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| Aufgabe | Sei (X,d) ein metrischer Raum und T die von der Metrik auf X induzierte Topologie. Weiters sei eine Teilmenge $Z [mm] \subseteq [/mm] X$ gegeben. Auf Z haben wir die Spurtopologie [mm] $\mathbb{O}$ [/mm] von T und andererseits die von der Metrik [mm] $d_{1} [/mm] = [mm] d|_{Z \times Z}$ [/mm] induzierte Topologie [mm] $T_{1}$.
[/mm]
Zeige , dass [mm] $T_{1} [/mm] = [mm] \mathbb{O}$ [/mm] |
Hallo,
Sei [mm] $T_{d}$ [/mm] die von der Metrik d induzierte Topologie.
[mm] $\supseteq$ [/mm]
Sei $O [mm] \in T_{d}$ [/mm] , $x [mm] \in [/mm] O [mm] \cap [/mm] Z$.
[mm] $\Rightarrow \exists \delta [/mm] > 0 : [mm] U_{\delta}(x) \subseteq [/mm] O$
[mm] $\Rightarrow [/mm] $ [mm] $U_{\delta}(x) \cap [/mm] Z [mm] \subseteq [/mm] O [mm] \cap [/mm] Z [mm] \in T_{d|Z}$
[/mm]
also muss $O [mm] \cap [/mm] Z$ offen bzgl. [mm] $d_{1}$ [/mm] sein und damit [mm] $T_{d|Z} \subseteq T_{1}$ [/mm] bzw. [mm] $\mathbb{O} \subseteq T_{1}$
[/mm]
für die andere Richtung:
[mm] $\subseteq$
[/mm]
Sei Y [mm] \in T_{1} [/mm] , x [mm] \in [/mm] Y $ [mm] \Rightarrow \exists \delta_{x} [/mm] > 0 : [mm] U_{\delta_{x}}(x) \in T_{d|Z} [/mm] $
also ist Y die Vereinigung über alle x [mm] \in [/mm] Y des Schnitts von Z und den Umgebungen mit Radius [mm] \delta_{x} [/mm] um x. [mm] \Rightarrow
[/mm]
Y = [mm] \bigcup_{x \in Y} [/mm] (Z [mm] \cap U_{\delta_{x}}(x)) [/mm] = Z [mm] \cap \bigcup_{x \in Y} U_{\delta_{x}}(x) \in T_{d|Z}$
[/mm]
also : [mm] T_{1} \subseteq T_{d|Z} [/mm] = [mm] \mathbb{O} [/mm] .
damit : [mm] \mathbb{O} [/mm] = [mm] T_{1}
[/mm]
Was sagt ihr dazu?
Wäre super, wenn ihr das mal verbessern könntet.
Lg Peter_123
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:37 Fr 24.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Peter_123!
> Sei (X,d) ein metrischer Raum und T die von der Metrik auf
> X induzierte Topologie. Weiters sei eine Teilmenge [mm]Z \subseteq X[/mm]
> gegeben. Auf Z haben wir die Spurtopologie [mm]\mathbb{O}[/mm] von T
> und andererseits die von der Metrik [mm]d_{1} = d|_{Z \times Z}[/mm]
> induzierte Topologie [mm]T_{1}[/mm].
> Zeige , dass [mm]T_{1} = \mathbb{O}[/mm]
> Sei [mm]T_{d}[/mm] die von der Metrik d induzierte Topologie.
>
> [mm]\supseteq[/mm]
> Sei [mm]O \in T_{d}[/mm] , [mm]x \in O \cap Z[/mm].
> [mm]\Rightarrow \exists \delta > 0 : U_{\delta}(x) \subseteq O[/mm]
Hier solltest du der Klarheit willen dazuschreiben:
[mm] $U_{\delta}(x)$ [/mm] bezeichne die [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] von $x$ in $(X,d)$ (nicht etwa in [mm] $(Z,d_1)$).
[/mm]
Noch besser: Bezeichne diese [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] mit [mm] $U_{\delta}^d(x)$.
[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]U_{\delta}(x) \cap Z \subseteq O \cap Z \in T_{d|Z}[/mm]
Mit [mm] $T_{d|Z}$ [/mm] meinst du sicherlich [mm] $T_{d|_{Z\times Z}}$ [/mm] (also [mm] $T_1$).
