{\dbinom{4}{1}\dbinom{4}{1}}{\dbinom{8}{2}}} {\dfrac{\dbinom{4}{1}\dbinom{4}{1}}{\dbinom{8}{2}}+ \dfrac{\dbinom{4}{1}\dbinom{4}{3}}{\dbinom{8}{4}}} $ \\ &=&\dfrac{4/7}{4/7+8/35} \\ &=&0.7143 \end{matrix} [/mm] $
richtig?
Wobei ich bei zweiter Variante nicht verstehe warum $P(C) = [mm] P(C\mid B)P(B)+P(C\mid \overline{B})P(\overline{B})$ [/mm] ist und wo dann im nächsten Schritt das [mm] $P(\overline{B})$ [/mm] hingeht; wegkürzen kann man es jedenfalls nicht...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Do 17.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Also entschuldige bitte vielmals, aber jetzt steig ich auch
> hier kurzzeitig komplett aus! Ist nun
>
> [mm]P(C\mid B)=\dfrac{\dbinom{4}{1}\dbinom{4}{1}}{\dbinom{8}{2}}=\frac{16}{28}=\frac{4}{7}[/mm]
>
> oder
>
> [mm]\begin{matrix} P(B\mid C)= &=&\dfrac{P(C\mid B)P(B)}{P(C)} \\ &=&\dfrac{P(C\mid B)P(B)}{P(C\mid B)P(B)+P(C\mid \overline{B})P(\overline{B})} \\ &=&\dfrac{P(C\mid B)}{P(C\mid B))+P(C\mid \overline{B})} \\ &=&[/mm]
> [mm]\dfrac{\dfrac{\dbinom{4}{1}\dbinom{4}{1}}{\dbinom{8}{2}}} {\dfrac{\dbinom{4}{1}\dbinom{4}{1}}{\dbinom{8}{2}}+ \dfrac{\dbinom{4}{1}\dbinom{4}{3}}{\dbinom{8}{4}}}[/mm]
> [mm]\\ &=&\dfrac{4/7}{4/7+8/35} \\ &=&0.7143 \end{matrix}[/mm]
>
> richtig?
>
> Wobei ich bei zweiter Variante nicht verstehe warum [mm]P(C) = P(C\mid B)P(B)+P(C\mid \overline{B})P(\overline{B})[/mm]
> ist
[mm] $P(C)=P(C\cap(B\cup\overline{B}))=P(C\cap B)+P(C\cap\overline{B})=P(C\mid B)P(B)+P(C\mid \overline{B})P(\overline{B})$
[/mm]
>und wo dann im nächsten Schritt das [mm]P(\overline{B})[/mm]
> hingeht; wegkürzen kann man es jedenfalls nicht...
Doch, [mm] $P(B)=P(\overline{B})=1/2$.
[/mm]
vg Luis
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Do 17.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Warum schreibst du hier: P(C|B)
>
> [mm]P(C\mid B)=\dfrac{\dbinom{4}{1}\dbinom{4}{1}}{\dbinom{8}{2}}=0.2286[/mm]
>
> Es muss doch so heißen:
>
> [mm][mm] P(B\mid C)=\dfrac{\dbinom{4}{1}\dbinom{4}{1}}{\dbinom{8}{2}}=\frac{4}{7}/mm]
[/mm]
>
> Ich verstehe aber das Ergebnis nicht :-( Warum zweimal der
> gleich Binomialkoeffizient? Der linke davon soll doch die
> Wahrscheinlichkeit angeben, dass genau eine schwarze Kugel
> unter den gezogenen ist, wenn eine gerade Augenzahl
> gefallen ist, oder? P(B) (gerade Augenzahl) ist doch genau
> 1/2, oder? Warum jetzt doch ein Binomialkoeffizient? Warum
> P(C) auch 1/2?
Nach der hypergeometrischen kannst du jeweils eine von vier schwarzen Kugeln mit einer von vier roten Kugeln kombinieren, was den Zaehler erklaert. Insgesamt gibt es [mm] \binom{8}{2}=28$ [/mm] Moelgichkeiten, zwei Kugeln zu ziehen. Also ist
[mm]P(C\mid B)=\dfrac{\dbinom{4}{1}\dbinom{4}{1}}{\dbinom{8}{2}}=\frac{16}{28}=\frac{4}{7}[/mm]
(Das urspruengliche von mir angegebene Ergebis war falsch, Ich habe es korrigiert)
>
> Fragen über Fragen :-( Und nix wird durchsichtig :-(
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