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Hi,
ich habe da ein Verständnisproblem. Kann mir jemand erklären warum diese Gleichheit gilt:
[mm] Dim_{K} (Kern(\alpha [/mm] *)) = [mm] Dim_{K}(W) [/mm] - [mm] Dim_{K} (Bild(\alpha))
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] ist eine K-lineare Abbildung [mm] \alpha: [/mm] V [mm] \to [/mm] W und [mm] \alpha [/mm] * ist die duale Abbildung dazu [mm] \alpha [/mm] * = W* [mm] \to [/mm] V*
LG
Prof
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> Hi,
> ich habe da ein Verständnisproblem. Kann mir jemand
> erklären warum diese Gleichheit gilt:
> [mm]Dim_{K} (Kern(\alpha[/mm] *)) = [mm]Dim_{K}(W)[/mm] - [mm]Dim_{K} (Bild(\alpha))[/mm]
Hallo,
es ist doch dim W= dim [mm] W^{\*},
[/mm]
und Du hattest vor ein paar Tagen gezeigt, daß dim [mm] bild(\alpha)=dim bild(\alpha^{\*}).
[/mm]
Zusammen mit dem Kern-Bild-Satz hast Du's dann.
Gruß v. Angela
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> [mm]\alpha[/mm] ist eine K-lineare Abbildung [mm]\alpha:[/mm] V [mm]\to[/mm] W und
> [mm]\alpha[/mm] * ist die duale Abbildung dazu [mm]\alpha[/mm] * = W* [mm]\to[/mm] V*
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> LG
> Prof
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Sa 02.01.2010 | | Autor: | valoo |
Hallo Angela,
ist klar, dass das gilt, weil [mm] Bild(\alpha) [/mm] und [mm] Bild(\alpha\*) [/mm] isomorph sind. Aber es geht darum, dass auf einer alternativen Weise zu beweisen, nämlich so.
@Prof Wer bist du eigentlich, dass du es nicht einfach machen kannst? Lol.
Martin oder doch Robert???
Naja, egal, ich glaube ich habe es jetzt hingekriegt:
Die Lösung (Aufgabe 4!):
Der Kern von [mm] \alpha\* [/mm] enthält gerade die [mm] \lambda [/mm] für die gilt: [mm] \lambda(im(\alpha))=0
[/mm]
Betrachte
[mm] \Xi: W\* \to (im(\alpha))\*
[/mm]
[mm] (\lambda: [/mm] W [mm] \to K)\mapsto (\beta: im(\alpha) \to [/mm] K; [mm] \beta(a)=\lambda(a))
[/mm]
Nach dem Dimensionssatz gilt:
[mm] dim(W)=dim(im(\Xi))+dim((ker(\Xi))
[/mm]
[mm] im(\Xi)=(im(\alpha))\* [/mm] da das Teil offensichtlich surjektiv ist
und der Kern wie bereits gesagt: [mm] ker(\Xi)=ker(\alpha\*)
[/mm]
und da VR und Dualraum gleichdimensional sind:
=> [mm] dim(ker(\alpha\*))=dim(W)-dim(im(\alpha)) [/mm]
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