[/mm]
Das [mm] "$\in T_{d|Z}$" [/mm] würde ich hier weglassen.
> also muss [mm]O \cap Z[/mm] offen bzgl. [mm]d_{1}[/mm] sein
Zu zeigen ist dafür: Für alle [mm] $x\in O\cap [/mm] Z$ existiert ein [mm] $\delta>0$ [/mm] mit [mm] $U_\delta^{d_1}(x)\subseteq O\cap [/mm] Z$ (wobei natürlich mit [mm] $U_\delta^{d_1}(x)$ [/mm] die [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] von $x$ in [mm] $(Z,d_1)$ [/mm] gemeint ist).
Wenn du noch [mm] $U_\delta^{d_1}(x)=U_\delta^d(x)\cap [/mm] Z$ (Warum gilt das?) berücksichtigst, erhältst du das Gewünschte.
> und damit [mm]T_{d|Z} \subseteq T_{1}[/mm]
[mm] $T_1$ [/mm] ist schon definiert als [mm] $T_{d|_{Z\times Z}}$.
[/mm]
Du meinst vielmehr:
> bzw. [mm]\mathbb{O} \subseteq T_{1}[/mm]
Ja.
> für die andere Richtung:
>
> [mm]\subseteq[/mm]
>
> Sei Y [mm]\in T_{1}[/mm] , x [mm]\in[/mm] Y [mm]\Rightarrow \exists \delta_{x} > 0 : U_{\delta_{x}}(x) \in T_{d|Z}[/mm]
Mit [mm] $U_{\delta_x}(x)$ [/mm] meinst du hier die [mm] $\delta_x$-Umgebung [/mm] von $x$ in [mm] $(Z,d_1)$ [/mm] (nicht etwa in $(X,d)$).
Es gilt zwar [mm] $U_{\delta_x}^{d_1}(x)\in T_1$ [/mm] (sogar für ALLE [mm] $\delta_x>0$).
[/mm]
Du meinst aber vielmehr: [mm] $U_{\delta_x}^{d_1}(x)\subseteq [/mm] Y$.
> also ist Y die Vereinigung über alle x [mm]\in[/mm] Y des Schnitts
> von Z und den Umgebungen mit Radius [mm]\delta_{x}[/mm] um x.
Hier meinst du "Umgebungen in $(X,d)$".
Übersichtlicher formuliert:
[mm] $Y=\bigcup_{x\in Y}U_{\delta_x}^{d_1}(x)=\bigcup_{x\in Y}(U_{\delta_x}^{d}(x)\cap [/mm] Z)$.
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> Y = [mm]\bigcup_{x \in Y}[/mm] (Z [mm]\cap U_{\delta_{x}}(x))[/mm]
Hier meinst du mit [mm] $U_{\delta_x}(x)$ [/mm] die [mm] $\delta_x$-Umgebung [/mm] von $x$ in $(X,d)$ (und nicht wie vorher in [mm] $(Z,d_1)$).
[/mm]
> = Z [mm]\cap \bigcup_{x \in Y} U_{\delta_{x}}(x) \in T_{d|Z}$[/mm]
Am Ende meinst du [mm] "$\in\mathbb{O}$" [/mm] statt [mm] "$\in T_{d|Z}$".
[/mm]
Das stimmt dann wegen [mm] $\bigcup_{x \in Y} U_{\delta_{x}}^d(x)\in [/mm] T$.
Dabei geht [mm] $U_{\delta_x}^d(x)\in [/mm] T$ ein.
(Ich hoffe, es ist schon bekannt, dass [mm] $\varepsilon$-Umgebungen [/mm] in metrischen Räumen stets offen sind. Ansonsten wäre das mithilfe der Dreiecksungleichung noch zu zeigen.)
> also : [mm]T_{1} \subseteq T_{d|Z}[/mm] = [mm]\mathbb{O}[/mm] .
[mm] $T_1$ [/mm] ist per Definitionem [mm] $T_{d|_{Z\times Z}}$.
[/mm]
Du meinst [mm] $T_1\subseteq\mathbb{O}$.
[/mm]
> damit : [mm]\mathbb{O}[/mm] = [mm]T_{1}[/mm]
Ja.
Deine Ideen sind völlig korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:08 Fr 24.10.2014 | | Autor: | Peter_123 |
Hallo Tobias,
Vielen Dank für deine Antwort.
Lg
Peter
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